Izometrikus perspektíva

A izometrikus perspektíva egy eljárást képviselet perspektivikus , amelyben a három irányban a térben vannak ábrázolva, az azonos fontosságát, innen a kifejezés.

Ez az axonometrikus perspektíva sajátos esete .

Elv

Az analitikai geometriában meghatározunk egy ortonormális koordináta-rendszert .

Az izometrikus perspektíva megfelel annak a nézetnek, amely ebben a keretben az irányító vektor (1, 1, 1) vonala mentén található. Így egy kocka, amelynek élei követik a referenciajel tengelyét, hosszú átlója mentén látható, akár egy hatszög.

A tengelyeket ezért erre a nagy átlóra merőleges síkra vetítik. A hossz mennek keresztül csökkenését (a vetítési egy egybevágóság , a csökkentési tényező az azonos minden hosszúságú egy adott tengely).

Ez egy olyan perspektíva, amelyet egyszerű alakzatok esetén könnyű végrehajtani. Ez a „valós” nézet közelítése, amely kielégítő mindaddig, amíg a mélység alacsony marad: különösen nem veszi figyelembe a távolság látszólagos csökkenését.

Széles körben használják a csövek szabványosított ábrázolására; csak a csövek tengelyét ábrázoljuk, anélkül, hogy érdekelnénk a méretarányt. A pipettázók egy dokumentumot, az „ iso keretet ” használnak, a rács rácsával, amely a tengelyek irányát mutatja.

Az izometrikus perspektíva rajzolásának alapszabályai

Intézkedések

Izometrikus perspektíváról beszélünk, mert a távolságokat ugyanúgy jelentjük a három tengelyen. 0,82-es redukciós együtthatót alkalmaznak az összes hosszra, amely egy tengellyel kollináris.

Egy tárgy ábrázolása esetén először meghatározzuk a tárgy arcát, amelyet előlapnak tekintünk, és elhelyezünk ott egy referenciapontot ; ebben a síkban tehát csak két látható tengely van, a harmadik merőleges a rajzra. A koordináta-rendszer eredete általában egy sarokban helyezkedik el.

Ezután két nézetet készítünk (legalábbis), amelyek az objektum ortogonális vetületei az elülső és a merőleges (bal, jobb, felső vagy alsó) oldalra. Ezután elegendő megmérni a keretben lévő pontok koordinátáit a két ábra alapján, és ezeket a koordinátákat átvinni az izometrikus perspektíva tengelyeire ennek az együtthatónak a 0,82 alkalmazásával.

Szögek

A szögek közötti tengelyek ( x , y és z ) mind egyenlő (120 °).

Körök

A körök a műszaki rajz fontos alakjai; ez az alkatrészgyártási folyamatok ( megmunkálás ) következménye: fúrás , marás , esztergálás stb. Az építőmérnöki munkában is fontosak (csővezeték, félkörív , körforgalom stb.). Amikor az izometrikus perspektívát számítógép generálja, kiszámíthatja a kör transzformációját. De ez bonyolultabbá válik, ha kézzel rajzol.

Először vegye figyelembe, hogy egy kört mindig egy négyzetbe írnak, amelyet négyszer érint, az oldalak közepén. Elölnézetben ezért négyzetbe szorítjuk a kört .

Izometrikus perspektívában ez a négyzet paralelogrammává válik . Az érintések ugyanazok maradnak (az oldalak közepe), de a kör ellipszissé válik .

A ferde vetület megváltoztatja a kör átmérőjét 1 (az ellipszis nagy átmérője, ezért a kezdő kör vízszintes átmérője teljes méretben vetítve) és 0,58 (kicsi átmérője, a legnagyobb lejtés irányában történő legnagyobb csökkenése esetén). .

Szabványosított ellipszis-diagramokat használunk ellipszisek rajzolásához, figyelembe véve ezeket az arányokat több fő tengelyméretnél.

Az izometrikus perspektíva hibái és korlátai

Mint minden vetület és perspektíva, a harmadik dimenzió elvesztése is értelmezési hibákat okoz. Ezt MC Escher művész széles körben felhasználta lehetetlen helyzetek kialakítására.

Ebben az esetben az 1 cm elmozdulást a z tengelyen grafikusan fejezzük ki, ugyanúgy, mint 1 cm elmozdulást az x és az y tengely mentén , azaz √2 ≈ 1,41 elmozdulást a kialakult derékszög felezője szerint. az x és y tengely által .

Az izometrikus perspektíva felhasználása

Használja a műszaki rajzban

Az ipari formatervezésben egy részt különböző látószögből képviselünk, merőlegesen a tengelyekre. Ezek a tengelyek "természetesek": egy alkatrész mechanikai funkcióval rendelkezik (kapcsolódás és mozgás más alkatrészekkel), alakja és megmunkálási korlátai vannak, ami azt jelenti, hogy általában szimmetriatengelye vagy sík felülete van. Ezek a tengelyek vagy ezen oldalak szélei lehetővé teszik egy derékszögű referenciajel meghatározását (melyiket választja az orthonormálissá).

Ezért könnyen elvégezhető egy rész izometrikus perspektívája az általában használt leíró geometriai nézetekből .

Az izometrikus perspektíva lehetővé teszi az olvasó számára, hogy könnyen ábrázolja az alkatrész alakját, de nem teszi lehetővé az alkatrész tervezéséhez és megvalósításához hasznos információk továbbítását.

Használja az építészetben

Eugène Viollet-le-Duc a kastélyok (és azok melléképületei) több festményénél használta, hogy elkerülje ezen elemek némelyikének és a megfigyelő (a kavaléros perspektíva lovasa a erődítmények).

Használja videojátékokban

Bizonyos számú karaktert tartalmazó videojáték (például Zaxxon , Marble Madness , vagy akár Crafton és Xunk ) objektív nézetet használ izometrikus perspektívában; ezen a téren gyakran "perspektíva 3/4" -ről beszélnek. Gyakorlati szempontból ez lehetővé teszi a grafikus elemek ( sprite ) mozgatását méretük megváltoztatása nélkül, ami elengedhetetlen volt, amikor a számítógépek nem voltak túl nagy teljesítményűek, és a kézi konzolok számára még mindig nagyon érdekes .

Ez azonban bizonyos zavarodottsági problémákat vet fel (a kép ellapulása miatt a mélységet a sík elmozdulása adja).

A raszterizálás miatt és a számítások optimalizálása érdekében egyes játékok 2: 1 arányban viszik előre a tengelyeket, így 30 ° helyett 26,6 ° (arctan 0,5) szögben dőlnek meg. Ez tehát szigorúan nem izometrikus perspektíva, hanem dimetrikus perspektíva (az axonometrikus perspektíva másik típusa ), de az "izometrikus" kifejezést azonban a nyelvvel való visszaélés használja.

Matematikai megközelítés

Izometrikus perspektíva valójában egy vetülete a síkon tengely mentén merőleges erre a síkra: egy merőleges vetülete . Ez egy lineáris alkalmazás .

Átviteli tényező a tengelyeken

A tengelyek arányossági tényezőjét egyszerűen trigonometria segítségével számíthatjuk ki :

vegye figyelembe a kocka élét, amely az origótól a pontig (0,0,1) megy; α szöget zár be a vetítési síkkal, ezért a vetületnek cos α hossza van;
α az a szög, amely az origón átmenő és a ponton (1,1,1) áthaladó vetületi sík és az x és y tengely felezője (1,1,0) között szög;
a (0,0,0), (1,1,0) és (1,1,1) pontok által alkotott háromszögben derékszögű háromszög; a [(0,0,0), (1,1,0)] szakasz hossza √2 (a négyzet átlója), a [(1,1,0), (1,1,1)] szakasz hossza az 1. hosszúságnál, és a [(0,0,0), (1,1,1)] hipotenusz hossza √3

Így van

{\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ simeq 0,82}

Arra a következtetésre jutunk, hogy α ≈ 35,26 °.

Használhatjuk a skaláris terméket is:

a nagy átló által hordozott egységvektor (1 / √3, 1 / √3, 1 / √3);
a szélén [(0,0,0), (0,0,1)] vetíti a nagy átlós egy szegmense hosszúságú k 1 , és a normál síkjában ez a nagy átlós egy szegmense hosszúságú k 2
k 1 a és a pont szorzata, és a koordinátákkal kiszámítható: ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ displaystyle k_ {1} = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = 1-szer 1 / {\ sqrt {3}} + 0-szor 1 / {\ sqrt {3}} +0 \ szor 1 / {\ sqrt {3}} = 1 / {\ sqrt {3}}}$
a Pitagorasz-tétel szerint k 1 2 + k 2 2 = 1 (a kocka szélének hossza).

Tehát:

{\ displaystyle k_ {2} = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ simeq 0,82}

A koordináta-rendszer tengelyein lévő szegmensek hosszát ezért 0,82-es tényezővel vetítik ki.

Erre a következtetésre az ortogonális vetületek általános képletével is sor kerül, lásd: Axonometrikus perspektíva> Izometrikus perspektíva .

Ezenkívül, ha a sík ( x , y ) egységkörét vesszük figyelembe, akkor a legnagyobb meredekség mentén kinyúló sugár a sík első felezője , vetítési tényezője egyenlő sin α = k 1 = 1 / √3 ≈ 0,58, amely megfelel az ellipszis melléktengelyének.

Koordináta átalakítása

A derékszögű koordináta transzformációt a nézetek pontkoordinátákból történő kiszámítására használják, például videojátékok vagy 3D grafikus szoftverek esetében .

Tegyük fel, hogy a térnek közvetlen ortonormális alapja van . A P vetület a komponensek vektorának , vagyis a vektornak megfelelően történik, az ugyanazon vektor által képviselt sík szerint. ${\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3})}$ ${\ vec {u}}$ ${\ displaystyle (1,1,1)}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {e}} _ {1} + {\ vec {e}} _ {2} + {\ vec {e}} _ {3}}$

Mint minden lineáris térkép , ez is ábrázolható az alap vektorainak transzformációjával, mivel bármely vektor átalakul a szerint ${\ displaystyle {\ vec {v}} = v_ {1} {\ vec {e}} _ {1} + v_ {2} {\ vec {e}} _ {2} + v_ {3} {\ vec {e}} _ {3}}$

{\ displaystyle \ mathrm {P} ({\ vec {v}}) = \ mathrm {P} (v_ {1} {\ vec {e}} _ {1} + v_ {2} {\ vec {e} } _ {2} + v_ {3} {\ vec {e}} _ {3}) = v_ {1} \ mathrm {P} ({\ vec {e}} _ {1}) + v_ {2} \ mathrm {P} ({\ vec {e}} _ {2}) + v_ {3} \ mathrm {P} ({\ vec {e}} _ {3})}

Bármelyiket . Hívjuk a közvetlen ortonormális alapot a vetítési síkon. Önkényesen választjuk, amely -π / 6 szöget zár be vele . ${\ displaystyle {\ vec {e}} \, '_ {n} = \ mathrm {P} ({\ vec {e}} _ {n})}$ $({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}})$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} \, '_ {1}}$ ${\ vec {\ imath}}$

Az ortogonális vetületek számításainak alkalmazása az izometrikus perspektíva adott esetére megadja (lásd: Axonometrikus perspektíva> Izometrikus perspektíva ):

${\ displaystyle {\ vec {e}} \, '_ {1} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ vec {\ imath}} - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} {\ vec {\ jmath}}}$ ; ; ${\ displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}}$
${\ displaystyle {\ vec {e}} \, '_ {2} = - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ vec {\ imath}} - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} {\ vec {\ jmath}}}$ ; ; ${\ displaystyle k_ {2} = k_ {1}}$
${\ displaystyle {\ vec {e}} \, '_ {3} = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} {\ vec {\ jmath}}}$ ; . ${\ displaystyle k_ {3} = k_ {1}}$

Az M P vetület mátrixa tehát

{\ displaystyle \ mathrm {M_ {P}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} & - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} & 0 \ \ - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} & - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} és {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ end {pmatrix}}}

Tekintsünk egy ( x , y , z ) térpontot, amely ( x ', y ') -be vetül . Ennek vetülete tehát:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ end {pmatrix}} = \ mathrm {M_ {P}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \\\ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (xy) \\ {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} z - {\ frac {1 } {\ sqrt {6}}} (x + y) \ end {pmatrix}}}

Lásd még: Vetítés (geometria)> Vetítés az analitikai geometriában egy vonallal párhuzamos síkon .

Két tengelyt tartalmazó sík körének átalakulása

Tekintsük a sík trigonometrikus körét . Pontjainak paraméteres koordinátái: ${\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {3})}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \\ 0 \\\ end {pmatrix }}}

Az alapba vetített pontok koordinátái tehát $({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}})$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (\ cos \ theta - \ sin \ theta) \\ - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} (\ cos \ theta + \ sin \ theta) \\\ end {pmatrix}}}

Az origótól való távolság vagy ${\ displaystyle r = {\ sqrt {x '^ {2} + y' ^ {2}}}}$

{\ displaystyle r ^ {2} = {\ frac {2} {3}} balra (1- \ sin \ theta \ cos \ theta \ jobbra) = {\ frac {2} {3}} balra (1 - {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right)}

( Moivre képlete ); ez az ellipszis paraméteres egyenletét adja át. Ez a távolság ezért 1 és . Megtaláljuk az ellipszis főtengelyének és melléktengelyének arányait. ${\ displaystyle {\ sqrt {1/3}} \ kb 0 {,} 58}$

Lásd is

Cavalier perspektíva