Központi vetítés

A tér geometriájában a központi vetületet vagy kúpos vetületet , vagy akár a központi perspektívát a következőképpen határozzuk meg. Legyen O olyan pont, amelyet a vetület középpontjának vagy csúcsának nevezünk, és ( P ) egy sík, amely nem tartalmaz O-t . A ( P ) központi vetületet az O csúccsal hívjuk , azt a függvényt, amely az O bármely pontjától eltérő M bármely pontban társítja a pont metszéspontja, ha létezik, az ( OM ) egyenesnek a ( P ) síkkal .

Például egy pontfényforrás által sík felületre vetett árnyék kúpos vetület

A tanulmány a központi előrejelzések fejlődött elsősorban a XV th században a rajzokra lineáris perspektíva előtt saját fejlesztés, 1636, a munkájával Girard Desargues és azok Gaspard Monge és Jean-Victor Poncelet . Új geometriát hozott létre, amelyet projektív geometriának hívtak .

Bemutatás és tulajdonságok

Ezt követően egyenes és középszintet hívnak, vonalakat és síkokat haladnak át O-n .

Egy affin térben

Legyen O egy affin tér (általában egy sík vagy egy 3. dimenziós tér) pontja, amelyet a vetület középpontjának vagy csúcsának nevezünk, és ( P ) egy hipersíkot (általában egyeneset vagy síkot), amely nem tartalmaz O-t . az O központ ( P ) központi vetületét hívja meg , azt a függvényt, amely az O bármely pontjától eltérő M bármely ponton társítja az egyenes ( OM ) metszéspontját a hipersíkhoz ( P ).

Affin tér esetén a központi vetületet minden olyan pontra meghatározzuk, amely nem tartozik a hipersíkhoz, párhuzamosan ( P ) haladva az O-n .

Projektív térben

A centrális vetület és annak korlátai az affin terekben motiválták a projektív terek létrehozását, és megszülették a projektív geometriát.

A vetítő egyenes az O középpont vetületének megfigyeléséből származik egy ( d ) egyenesen: az O-n áthaladó egyenes minden pontja ugyanarra a ( d ) pontra vetül, kivéve a ( d O ) vonalat, amely párhuzamos a ( d ) áthaladó O . Ez a kivétel a végtelenségig mondott pont elképzeléséhez vezet, amelyre a ( d O ) összes pontja kivetül. Így konstruálunk egy bijekciót az O-n áthaladó sík egyenesének halmaza és a sík egy vége közötti pont által kiegészített vonala között. Az ötlet tehát, hogy projektív egyenesnek nevezzük az O-n áthaladó sík vonalainak halmazát, vagyis egy vektor-sík vektor-vonalait. Az az elágazás, amelyet bármely O-n áthaladó egyeneshez a metszéspontja a ( d ) egyeneshez társít, incidenciának nevezzük. Bármely pontjára M a sor, hívjuk vektor alá M , bármilyen irányítja vektor a sor ( OM ). A lehetséges incidenciáknak végtelen sokasága van, ami lehetővé teszi az egyenesek bármelyikének a végtelen felé történő elküldését (elegendő a kiválasztott vonallal párhuzamos vonalra vetíteni).

A projektív sík ugyanúgy épül fel: az O középpont síkra vetítésével . A szett sor áthaladó O és nem párhuzamos ( P ) vetítjük pontok ( P ), és mi a teljes ( P ) egy sor olyan pont a végtelenben: a beállított sorok az átmenő központi sík ( O ). Ezek a végtelen pontok alkotják a végtelenségek vonalát.

A vetítősíkon ( P ) található központi vetület esetén az egyenes ( OM ) mindig találkozik a síkkal ( P ), esetleg a végtelenben. A központi vetületet ezután bármely O- tól eltérő pont definiálja , ez egy O pont síkbeli magánterének surjektív térképe ( P ).

Az elv az n dimenzió projektív tereire általánosít. Az n + 1 dimenzió vektorterének halmazát nevezzük az n dimenzió projektív terének, amely az n + 1 dimenzió vektorterével van társítva . Úgy tekinthetünk, mint az n dimenzió affin terének, amelyet az affin tér vektor vonalainak halmazának megfelelő úgynevezett végtelen pontok halmaza egészít ki.

Ez a megfelelés lehetővé teszi, hogy bármilyen központi vetülethez, egy vektor vetülethez társuljon : Ha az E vektorhoz társított vektortér, a (P) hipersíkjához és az O-hoz tartozó vektorhoz kapcsolódik, akkor a projektív síkban lévő központi vetületet áthaladás a hányadossal a vektor vetítéséből az iránynak megfelelően . Ezért a projektív tér projektív alkalmazása . Pontosabban a homológia sajátos esete , mivel fix pontja van egy hipersík és egy pont a hipersíkon kívül. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ $\ overrightarrow {P}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {O}}}}$ $\ overrightarrow {P}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {O}}}}$

Tulajdonságok

Az összes tulajdonság megegyezik egy affin térrel (feltéve, hogy a pontok vagy a kapcsolatok ott jól vannak meghatározva) és a projektív térben. Az előrejelzések megőrzik az összehangolást és az incidenciákat (metszéspontok és érintkezések), de a középpontokat és a párhuzamosságokat nem. Párhuzamos vonalak kötegeit alakítják át párhuzamos vonalakká (ha a vonalak iránya párhuzamos a vetítési síkkal) vagy egyidejűvé. Ezzel ellentétben két képsor akkor és csak akkor párhuzamos, ha az előzményvonalak metszenek a központi síkban (P 0 ).

A vetületek a projektív vonalakat projektív vonalakká, a kúpokat kúpokká, a differenciálható görbéket differenciálható görbékké alakítják.

A központi előrejelzések megtartják a 4 pontos keresztarányt . Sokféleképpen lehet bemutatni ezt a tulajdonságot.

Az egyik elemzési szempontból abból áll, hogy a vonalak ( OA ) és ( OB ) által hordozott referenciajelbe helyezzük magunkat . Ebben a referenciában az ( OC ) és ( OD ) vonalakat ax + alakban fejezzük ki = 0 és cx + dy = 0. Ezután kiszámoljuk a referenciakeret C és D pontjainak $λ$ $c$ és $λ$ $d$ abszcisszáit, és bebizonyítjuk, hogy a keresztarány megegyezik azzal az értékkel, amely csak a vonalak irányától függ ( OA ), ( OB ) ( OC ) ( OD ) ${\ displaystyle (O, {\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ ${\ displaystyle (A {\ overrightarrow {AB}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {ad} {bc}}}$
Az egyik, euklideszi, abból áll, hogy megmutatja, hogy a keresztarány megegyezik a közöttük lévő vonalak által képzett szögek szinuszainak keresztarányával:

${\ displaystyle [A; B; C; D] = {\ frac {\ sin ({\ overrightarrow {OA}}; {\ overrightarrow {OC}})} {\ sin ({\ overrightarrow {OB}}; { \ overrightarrow {OC}})}}}: {\ frac {\ sin ({\ overrightarrow {OA}}; {\ overrightarrow {OD}})} {\ sin ({\ overrightarrow {OB}}; {\ overrightarrow { OD}})}}}$ .

Ehhez használhatjuk a háromszögek algebrai területeit vagy az A, B, C, D pontok polárkoordinátáit egy O-ban központosított keretben és a trigonometrikus képletet .

{\ displaystyle \ tan a- \ tan b = {\ frac {\ sin (ab)} {\ cos a \ cos b}}}

Az egyik, az affin, abból áll, hogy a keresztarányt egyszerű arányként fejezzük ki a nyaláb egyik vonalával párhuzamos keresztirányú keresztmetszet alkalmazásával: Perrin azt javasolja, hogy B vezesse párhuzamosan az ( OA ) találkozót ( OC ) és ( OD ) a M és N, és azt mutatják, hogy a keresztarány egyenlő . Bebizonyosodott, hogy ez az érték egy kiválasztott központ hométhétie O révén független a szekántól . Nagyjából ezt a megközelítést követi Pappus , a IV . Század , amikor ezt a tulajdonságot megmutatja matematikai gyűjteményeiben . Lehman ezzel szemben az ( AB ) egyenes M 0 metszéspontját használja az O-n áthaladó és ( A'B ') párhuzamos vonallal . Bemutatja, hogy a keresztarány ( A, B, C, M 0 ) megegyezik az egyszerű aránysal ( A ', B', C ') , párhuzamosan ( A'B') a C-ig . Megosztással megmutatja, hogy a keresztarányok ( A, B, C, D ) és ( A ', B', C ', D') egyenlőek. A projektív terek képlete abból áll, hogy a vonalakat pontokkal meghosszabbítják a végtelenségig, majd a keresztarány egyszerű aránygá válik. ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {BM}} {\ overline {BN}}}}$
Az egyik, a projektív, abból áll, hogy észrevesszük, hogy a vetület projektív alkalmazás , megőrzi, mint minden vetítő alkalmazás, a keresztarányt. Annak bemutatására, hogy egy projektív alkalmazás megőrzi a keresztarányt, Audin emlékeztet arra, hogy egy vonal homogenográfiáját egy vonalon 3 pont képe határozza meg, meghatározza az ABCD pontok keresztarányát , mint a D képét l homográfia alapján. a projektív egyenes ( AB ) a valódi projektív vonalon, amely A-t a végtelenbe, B- t 0-ra és C- t 1-re küldi . Ezután felhasználja azt a tényt, hogy a homográfiák összetétele homográfia, és a 3 pontos képpel jellemzi őket.

Vonal vetítése egy vonalra

A projektív sík, ha ( d 1 ) és ( d 2 ) két különböző egyenes nem halad át O , a korlátozás ( d 1 ) a központi nyúlvány a központ O a ( d 2 ) van bijekciót amelynek kölcsönös az vetítés a ( d 2 ) O középpontjával ( d 1 ). Ez a homográfia speciális esete . A végtelen pont ( d 1 ) vetíti a metszéspontja ( d 2 ) a párhuzamos ( d 1 ) áthaladó O és a metszéspontját ( d 1 ) a párhuzamos ( d 2) ) az O-n áthaladó a ( d 2 ) egyenes végtelen pontjára vetül .

Az egyik vonal központi vetületei lehetővé teszik a Pappus és Desargues tétel egyszerű bemutatását .

Bármely ( d 1 ) és ( d 2 ) közötti homográfia legfeljebb két vetületre bontható. Az invariáns vonalak metszéspontját elhagyó homopráfia ( d 1 ) vetülete ( d 2 ) -re . Valójában a vonalak homográfiája 3 pont képe alapján ismert. Az ( I, A, B ) képeket ( d 1 ) és képeiket ( I, A ', B') felvéve a homográfia egybeesik ezen a három ponton ( d 1 ) vetítésével ( d 2 ) O középponttal , ( AA ') és ( BB') metszéspontja . Ha nem vagyok invariáns, és három pontot ( A, B, C ) és azok képeit ( A ', B', C ') ismerjük , a pont-kép párok egyike nem tartalmaz sem én, sem én'. Feltételezve, hogy ez egy , úgy véljük, a metszéspont β sor ( AB) és ( BA) és a metszéspont γ sor ( AC) és ( CA) . A homográfia egybeesik a három pontot a vegyületet a nyúlvány ( d 1 ) a ( βγ ) központjában A ' , majd a nyúlvány ( βγ ) a ( d 2 ) középső A .

Bármely ( d ) - ( d ) homográfia , amelynek invariáns pontja van, két vetületre bontható. Bármely nem specifikált homográfia a ( d ) a ( d ) bontható legfeljebb három nyúlvány.

A klasszikus geometria tételeinek általánosítása a kúpos vetületeknek köszönhetően

A lineáris perspektivikus rajzoláson kívüli hasznosságuk mellett a központi vetület lehetővé teszi a "klasszikus" sík, a körök és a paralelogrammák és a projektív sík közötti megfelelés megteremtését. Ez a megfelelés hatékony eszköz a kör és a paralelogramma tulajdonságainak általánosításához a kúpokhoz és a teljes négyszöghez.

Ezt a megfelelést a következőképpen fejezhető ki: Ha E affin tér és E annak befejezését projectf, ha O jelentése egy pont az E, ha (P) és (P „) két sík az E nem tartalmazó O .

A korlátozás, hogy P „ a központi nyúlvány csúcsú O az E - { O } a P egy bijekciót amelynek reciprok a korlátozás P a központi nyúlvány P” .

Ami a végtelen pontokat illeti, ha (P O ) és (P ' O ) az O-n áthaladó (P) és (P') párhuzamos síkokat nevezzük, a P és P ' végtelenségénél lévő vonalakat ( d i, P ) és (d i, P ' ) jellemzői ${\ displaystyle p (d_ {i, P '}) = {\ overline {P \ cap P' _ {O}}}}$ ${\ displaystyle p ({\ overline {P '\ cap P_ {O}}}) = d_ {i, P}}$

A teljes négyszög esete

A teljes négyszög 4 olyan vonal adata, amelyek közül három soha nem egyidejű, ez a 4 egyenes 6 metszéspontot eredményez, amelyek a négyszög csúcsai. Ez a 6 pont három további egyeneset eredményez, amelyek különböznek az előző négy egyenestől, amelyeket a teljes négyszög átlóinak nevezünk. Ez a három átló 3 pontot generál, amelyeket az átló kereszteződésének nevezünk.

Bármely teljes négyszög képként tekinthető a paralelogramma központi vetítésével.

Ez a megfelelés lehetővé teszi, hogy egy teljes négyszög harmonikus nyalábát kiállítsuk a harmonikus gerendákból egy paralelogrammában. A paralelogramma esetében az átló és a medián által alkotott nyaláb harmonikus nyaláb. Ennek meggyőződéséhez elegendő észrevenni, hogy az [ A, B, I , ∞] keresztarány egyenlő -1-vel. Arra következtetünk, hogy a szemben lévő teljes paralelogrammában az ( IK ), ( IJ ), ( IE ), ( IF ) szintén harmonikus nyaláb, és hogy a pontok ( EFKJ ) harmonikus felosztást alkotnak.

Ugyanígy egy paralelogrammában a két ellentétes oldal támaszaiból képzett párhuzamos vonalak nyalábja a mediántól és a vonaltól a végtelenig harmonikus nyaláb, ugyanolyan a nyalábnál ( EA ), ( EC ), ( EI ), ( EF ) és a pontok ( ACIK ) harmonikus felosztást alkotnak.

A homológiai háromszögek esete

Két háromszög ( ABC ) és ( A'B'C ') azt mondják, hogy ha a homological metszéspontjait ( AB ) és ( A'B') , a ( BC ) és ( B'C „) , és a ( CA ) és ( C'A ') a d vonalra vannak igazítva .

Bármely homológiai háromszög pár tekinthető egymással homotetikus vagy lefordított háromszög pár központi vetületképének. Csak vegyen egy síkot párhuzamosan a konténersíkkal ( d ) és haladjon át O-n . Ebben a síkban a központi vetítés révén az ( AB ) és ( A'C ') (ill. ( BC ) és ( B'C') , ( CA ) és ( C'A ') képsorai párhuzamosak. a Desargues-tétel projektív és affin változatának összekapcsolására .

A kúpok esete

A központi vetületek a kúpok tanulmányozása iránt érdeklődnek . Valójában a kör képe egy központi vetület által kúp, és fordítva, egy kúp, amelyet a forradalmi kúp sík metszéspontjaként határozunk meg, egy olyan központi képnek tekinthető, amelyet egy központi vetület mutat. a kör tengelyén van. A kört érintő és a központi vetületek invariánsait érintő összes tulajdonság (igazítás, érintkezés, keresztarány) bármely kúpos szakaszra átvihető. Ez a helyzet a kúp 4 pontjának keresztarányával, amelyet úgy határozunk meg, hogy a négy egyenes keresztmetszete a kúp bármely pontjából származik, és mindegyik áthalad a szóban forgó 4 pont egyikén. Ez a fogalom a kör keresztarányából következik . Ugyanez vonatkozik Pascal-tételre a kúpba írt hatszögre vonatkozóan, amely a körbe beírt hatszögből következik.

Megjegyzések és hivatkozások

Perrin 20 ?? , P. 5; 6.
Audin 2006 , p. 183.
Tauvel 2005 , p. 182.
Perrin 20 ?? , P. 30 1.7.5 ..
Lehman és Bkouche 1988 , p. 101.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 102.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 117.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 103.
Tauvel 2005 , p. 134.
például ez a TIPE p. 10.
Lásd például ezeket az előadásokat
Perrin 20 ?? , P. 71 3.8.1 ..
Lehman és Bkouche 1988 , p. 107.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 114.
Audin 2006 , p. 197.
Perrin 20 ?? , P. 34.
Perrin 20 ?? , P. 35.
Perrin 20 ?? , P. 38.
Perrin 20 ?? , P. 42 2.5.3 ..
Perrin 20 ?? , P. 43 2. 5. 4 ..
Lehman és Bkouche 1988 , p. 122.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 120.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 126.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 128.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 130.
Lehman és Bkouche 1988 , p. 135.

Bibliográfia

Daniel Lehman és Rudolphe Bkouche, Bevezetés a geometriába , Párizs, PUF ,1988;
Patrice Tauvel, Geometria: Agrégation, harmadik év engedély , Master , Párizs, Dunod ,2005;
Marcel Berger, Geometry: Csoportos cselekvés, affin és projektív terek , vol. 1, CEDIC / Nathan,1977;
Michèle Audin , geometria: L3M1 , EDP tudományok,2006.
Daniel Perrin, Projektív geometria könyv projekt , Párizs-Sud Egyetem, 20 ?? ( online olvasás ).