Homológia (geometriai transzformáció)

A projektív geometriában a homológia egy projektív bijektív transzformáció (más néven homográfia), amely rögzített pontok hipersíkját és egy rögzített pontot fogad el ezen a hipersíkon kívül, az elation olyan projektív transzformáció, amelynek hipersíkja fix pontokat tartalmaz, de nincs más fix pontja. A hipersíkot mind a homológia, mind az emelkedettség alapjának vagy tengelyének nevezik .

Homológia esetén a külső fix pontot a homológia középpontjának vagy csúcsának nevezzük . A homológia csúcsán áthaladó összes vonal invariáns rajta, mivel két rögzített ponton halad át. Eláció esetén megmutatjuk, hogy a hipersíknak van olyan pontja, hogy az ezen a ponton áthaladó összes vonal globálisan invariáns az emelkedettség által, és ezt a pontot az emelkedés középpontjának vagy csúcsának nevezzük .

Néha az összes projektív transzformációt, amelynek egy fix síkú hipersíkja van, homológiának nevezzük, vagyis a fent definiált homológiák mellett az elációk sajátos homológiákká válnak, amelyek csúcsa az alapon helyezkedik el.

A homológiák (korlátozott értelemben) a dilatáció által kiváltott projektív transzformációk , az elationok azok, amelyeket transzvekció indukál . Véges dimenzióban, mint ahogy a kitágulás és transvections egy vektortér E létrehoz a általános lineáris csoport az E , a homológiákat és elations egy projektív tér P ( E ) generálja a lineáris projektív csoport E , amely a csoport a projektív transzformációk a P ( E ).

Definíciók

A P ( E ) projektív tér meghatározható mint az a halmaz, amelynek pontjai az E vektortér vektorvonalai . A P ( E ) projektív transzformációja, amely pontról pontra rögzíti a H = P ( H ) projektív hipersíkot, egy olyan projektív transzformáció, amelyet egy f lineáris transzformáció indukál, amely megtartja a H minden egyes vonalát, az E vektor hipersíkját , vagyis azt mondja, hogy az összes vektor a H sajátvektorai a f . A korlátozás az F a H ezután egy homothety nem nulla arányt, és elosztjuk az f által ez az arány , ha szükséges , amely indukálja az azonos projektív transzformáció, feltételezhetjük, hogy a korlátozás a F , hogy H az identitás.

Az E vektortér olyan lineáris transzformációi , amelyeknek fix pontjainak hipersíkja van, vagy átlósíthatók, és dilatációknak nevezhetők , vagy nem átlósíthatók, ezért csak sajátértékre van 1 , és transzvektíváknak hívják őket . Véges dimenzióban létezik olyan alap, amelybe az f mátrixot írjuk,

ha f tágulás

[11⋱1λ]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & \\ &&&& lambda \ end {bmatrix}}}

ha f keresztmetszet

[11⋱111]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & 1 \\ &&&& 1 \ end {bmatrix}}}.

A P ( E ) rögzített pontok hipersíkjával rendelkező projektív transzformációja tehát

• vagy az E vektor tágulása által indukált ilyen projektív transzformációt homológiának nevezzük ,
• akár az E vektorátvitelével indukáljuk, egy ilyen projektív transzformációt emelkedésnek nevezünk .

Az elációkat néha sajátos homológiának tekintik, a P ( E ) homológiája ekkor az összes projektív transzformáció, amelynek hipersíkja rögzített pontokkal rendelkezik. Ebben az összefüggésben a dilatáció által kiváltott homológiákat általános homológiáknak, az elációk pedig speciális homológiáknak nevezhetjük.

Homológiák

A H hipersík-dilatációval indukált homológiának van egy fix S pontja, amely kívül esik H = P ( H ), amely megfelel a λ tágulási arányhoz tartozó sajátvektor-vonalnak (a kapcsolódó saját-altér, amint λ ≠ 1). Ezt a rögzített pontot csúcsnak vagy homológiai középpontnak , H-t , a fix pontok hipersíkjának , homológia bázisának vagy tengelyének nevezzük , H tengely homológiáról és S központról is beszélünk . Ha a homológia nem az identitás, az egyetlen fix pont H-on kívül .

≥ 2 dimenzióban a homológiát a H tengely , az S csúcs , a H- n kívüli , S-től és annak A ' képétől (a vonalon ( SA )) megkülönböztetett A pont határozza meg . Valójában ezután meg lehet konstruálni a P ( E ) bármely pontjának képét .

• Legyen M egy P ( E ) pont, amely különbözik S-től és kívül esik H-től és az egyenestől ( SA ). Az összes S-n áthaladó egyenes globálisan invariáns, mert keresztezi H-t, és ezért két rögzített ponton halad át. Az N a metszéspont az egyenes ( AM ) és a H . Ezt a pontot rögzítve a vonal képe ( AM ) az egyenes ( A'N ). A kép M „ az M tehát a kereszteződésekben a vonal ( A'N ), és a vonal ( SM ), a két síkban, amely meghatározza M”.
• Ha M van az egyenesen ( SA ), akkor egy külső ponton való áthaladással és az előző konstrukció kétszeri alkalmazásával kapjuk meg a képét.

Legyen A 0 az egyenes ( SA ) és a H hipersík metszéspontja , M 0 az egyenes ( SM ) és H metszéspontja . A [ S , A 0 , A , A ' ] = [ S , M 0 , M , M' ] keresztarány független az M pont megválasztásától . A homológia relatív vagy keresztarányának nevezzük . ≥ 2 dimenzióban a homológiát tengelye, középpontja és keresztaránya határozza meg.

Különösen egy -1-es keresztaránnyal rendelkező homológiában az S , M 0 , M , M ' pontok harmonikus felosztásban vannak . Egy ilyen homológia a harmonikus homológia nevét viseli , ez egy invutív homológia . Ezek csak az invutív homológiák.

Elációk

Legyen v az f átvezetés irányának nem nulla vektora , van egy bizonyos lineáris alakra a és x ∈ E

f ( x ) = x + a ( x ) v

Az f által indukált emelkedés csúcsának vagy központjának nevezzük a P ( E ) pontját, amely megfelel az f keresztmetszet irányának , vagyis a v irányító vektor vonalának. Az x , v és az f ( x ) vektorok síkbeliak, ami projektív módon azt eredményezi, hogy az emelkedettség csúcsa, egy pont és képe egy vonalba kerülnek, vagyis hogy az emelkedés csúcsán áthaladó vonalak globálisan állandó.

Az emelkedettséget a H bázisa , a H- n kívüli A pont és az A ' kép határozza meg . Az építőiparban a kép M " egy pont M analóg a végrehajtott esetében homológia.

Közép jellemzés

A homológia központján vagy az emelkedettség központján áthaladó vonalak globálisan változatlanok. Ez a tulajdonság jellemző:

a homográfia akkor és csak akkor homológia vagy eláció, ha van egy fix pontja, amelyen keresztül az ezen a ponton áthaladó vonalak globálisan invariánsak .

Az affin geometriában

Legyen h a P ( E ) projektív tér homológiája vagy felemelkedése . A projektív szerkezet a P ( E ) hipersíkjának komplementerén affin térszerkezetet indukál , a hipersíkról azt mondják, hogy hipersík ennek az affin térnek a végtelenségén. Ha ez a hipersík h-val stabil , akkor h- nek a komplementre való korlátozása affin térkép. Az egyetlen olyan hiperrepülőgép, amely homológia vagy az identitások egyértelmű emelkedése révén stabil, az alap hipersík és a csúcson áthaladó hipersíkok.

Homológia esetén a fent meghatározott keresztarány az algebrai mértékek két arányának hányadosa , azaz

[S,NÁL NÉL,NÁL NÉL0,NÁL NÉL,NÁL NÉL′]=NÁL NÉLS¯NÁL NÉLNÁL NÉL0¯:NÁL NÉL′S¯NÁL NÉL′NÁL NÉL0¯.{\ displaystyle [S, A, A_ {0}, A, A '] = {\ frac {\ overline {AS}} {\ overline {AA_ {0}}}}: {\ frac {\ overline {A'S} } {\ overline {A'A_ {0}}}}.}

Az alap hipersík, mint végtelen hipersík

A projektív H hipersík, amely a h homológia vagy emelkedettség alapja, nyilvánvalóan h stabil . A komplementer E 1 a H van ellátva szerkezete affin teret úgy, hogy a párhuzamos vonalak E 1 jelentése az egyenes vonalak P ( E ) metsző egy pont H . A korlátozás a h , hogy E 1 jelentése akkor egy affin térkép, amely átalakít egy vonalat egy párhuzamos vonal, és ezért:

a homológia vagy az elation korlátozása az alap hipersíkjának kiegészítő affin téréhez homotetika vagy fordítás .

Pontosabban

• A korlátozás, hogy a komplement, bázissal hipers'ık a homológiája központ S -arányú λ egy homothety a központ S és fordított arányban 1 / λ.
• az emelkedettség magas hipersíkjának komplementerére való korlátozás transzláció (az emelkedettség csúcsa a végtelenben van).

A harmonikusnak nevezett -1 arányos homológiák korlátozásra központi szimmetriával rendelkeznek.

A csúcs a végtelenben van

Egy hipersík H ∞ áthaladó vertex S homológia H hipersík H stabil H , mivel által generált S és keresztezi H . Hasonlóképpen egy hipersík H ∞ áthaladó csúcsa egy euphoria H a hipers'ık H , ez a hipersík H ∞ jól elkülöníthetők a H , stabil által H , által generált egy sor a hipersík áthaladó S és keresztezi H .

Mindkét esetben a restrikciós a komplementer affin tér H ∞ tehát egy affin transzformáció.

• A korlátozás, hogy a komplement egy hipersík H ∞ áthaladó S homológia középpontú S , tengelyt H és aránya λ egy dilatációs tengelyű H és fordított arányban λ.
• korlátozzák a komplement egy hipersík H ∞ keresztül S egy középső ujjongás S -tengely és H egy transzvekcióval tengelyre H .

Példa arra, hogy az alkalmazás nem affin

A többi esetben a korlátozással kapott alkalmazás nem őrzi meg a párhuzamosságot és nem affinitatív. Például, ha a sík K 2 tekintik affin hipersíkot egyenlet Z = 1 K 3 , a homológia ( x , y ) ↦ ( x ' y' ) tengely az x tengely, a központ (0, egy ) ( a ≠ 0) és a λ arányt tehát az alapsík-vektor dilatációja indukálja ((1,0,1), (0,0,1)), a λ érték sajátvektora (0, a , 1). A kanonikus alapon a mátrix tehát

(1000λ00λ-1nál nél1){\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & {\ frac {\ lambda -1} {a}} & 1 \ end {mátrix}} \ jobb)}

az alkalmazás homogén mátrixa, és a képletek homogén koordinátákban fejezik ki  :

x′= nál nélxY′=λnál nélYZ′=nál nélZ+(λ-1)Y{\ displaystyle {\ begin {mátrix} X '= \ aX \\ Y' = \ lambda aY \\ Z '= aZ + (\ lambda -1) Y \ end {mátrix}}}

Restrikciós a affin síkon K 2 alkalmazására, ezért megadott, + (λ -1) y ≠ 0

x′= nál nélnál nél+(λ-1)yxy′=λnál nélnál nél+(λ-1)yy.{\ displaystyle {\ begin {matrix} x '= \ {a \ over {a + (\ lambda -1) y}} x \\ y' = \ lambda {a \ over {a + (\ lambda -1) y}} y \ end {mátrix}}.}

Homológia perspektíva szerint

Merítsük el az n dimenzió euklideszi terét az n +1 dimenziós tér hipersíkjaként , és forgassuk el annak hipersíkja körül , hogy megszerezzük annak másolatát . Enem{\ displaystyle E_ {n} \,}Enem+1{\ displaystyle E_ {n + 1} \,}Enem{\ displaystyle E_ {n} \,}H{\ displaystyle H \,}E~nem{\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n} \,} Minden pont a van egy példánya az , ezért is a kép a bázissal és a középső projektív homológ projektív befejezését . M{\ displaystyle M \,}Enem{\ displaystyle E_ {n} \,}M~{\ displaystyle {\ tilde {M}}}E~nem{\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n} \,}M′{\ displaystyle M '\,}M{\ displaystyle M \,}H{\ displaystyle H \,}O{\ displaystyle O \,}Enem{\ displaystyle E_ {n} \,} Megmutatjuk, hogy a összekötő vonalak az átmegy egy fix pont , hogy a térkép a korlátozás egy központi kiemelkedés a központ S. M{\ displaystyle M \,}M~′{\ displaystyle {\ tilde {M}} '}S{\ displaystyle S \,}M→M~′{\ displaystyle M \ rightarrow {\ tilde {M}} '} Azt észleltük, hogy a vonalon áthaladó és merőleges felezővonal hipers'ık a és . S{\ displaystyle S \,}O{\ displaystyle O \,}Enem{\ displaystyle E_ {n} \,}E~nem{\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n} \,}

Homológiai alakok

Két ábrát homológnak mondanak, ha homológiával ábrázolják egymást. Ez a homotéziai alakok fogalmának általánosítását jelenti .

Például két háromszög és homológ, ha a permutáció kivételével létezik homológia, amely en , en , en küld  ; ez egyenértékű az egyenesekkel és egyidejű (a homológia középpontjában); és ez egyenértékű azzal a ténnyel is, hogy a vonalak metszéspontjai és , és , és ugyanahhoz a hipersíkhoz (a homológia alapjához) tartoznak. Ez utóbbi két tulajdonság egyenértékűsége képezi Desargues tételét . (NÁL NÉLBVS){\ displaystyle (ABC)}(NÁL NÉL′B′VS′){\ displaystyle (A'B'C ')}NÁL NÉL{\ displaystyle A}NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}B{\ displaystyle B}B′{\ displaystyle B '}VS{\ displaystyle C}VS′{\ displaystyle C '}(NÁL NÉLNÁL NÉL′),(BB′){\ displaystyle (AA '), (BB')}(VSVS′){\ displaystyle (CC ')}(NÁL NÉLB){\ displaystyle (AB)}(NÁL NÉL′B′){\ displaystyle (A'B ')}(BVS){\ displaystyle (BC)}(B′VS′){\ displaystyle (B'C ')}(VSNÁL NÉL){\ displaystyle (CA)}(VS′NÁL NÉL′){\ displaystyle (C'A ')}

Kétirányú homológia

A biaxiális homológiák a 3. dimenzió homográfiái, amelyek két nem koplanáris vonalat rögzített pontok alkotnak . Ezért nem általános homológiák az itt megadottak szerint.

Az építőiparban a kép egy pont történik egyszerűen köszönhetően a következő tulajdonságot: Ha és az egyedülálló megfelelő pontjait , és úgy, hogy egy vonalba kerülnek, a kereszt arány állandó egyenlő  ; A homogén mátrixot egy projektív keret, amelynek első két pont vannak , és a második kettő a következő: . M′{\ displaystyle M '}M{\ displaystyle M}H{\ displaystyle H}H′{\ displaystyle H '}D{\ displaystyle D}D′{\ displaystyle D '}H,H′,M{\ displaystyle H, H ', M}(H,H′,M,M′){\ displaystyle (H, H ', M, M')}λ{\ displaystyle \ lambda}D{\ displaystyle D}D′{\ displaystyle D '}[λλ11]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda &&&& \\ & \ lambda && \\ && 1 & \\ &&& 1 \ end {bmatrix}}}

A biaxiális homológiák az alapvető egyenes vonzatok affinitásának projektív befejezésének is tekinthetők .

Hivatkozások

1. Például Ladegaillerie 2003 , p.  142.
2. Például Fresnel 1996 , p.  72.
3. Sidler 2000 , p.  38–40.
4. Ladegaillerie 2003 , p.  143.
5. Ladegaillerie 2003 , p.  144.
6. Ladegaillerie 2003 , p.  142-143.

Bibliográfia

• Jean Fresnel , Modern módszerek a geometriában , Párizs, Hermann ,1996, 408  p. ( ISBN  2-7056-1437-0 ).
• Yves Ladegaillerie , geometria affin, projektív, euklideszi és anallagmatic , Párizs, Ellipses ,2003, 515  p. ( ISBN  2-7298-1416-7 ).
• Jacqueline Lelong-Ferrand , A geometria alapjai , Párizs, PUF ,1985, 287  o. ( ISBN  2-13-038851-5 ).
• Jean-Claude Sidler , Projektív geometria: órák, gyakorlatok és kijavított problémák , Párizs, Dunod ,2000, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1993), 206  p. ( ISBN  2-10-005234-9 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">