Az Ising modell a statisztikai fizika modellje . Olyan különféle jelenségek modellezésére használták, amelyekben a kollektív hatásokat a kétállapotú részecskék közötti helyi kölcsönhatások eredményezik.
A fő példa a ferromágnesesség , amelynek esetében az Ising-modell egy mágneses momentumrács- modell , amelyben a részecskék mindig ugyanazon tértengely mentén vannak orientálva, és csak két értéket vehetnek fel: + M és -M.
Ezt a modellt néha Lenz-Ising modellnek is nevezik . Nevét Wilhelm Lenz és Ernst Ising fizikusoknak köszönheti .
Ez a modell lehetővé teszi a ferromágneses anyagok mágnesességének viszonylag egyszerű leírását, amelyek nagyon erős anizotropiát mutatnak, és kiemelt irányúak.
Az Ising modell másik alkalmazása a bináris ötvözetek leírása . Ebben az esetben a + M mágneses momentumok az egyik atomfajt, az -M mágneses momentumok pedig a többi atomfajt jelentik. Az Ising modell nagy hatótávolságú sorrendje leírhatja a két faj közötti fáziselválasztást (abban az esetben, ha az alacsony hőmérsékletű fázis mindenkor egyenlő -M vagy + M), vagy egy rendezett fázist, amelyben az egyik alhálózat az egyik faj atomjait (momentumok + M) és a másik faj atomjainak másik alhálózatát hordozza. Az Ising-modell rendezetlen fázisa egy olyan állapotot ír le, amelyben a két faj keveredik, vagy egy olyan állapotot, ahol az alhálózatok egyenértékűek. A második esetet rend-zavar átmenetnek nevezzük. Az Ising-modell ezen változatát Bragg és Williams (en) (1934-1936) modellnek hívják .
A modell harmadik alkalmazása a folyékony gáz átmenetének leírása. Ebben a változatban a + M mozzanattal rendelkező webhelyek egy atom által elfoglalt helyeket, a -M mozzanattal rendelkező helyek pedig a nem foglalt webhelyeket jelentik. A mágneses mező ebben a leírásban az atomok kémiai potenciáljává válik . Mivel a fázisátalakulás a mágneses tér jelenlétében történik , ez egy elsőrendű átmenet a nagy sűrűségű folyékony állapot és a kis sűrűségű gáz halmazállapot között. Az Ising-modell ezen változatát rácsgáz-modellnek hívják.
Ennek a modellnek a Hamilton-féle írása:
a csere kölcsönhatása a modell, és a mágneses mező. Általánosságban az Ising modellt csak az első szomszédok közötti interakcióval vesszük figyelembe.
Abban az esetben az alapállapot az, ahol az összes pillanatnak ugyanaz az értéke. Abban az esetben, a kettéosztott hálózat, az alapvető is könnyű megtalálni, minden pillanat, amelynek értéke az egyik al-hálózatok és az egyéb al-hálózat. Nem kétoldalú hálózat esetén és azért a helyzet bonyolultabb, mivel a momentumok közötti összes interakciós energiát nem lehet egyszerre minimalizálni. Ebben az esetben az Ising-modell csalódottnak mondható. A frusztrált Ising-modell esetében az alapvető nem biztos, hogy egyedi, sőt makroszkopikus degenerációval is rendelkezik (ez a helyzet a kétdimenziós háromszögrács frusztrált Ising-modelljével). Bizonyos esetekben pontosan kiszámolható az alapvető degeneráció (GH Wannier, 1950).
Figyelembe lehet venni véletlenszerű interakciókkal rendelkező Ising modelleket is (Edwards-Anderson modell, ha az interakciók rövid hatótávolságúak, Sherrington és Kirkpatrick modellek, ha az interakciók nagy hatótávolságúak). Ezek a modellek olyan anyagokat írnak le, amelyekben a mágneses szennyeződéseket egy fémben hígították. A frusztráció megakadályozza, hogy ezek a modellek kialakítsák a hagyományos nagy hatótávolságú sorrendet, és fontos szerepet játszik a spin-üveg állapot kialakulásában.
A következőkben csak a nem frusztrált modellel foglalkozunk, determinisztikus interakciókkal.
Egy dimenzióban az Ising modell pontosan oldódik az átviteli mátrix módszerrel. Történelmileg ez a megoldás Ising Wilhelm Lenz irányításával ( 1925 ) készült téziséből származik . Ez a megoldás azt mutatja, hogy a szabad energia analitikus bármilyen hőmérsékletre, ami azt jelenti, hogy ez a modell nem rendelkezik fázisátmenettel. Egy nagyon általános fizikai érv, amelyet Landau és Lifshitz tettek közzé , lehetővé teszi számunkra, hogy megmutassuk, hogy a rövid hatótávolságú interakciókkal rendelkező egydimenziós modelleknél nem lehet fázisátmenet pozitív hőmérsékleten , a hibák létrehozásához szükséges energiát mindig nagyrészt ellensúlyozza az entrópia nyeresége . FJ Dyson olyan Ising modelleket tanulmányozott, amelyek hosszú távú interakcióval rendelkeznek egy dimenzióban, mint pl . Megmutatta, hogy ezeknél a modelleknél bármilyen hőmérsékleten rendeltek, és ezeknél a modelleknél bármilyen hőmérsékleten rendezetlenek voltak. Csak az eset okozhat fázisátalakulást. PW Anderson , G. Yuval és DR Hamman későbbi , a Kondo-effektussal kapcsolatos munkája azt mutatta, hogy összefüggés van a nagy hatótávolságú Ising-modell és a Kondo-effektus között. A modell tehát egy fázisátmenetet mutathat be, amely analógiákat mutat be Berezinsky, Kosterlitz és Thouless átmenetével .
Kétdimenziós esetben Rudolf Peierls 1936-ban megmutathatta, hogy az Ising-modell fázisátmenettel rendelkezik . A Kramers és Wannier elméleti érvei (kettősség) 1941-ben lehetővé tették a fázisátmenet hőmérsékletének megjóslását . A modell megoldása nulla mezőben a szabad energia pontos kiszámításának értelmében Lars Onsager 1944-nek köszönhető . Onsager-módszer általánosítja az átviteli mátrix-módszert a kétdimenziós esetre. Megköveteli egy mátrixalgebra tanulmányozását (lásd Kerson Huang könyvét). Mivel ez a módszer nagyon bonyolult, más fizikusok egyszerűbb felbontási technikákat igyekeztek kifejleszteni ehhez a modellhez. A Kauffmann-féle megközelítés eredményeként a kétdimenziós Ising-modell interakció nélküli egydimenziós fermion- modellhez viszonyult . Ezt a megközelítést később Samuel Grassmann algebrai módszereivel fejlesztették ki. C. Itzykson és JM Drouffe könyvében leírja. Kac és Ward (1952) következtében egy másik megközelítés abból áll, hogy a partíciós függvény kiszámítását grafikonok felsorolására redukálja. Ezt a megközelítést írja le Landau és Lifchitz könyve .
Az átmeneti hőmérséklet alatti sorrendparaméter viselkedését Onsager 1949-ben sejtette. Onsager sejtését CN Yang 1952-ben mutatta be. Egyszerűbb módszert, amely Toeplitz-mátrixokat használ , a Lemma de Szegót pedig EW Montroll, JC Ward és Renfrey vezette be. B. Potts 1963-ban. A korrelációs függvényeket Tracy, McCoy és Wu szerezte meg 1976-ban a Painlevé III funkciók szempontjából. Tracy, MacCoy és Wu eredményei nem korlátozódnak az Ising modell kritikus pontjára, hanem a nem kritikus Ising modellre is érvényesek.
Másrészt a Kramers-Wannier kettősséget L. Kadanoff és H. Ceva kiterjesztette 1971-ben, akik bevezették a rendellenesség operátorát . A magas hőmérsékletű fázisban, és . A helyzet a magas hőmérsékletű fázisban megfordul. A Kramers-Wannier kettősség kicseréli a rend- és rendellenesség-operátorokat (és nyilvánvalóan a korrelációs függvényeiket is).
Az Ising-modell érdeklődését az adja, hogy ennek a pontosan oldódó modellnek kritikus kitevői vannak, amelyek eltérnek az átlagos mezőelméletek által megadottaktól. Például a korrelációs hossz kritikus kitevője az átlagos mezőben ν = 1/2, míg az Ising modellben ν = 1. Egy másik példa a sorrend paraméterének kitevője, amely az Ising modell esetében β = 1/8, átlagos mező elmélet esetén β = 1/2 értéket ér. A kétdimenziós Ising modell megoldása így lehetővé tette annak bemutatását, hogy a statisztikai mechanika képes volt előrejelezni a fázisátmeneteket és a kritikus viselkedéseket összetettebb leírásra, mint az átlagos mezőelméletek. Ez utat nyitott ME Fisher, LP Kadanoff és H. Widom későbbi munkájának az 1960-as évek egyetemességének feltételezéséről és a kritikához közeli változatlanságról . Különösen az Ising-modell elégíti ki a Widom homogenitási hipotéziséből fakadó kritikus kitevők közötti kapcsolatokat, valamint a hiperkalkulációs kapcsolatot. A fázisátmenetekre vonatkozó renormalizációs csoport fejlesztése az 1970-es években aztán lehetővé tette ezen hipotézisek igazolását.
Sok más kétdimenziós modellhez hasonlóan, az Ising-kritikus pont is a konformális változatlanság tulajdonsága , a központi töltéssel .
Ez a tulajdonság lehetővé teszi az összes n pontú korrelációs függvény (és nem csak a kétpontos) pontos kiszámítását a kritikus pontban. Ezenkívül a konformi invariancia lehetővé teszi az operátorok algebrájának megalkotását, amely magában foglalja a konform súly súlyozását (1 / 16.1 / 16), a konform súlyú Kadanoff és Ceva rendellenesség operátorát (1/16, 1/16), a Kauffmann Fermiont. megfelelő tömegű operátorok (1 / 2,0) és (0,1 / 2) és a megfelelő tömegű energiasűrűség-operátorok (1 / 2,1 / 2). Megvannak a kapcsolataink:
ahol a termékeket a piaci szereplők termékeinek fejlesztéseként értik. Ez az algebra általánosítható, hogy konformális parafermionos elméletekhez vezessen. Az Ising modell a Wess-Zumino-Witten modellekből is megszerezhető, hányados eljárással. Az Ising modell a hányados .
Az Ising modell konform elméletét a forma operátora megzavarhatja . AB Zamolodcsikov képes volt megmutatni, hogy ez a zavart elmélet integrálható, és sejteni tudta a zavart modellt leíró masszív mezőelméleti mátrixot .
Az a tény, hogy az Ising-modell központi töltéssel rendelkezik, lehetővé teszi a kettős Ising-modell központi töltéselméletté történő redukálását, amely a szabad bozonelmélet orbifoldjaként írható le.
Az Ising-modell három dimenziójában még nem találtunk analitikai megoldást. Lehetséges azonban az Ising modell kritikus kitevőinek kiszámítása az átmenet közelében a renormalizációs csoport használatával vagy a bootstrap megfelelőségével . E kiállítók táblázata megtalálható Claude Itzykson és JM Drouffe könyvében.
A kritikus hőmérsékletet számítógépes szimulációk segítségével tudtuk kiszámítani (Monte Carlo).
Bár ez az eset nem fizikai, az Ising-modell kritikus kitevői az átlagos mezőelméletéi. A renormalizációs csoport nyelvén négy az Ising-modell felső kritikus dimenziója. Az átlagos térelmélet a végtelen tartományú Ising-modell pontos megoldása is, amelyet a Hamilton-féle meghatároz :
Formálisan ez a modell egy mágneses momentumot ír le , amely számos szomszéddal lép kölcsönhatásba, és amely a végtelen felé halad. Ezért az Ising-modell végtelen dimenziójának határaként tekinthető. Ha ahelyett, hogy végtelen dimenzióban definiálnánk az Ising-modellt végtelen dimenzióban, rögzítjük a szomszédok számát egy Cayley-fán (más néven Bethe-rács) kapott modell figyelembevételével, akkor azt találjuk, hogy a pontos megoldást a Bethe- Peierls-közelítés. Ez a közelítés jobb becslést ad a hőmérsékletről az átlagmezőhöz képest, de mivel ez is egy önkonzisztens módszer, az átlagos mezőhatványokat reprodukálja.
Ez a legegyszerűbb modell. Minden pillanat energiája csak + MH vagy -MH értéket vehet igénybe, H az átlagos mező. A partíció függvény ezért az értéket veszi fel:
amelyből könnyen levezethető a mágnesezettség, a mágneses érzékenység, a termodinamikai mennyiségek stb.
Az első szomszédok közötti kölcsönhatás legegyszerűbb formája az, ahol J a kapcsolási állandó. Ilyen esetben az interakcióban részt vevő energia abban az esetben fordul elő, ha Ising forog az értékben . A teljes lánc energiája
és a partíció függvény ekkor ölt formát
Ebben az esetben a következő trükk segítségével redukálódhatunk a pörgés problémájára interakció nélkül: A változókat lecseréljük a változókra . Ebből következik a Z lehetséges faktorizálása:
vagy újra:
Ily módon a különféle termodinamikai változók továbbra is viszonylag egyszerű módon kiszámíthatók.
Az egydimenziós számítás egyszerűsége ellenére a kétdimenziós számítás nagyon összetett. Ami a hagyományos módszerekkel végzett pontos háromdimenziós számítást illeti, lehetetlen. Az elemi interakció rendkívüli egyszerűsége tehát lehetővé teszi, hogy a vizsgált anyag geometriájából adódóan az összes komplexitás nagyon elegáns módon megjelenjen. Ha hozzátesszük, hogy az Ising spin egy számszerű számítógépes szimulációkhoz nagyon alkalmas modell, akkor nem lepődünk meg a látszólag ilyen egyszerű modell népszerűségén.