Riemann-metrika

A differenciál geometria , Riemann metrikák az alapvető fogalmát Riemann-geometria . Az első bevezetőt Bernhard Riemann adta 1854-ben. A cikket azonban 1868-ban bekövetkezett halála után tették közzé. Ugyanebben az évben Hermann von Helmholtz publikált hasonló eredményeket.

A Riemann-mérőszámok pozitív, határozott másodfokú formák differenciálható családjai .

Definíciók

Egy vektor köteg E → M , Riemann metrika g az adatokat egy pont termék g x az egyes szálak E x , amely attól függ, hogy simítsa a talppont x változó M . Formálisabban: x↦g x a szimmetrikus bilinear formák S 2 E → M vektorkötegének bármely pozitív meghatározott pontja . Azt mondjuk, hogy az adatok ( E, g ) egy Riemann-féle köteg .

Két Riemann kötegek ( E, G ) és ( F, G ' ) a M , egy Riemann köteg morfizmus f :( E, G ) → ( E, G' ) egy vektor köteg morfizmus F: E → E ' olyan, hogy , bármely pontja x a M , a lineáris leképezés f x : E x → f x jelentése lineáris izometria , azaz:

\ forall v, w \ in E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Ha M differenciális sokszorosító, akkor az M-en lévő Riemann-metrika egyszerűen Riemann-metrika az érintőkötegén . Az adatok ( M, g ) egy Riemann-sokaság .

Két Riemann-féle sokaság ( M, g ) és ( N, g ' ) esetén az F :( izometria: ( M, g ) → ( N, g' ) egy differenciálható F: M → N térkép , amely az érintő dF :( A TM, g ) → ( TN, g ' ) a Riemann-féle kötegek morfizmusa. Ez az utolsó feltétel átírásra kerül: F * g '= g .

Példák

A ℝ n bármely skaláris szorzata bármely triviális vektorköteget indukál M × ℝ n → M a Riemann-metrika: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Legyen g Riemann-metrika E → M és P sokaságon. A differenciálható function: P → M függvényhez a visszahúzottIndukált rost vektorkötegen létezik ψ * E → P egy egyedi Riemann-metrika ψ * g oly módon, hogy a természetes morfizmus ψ * E → E a Riemann-kötegek izomorfizmusa.
Ha g egy Riemann-metrikát a E → M , majd restrikciós , g Riemann-metrikát bármely vektor subbundle a E .
A Minkowski-mutató határértéke, amikor c megközelíti a végtelenséget, egy kötegelt metrika. Az idő abszolút lesz, a tér-idő pedig rost felül, megtaláljuk a Galileo átalakulását . Két különböző időpontban a mutató az idők különbsége. Ugyanakkor a térben izomorf térrostban a metrika a szokásos skaláris szorzat. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Létezés

Bármelyik parakompakt alapvektor-csomagban létezik Riemann-metrika.

Tüntetések

Bizonyítás az egység partícióján keresztül.

Az M bármely kellően kicsi nyitott U esetén a π -1 ( U ) → U vektorköteg elbagatellizálható. Fentről azonban bármely trivializálható vektorköteg elfogadja a Riemann-metrikát. Tehát, létezik egy Riemann-metrikát g U a π -1 ( U ).

A paracompacity az M , létezik egy megszámlálható átfedés ( U n ) n ∈ℕ az M olyan, hogy bármely egész szám n , létezik egy Riemann-metrikát g n a vektor köteg π -1 ( U n ) → U n . Legyen (φ n ) n ∈ℕ lehet egy partíció az egység alárendelve ( U n ) N ∈ℕ . A térkép X ↦φ n ( x ) g n ( x ) egy globális részébe S 2 π -1 ( U n ) → U n nulla szomszédságában a határ ∂ U n . S 2 E → M globális szakasza kiterjeszti , helytelenül x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ) -vel jelölve . ${\ displaystyle 0}$

Ezután megkérdezzük:

g = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Ez egy szakasza S 2 E → M , és ez jól meghatározott pozitív bármely pontján az M : ha tartozik belsejében támogatását , és bármely, nem-nulla vektor a ,

x

x

\ phi _ {n}

v

Volt}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Bizonyítás beágyazás útján.

Létezik egy F → M vektorköteg, így E ⊕ F → M trivializálható. Ezen a szinten alkalmazva az M parakompaktuma . Tehát van egy Riemann-metrika az E ⊕ F → M-en , amely Riemann-metrikára korlátozódik az E → M-en .

Bár látszólag rövidebb, ez a második érv elrejti a létezés nehézségeit . Ez a létezés az egység-partíció érvelésére is hivatkozik . $F$

Különösen :

Bármely parakompakt differenciálcsatornán van Riemann-metrika.

Lásd is