Nagyon összetett szám

Az erősen összetett szám egy szigorúan pozitív egész szám , amelynek szigorúan több osztója van, mint az azt megelőző számok.

Raymond Badiou azt javasolta, hogy hívják őket plouton számoknak ( ploutos , gazdagság isteni).

Történelmi

Ezeknek a számoknak a meghatározását és megnevezését Srinivasa Ramanujan vezette be 1915-ben .

Jean-Pierre Kahane azonban azt javasolta, hogy a koncepció Platón számára ismert legyen, aki 5040-ben megalapozta az ideális polgárok számát egy városban, mivel sok elválasztóval rendelkezik, lehetővé téve számukra, hogy azonos méretű alcsoportokra oszthassák őket. Valószínűbb, hogy az 5040-et egyszerűen azért választották, hogy egyenlő legyen . ${\ displaystyle 7! = 2-szer 3-szor 4-szer 5-ször 6-szor 7-szer}$

Első értékek

Az első huszonegy igen összetett szám a következő (közülük nyolc, aláhúzva, még ennél is magasabb összetett ):

magas vegyületek száma (folytatás az OEIS A002182 )	1	2	4	6.	12.	24.	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1,260	1,680	2,520	5,040	7,560	10,080
számú pozitív osztója (folytatjuk A002183 a OEIS-ben )	1	2	3	4	6.	8.	9.	10.	12.	16.	18.	20	24.	30	32	36	40	48	60	64.	72
elsődleges faktorálás		2	2²	2 3	2² 3	2³ 3	2² 3²	2⁴ 3	2² 3 5	2³ 3 5	2² 3² 5	2⁴ 3 5	2³ 3² 5	2⁴ 3² 5	2³ 3 5 7	2² 3² 5 7	2⁴ 3 5 7	2³ 3² 5 7	2⁴ 3² 5 7	2³ 3³ 5 7	2⁵ 3² 5 7
a primorok termékévé bomlás		2	2 2	6.	2 6	2 2 6	6 2	2 3 6	2 30	2 2 30	6 30	2 3 30	2 6 30	2 2 6 30	2 2 210	6 210	2 3 210	2 6 210	2 2 6 210	6 2 210	2 3 6 210

Megjegyezhetjük, hogy az első 7 faktoriál : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, nagyon összetett, de 8!=40320nem az.

A bomlás exponenseinek csökkenése prímtényezők szorzatává

Hogy képet adjunk egy nagyon összetett szám alakjáról, azt mondhatjuk, hogy ez egy olyan szám, amelynek a lehető legkisebb a prímtényezője , anélkül, hogy túl sokszor ugyanaz lenne. Valóban, ha egy egész szám elsődleges tényezőkké történő bontását vesszük figyelembe az alábbiak szerint: $n> 1$

n = p_ {1} ^ {{c_ {1}}} \ szor p_ {2} ^ {{c_ {2}}} \ szor \ cdots \ szer p_ {k} ^ {{c_ {k}}}

hol vannak az első prímszámok, és ahol az utolsó kitevő nem nulla, akkor a osztók száma : ${\ displaystyle p_ {1} = 2 <p_ {2} = 3 <... <p_ {k}}$ $k$ ${\ displaystyle c_ {k}}$ $nem$

(c_ {1} +1) \ szor (c_ {2} +1) \ times \ cdots \ szor (c_ {k} +1).

Következésképpen ahhoz, hogy erősen összetett legyen, szükség van arra, hogy (különben a két hibás kitevő kicserélésével csökkenjünk, miközben azonos számú osztót tartunk : például 18 = 2 1 × 3 2 helyettesíthető 12 = 2 2 × 3 1 , mindegyiknek 6 osztója van). Ez a szükséges feltétel ekvivalens: bomlik az elődök termékeire . Bármely igen összetett szám tehát gyakorlati szám . $nem$ ${\ displaystyle c_ {1} \ geqslant c_ {2} \ geqslant ... \ geqslant c_ {k}}$ $nem$ $nem$

Ez a feltétel sajnos nem elegendő; például teljesíti a bomlási feltételt, de nem túl összetett: 12 osztója is van, miközben szigorúan kisebb. ${\ displaystyle 96 = 2 ^ {5} .3}$ ${\ displaystyle 60 = 2 ^ {2} .3.5}$

Azt is megmutathatjuk, hogy mindig van , kivéve két konkrét esetet és . $c_ {k} = 1$ $n = 4$ ${\ displaystyle n = 36}$

A bőség tulajdonsága

Az erősen összetett számok, amelyek szigorúan meghaladják a 6-ot, szintén bőségesek . Ennek a ténynek a megerősítéséhez egyetlen pillantásra van szükség egy adott rendkívül összetett szám három vagy négy legmagasabb osztójára.

Aszimptotikus értékelés

Ha a nagyon összetett számok kisebb vagy egyenlő összege , akkor Ramanujan különösen megmutatta $Q (x)$ $x$

\ lim _ {{x \ to \ infty}} Q (x) / \ ln x = + \ infty,

ami azt bizonyítja, hogy végtelenül sok összetett szám van.

Pontosabban létezik olyan állandó b , amely

({\ ln x}) ^ {{35/32}} \ leq Q (x) \ leq ({\ ln x}) ^ {b}.

A csökkentés az bizonyította Erdős Pál 1944-ben, és a növekedés a Jean-Louis Nicolas (en) 1971-ben. $Q (x)$

Példa

A nagyon összetett 10 080 = 2 5 × 3 2 × 5 × 7 szám 72 osztóval rendelkezik.
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
A félkövér számok önmagukban nagyon összetettek. Csak a huszadik, rendkívül összetett 7560-as szám (= 3 × 2520) hiányzik.

A 10,080 szám szintén " 7-es törékeny ", vagyis minden elsődleges tényezője kisebb vagy egyenlő 7-vel.

használat

Ezen számok egy részét a hagyományos mérési rendszerekben használják , és általában a mérnöki munkában használják, mivel bonyolult frakciószámításokban használják őket , például 12-ben és 60-ban.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Nagyon összetett szám " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Raymond Badiou, " Teljes számokban" osztókban gazdag " , Bulletin de l'APMEP 249. sz .1965. szeptember, P. 409-414 ( online olvasás )
(en) S. Ramanujan , „ Nagyon összetett számok ” , Proc. London Math. Soc. (2) , vol. 14,1915, P. 347-409 ( DOI 10.1112 / plms / s2_14.1.347 , zbMATH 45.1248.01 ).
(in) Kahane, Jean-Pierre, " Bernoulli-féle konvolúciók és önmagához hasonló intézkedések Erdős után: Egy személyes előételek " , az Amerikai Matematikai Társaság közleményei ,2015. február, P. 136–140.
(in) Erdős P. , "a kompozit nagyon sok " , J. London Math. Soc. , vol. 19,1944, P. 130–133 ( online olvasás ).
J.-L. Nicolas „megoszlása rendkívül álló szám Ramanujan” Canad. J. Math. , repülés. 23, n ° 1, 1971, p. 116-130 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „ Nagyon összetett szám ” , a MathWorld- on
en) Bill Lauritzen, „ Sokoldalú számok: önszerveződés, megjelenés és gazdaságtan ” ,2000. augusztus
(en) Algoritmus és felsorolások egy régi weboldalon (1998) Kiran Kedlaya (de)