Háromszög négyzetszám
A matematikában a négyzet alakú háromszögszám olyan háromszögszám , amely ráadásul négyzet alakú . Vannak végtelenbe ilyen számokat.
Formában vannak megírva
NEMk=((1+2)2k-(1-2)2k)232=((3+22)k-(3-22)k)232,k∈NEM∗.{\ displaystyle N_ {k} = {\ frac {\ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} \ right) ^ {2}} {32}} = {\ frac {\ left (\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3- 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} \ right) ^ {2}} {32}}, \ quad k \ in \ mathbb {N} ^ {*}.}
Demonstráció
A probléma a Diophantine-egyenlet megoldására a következő módon áll.
Bármely háromszögszám t ( t + 1) / 2 alakú . Ezért olyan t és s egész számokat keresünk , hogy t ( t + 1) / 2 = s 2 , vagyis x = 2 t + 1 és y = 2 s beállításával az egyenlet Pell- Fermat
x2-2y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1.}
A megoldásokat az adja
xk+yk2=(1+2)2k,{\ displaystyle x_ {k} + y_ {k} {\ sqrt {2}} = (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k},}
van
xk=(1+2)2k+(1-2)2k2etyk=(1+2)2k-(1-2)2k22.{\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k}} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad y_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k}} {2 {\ sqrt {2}}}}.}
Tehát megtaláljuk
tk=(1+2)2k+(1-2)2k-24etsk=(1+2)2k-(1-2)2k42,{\ displaystyle t_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k} -2} {4}} \ quad {\ rm {et}} \ quad s_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k }} {4 {\ sqrt {2}}}},}
ezért az N k = s k 2 esetén meghirdetett érték .
Numerikus megfigyelések
k
|
N k
|
s k
|
t k
|
t k / s k
|
---|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
36
|
6.
|
8.
|
1.3 ...
|
3
|
1225
|
35
|
49
|
1.4
|
4
|
41 616
|
204
|
288
|
1.411 ...
|
5.
|
1,413,721
|
1,189
|
1,681
|
1,413 ...
|
6.
|
48,024,900
|
6,930
|
9 800
|
1.4141 ...
|
7
|
1 631 432 881
|
40,391
|
57,121
|
1.41420…
|
8.
|
55 420 693 056
|
235,416
|
332 928
|
1.414211 ...
|
9.
|
1 882 672 131 025
|
1,372,105
|
1 940 449
|
1.4142132…
|
(lásd az OEIS A001110 folytatását az N k néhány következő értékére ).
Amikor k végtelenbe hajlik, az arány
tksk=xk-1yk∼xkyk{\ displaystyle {\ frac {t_ {k}} {s_ {k}}} = {\ frac {x_ {k} -1} {y_ {k}}} \ sim {\ frac {x_ {k}} { y_ {k}}}}
kettő négyzetgyökére hajlamos és
NEMk+1NEMk=sk+12sk2→(1+2)4.{\ displaystyle {N_ {k + 1} \ over {N_ {k}}} = {s_ {k + 1} ^ {2} \ over s_ {k} ^ {2}} \ to (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4}.}
Megjegyzések és hivatkozások
(en) Ez a cikk részben vagy egészben az
angol Wikipedia
" Háromszög alakú négyzetszám " című cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását )
, 2005 augusztusában átnevezték " Négyzet alakú háromszög számnak " .
-
(in) Eric W. Weisstein , " Négyzet alakú háromszögszám " a MathWorld- on .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">