Háromszögszám

A számtani , egy háromszög alakú számot egy speciális esete a sokszögszámok . Nem nulla természetes számnak felel meg, amely megegyezik a jobb oldali két ábrához hasonlóan felépített háromszög pelleteinek számával . A második azt mutatja, hogy a hetedik háromszögszám - annak, amelynek az oldalán 7 betét van - 28. Ennek az egész sorozatnak a formálisabb meghatározását indukcióval nyerjük  : az első háromszögszám 1, az n -edik pedig a n és az előző. Az első tíz háromszögszám: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ( az OEIS A000217 folytatása ). Az n- edik háromszögszám kiszámítására többféle módszer létezik ; az egyik grafikus, és geometriai számtani érveléssel nyerhető . Megtaláljuk, ha t n az n-edik háromszögszámot jelöli :

∀nem∈NEM∗tnem=nem(nem+1)2.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad t_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.}

Ez a képlet az ősi - ez az iskola a Pitagorasz - és valószínűleg ismert eleje óta a V -én  század  ie. J.-C.

Definíció és számítások

Definíciók

Formálisan egy háromszögszámot olyan szekvenciaként határozunk meg, amelyet ebben a cikkben ( t n ) jegyezünk meg, ahol n szigorúan pozitív egész számokat felölelő index:

Definíció  -  Bármely szigorúan pozitív n szám esetén az n- edik háromszögszám az 1-től n- ig terjedő egész számok összege .

A szekvencia meghatározásának másik módja a megismétlődés. A két készítmény egyenértékű:

Definíció  -  A háromszögszámok sorrendjét a következők határozzák meg:

t1=1és∀nem∈NEM∗tnem=1+2+⋯+(nem-1)+nem=tnem-1+nem.{\ displaystyle t_ {1} = 1 \ quad {\ text {and}} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad t_ {n} = 1 + 2 + \ cdots + (n -1) + n = t_ {n-1} + n.}

A pythagoreusiak közül a negyedik háromszögszámot, vagyis a 10-et tetraktysnak nevezik. Szimbolikus dimenzióval rendelkezik.

Megjegyzés: Az a döntés, hogy nem definiáljuk a háromszög számát a 0 indexszel, történelmileg igazolható, mivel az ókori görögöknél nem létezett nulla . Ezt a konvenciót bizonyos didaktikai előadásokra választják. Diderot és D'Alembert enciklopédiájában is történelmileg választják az összes megjelenített számra. De nem mindig követik. Ha a 0-t háromszögszámként ismerjük el, akkor bármely pozitív egész szám három háromszögszám összege. Ez az ok arra készteti Fermat és Gauss-t, hogy döntsenek úgy, hogy elfogadják a 0-t háromszögszámként.

Számítási módszerek

Régi számítási módszer származik a pitagorasi iskolából . Az akkori görögök a geometriát használták ilyen jellegű kérdések megoldására. Ezt a megközelítést geometriai aritmetikának hívják . A jobboldali ábra segít megmagyarázni, hogyan számítják ki a 8 th  háromszögszámok. Az ábra piros területe megfelel ennek a számnak, vagyis az 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 összegnek. Ehhez a piros területhez hozzáadjuk az ábra kék területét , pontosan ugyanannyi pelletet tartalmaz, mint a piros. A kék és vörös területet tartalmaz néhány olyan pelletek kétszeresével egyenlő 8 th  háromszögszámok. Azonban, ez a terület alapvető téglalap 9. és 8. A magassága dupla 8 th  háromszögletű szám egyenlő a 8 × 9 = 72 úgy, hogy a 8. E  szám egyenlő a 36. Mi vissza a képlet bejelentett bevezetése:

tnem=1+2+⋯+(nem-1)+nem=nem(nem+1)2.{\ displaystyle t_ {n} = 1 + 2 + \ cdots + (n-1) + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.}

Ez a képlet újraértelmezhető az n- edik háromszög számának binomiális együttható formájában történő kifejezéseként  :

tnem=(nem+12).{\ displaystyle t_ {n} = {n + 1 \ select 2}.}

Van közvetlen bizonyítás szavak nélkül , a háromszög pontjai és az n  + 1 elemet tartalmazó halmaz párjai közötti bijekcióval .

További tisztán algebrai igazolásokért lásd a Sum (aritmetika) , „A fő egész számok összege” című cikket .

Geometriai eredmények

A pitagoraszi iskola görögjei nem ismerték az elemi számtan alapvető tételeit , például Euklidész lemmáját , a Bachet-Bézout tételt vagy a számtan alaptételét . Más számtant dolgoztak ki, és az itt bemutatott eredmények kissé hasonlítanak számtani koncepciójukra. Mivel azonban az iskola tagjai nem írtak közvetlenül erre a kérdésre szöveget, nehéz konkrét eredményeket összekapcsolni az iskola tagjainak dátumával vagy nevével, valamint kategorikusnak tekinteni azt a tényt, hogy az eredmény jól ismert volt. nekik.

Két egymást követő háromszögszám összege

A jobb oldali ábra azt mutatja, hogy a negyedik és az ötödik háromszög számának összege alkotja a tökéletes ötödik négyzetet , azaz a 25. Ez az eredmény nem csak az ötös értékre igaz:

Tétel  :  Bármely n > 1 egész szám esetén az n és n  - 1 indexű két háromszög számának összege megegyezik n 2-vel .

Az előző képlet lehetővé teszi ennek az eredménynek a megállapítását:

tnem+tnem-1=2tnem-1+nem=nem(nem-1)+nem=nem2.{\ displaystyle t_ {n} + t_ {n-1} = 2t_ {n-1} + n = n (n-1) + n = n ^ {2}.}

A háromszögszám négy háromszögszám összege

A szemközti két grafikon azt jelzi, hogy az n- edik háromszögszám négy háromszögszám összege. Ez igaz az n index paritásától függetlenül . Valójában t 14 a t 7 háromszorosa , a t 6 és t 15 összege a t 7 és a t 8 háromszorosa . Ezt a javaslatot a következőképpen fejezzük ki:

Tétel  :  A 3. indexből bármely háromszögszám négy háromszögszám összege. Pontosabban: bármely n ≥ 2 egész számra ,

t2nem-1=3tnem-1+tnemést2nem=3tnem+tnem-1.{\ displaystyle t_ {2n-1} = 3t_ {n-1} + t_ {n} \ quad {\ text {et}} \ quad t_ {2n} = 3t_ {n} + t_ {n-1}.}

Valóban :

(3tnem+tnem-1)+(3tnem-1+tnem)=4(tnem+tnem-1)=4nem2=(2nem)2=t2nem+t2nem-1,{\ displaystyle (3t_ {n} + t_ {n-1}) + (3t_ {n-1} + t_ {n}) = 4 (t_ {n} + t_ {n-1}) = 4n ^ {2 } = (2n) ^ {2} = t_ {2n} + t_ {2n-1},} (3tnem+tnem-1)-(3tnem-1+tnem)=2(tnem-tnem-1)=2nem=t2nem-t2nem-1.{\ displaystyle (3t_ {n} + t_ {n-1}) - (3t_ {n-1} + t_ {n}) = 2 (t_ {n} -t_ {n-1}) = 2n = t_ { 2n} -t_ {2n-1}.}

Tökéletes négyzet egyedi háromszög számmal

A jobb oldali ábra azt mutatja, hogy a 7. index nyolc háromszögszámát be lehet fészkelni, hogy az ábrán szürke színű, a 15 oldalú négyzet képződjön, amelyből hiányzik a központi pellet; eredmény, amely a páratlan számok összes négyzetére általánosít:

Tétel  :  Bármely n > 0 egész szám esetén a tökéletes négyzet (2 n  + 1) 2 a t n 8-szorosának és az 1-nek az összege :

8.tnem+1=(2nem+1)2.{\ displaystyle 8t_ {n} + 1 = (2n + 1) ^ {2}.}

Valójában ez az eredmény közvetlenül egy figyelemre méltó identitás alkalmazása  :

(2nem+1)2-1=(2nem+1-1)(2nem+1+1)=4nem(nem+1)=8.tnem.{\ displaystyle (2n + 1) ^ {2} -1 = (2n + 1-1) (2n + 1 + 1) = 4n (n + 1) = 8t_ {n}.}

Kocka és háromszög szám

Egy másik eredmény a kockákkal foglalkozik. A következőképpen szól:

Állítás  -  Ha n jelentése egész szám nagyobb, mint 2, a különbség a négyzetek a háromszögszámok az indexek n és n  - 1 egyenlő a kocka a n .

Ez újra felfedezte a perzsa matematikus Al-Karaji , aki bemutatja azt például n = 10, figyelembe véve gnomons és kifejezi azt egy egyenértékű módon:

Tétel  -  Ha n szigorúan pozitív egész szám, az első n köbös szám összege az n- edik háromszög számának négyzete .

Egyéb tulajdonságok

Általánosítások

Ha az első n szigorúan pozitív egész szám összegének kiszámítása helyett kiszámítjuk az első n szigorúan pozitív négyzetet, amelyeket c n-nek hívunk , akkor megkapjuk:

vs.nem=nem(nem+1)(2nem+1)6..{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}.}

A képlet helyességének megérzését a következő szótlan bizonyítás adja :

Ez az eredmény az első n szigorúan pozitív hatalom összegére általánosít . Ez az összeg Faulhaber képletének nevét viseli . Az is lehetséges, hogy általánossá figyelembe véve a pontok számát s n, d tartalmazott egy szimplex akinek fél hosszúságú n , a tér dimenziója d . Azt kapjuk :

snem,d=nem(nem+1)⋯(nem+(d-1))d!.{\ displaystyle s_ {n, d} = {\ frac {n (n + 1) \ cdots (n + (d-1))} {d!}}.}

Három háromszög szám egészének összege

1638-ban Fermat azt állította, hogy van bizonyítéka arra, hogy bármely egész szám három háromszögszám összege (feltéve, hogy a nulla háromszögszámnak tekintendő), sőt egy általánosítás is ( Fermat sokszögű tételének tétele , amelyet végül Cauchy mutatott be 1813-ban. ) és kinyilvánította szándékát, hogy olyan könyvet ír, amely forradalmasítani fogja a számtan ezen részét, de egyetlen könyv sem jelent meg. 1796-ban Gauss a következő bizonyítékot fedezte fel.

A bemutató itt nem geometriai. Az aritmetika, ahogyan azt Pythagoras korában foganták meg, erőtlen az ilyen jellegű eredmények bizonyítására. A nehéz része a bizonyítás a tétel a három négyzet a Legendre , ami azt jelenti, hogy bármely pozitív egész szám kongruens 3 modulo 8 jelentése összege három négyzet tökéletes. Legyen M pozitív egész szám, 8 M  + 3 három négyzet összege. Ezenkívül az összeg minden négyzete páratlan, különben az összegük nem egyezik meg a 3 modulo 4-vel. Három x , y és z egész szám létezésére következtetünk úgy, hogy:

8.M+3=(2x+1)2+(2y+1)2+(2z+1)2=8.(x(x+1)2+y(y+1)2+z(z+1)2)+3.{\ displaystyle 8M + 3 = (2x + 1) ^ {2} + (2y + 1) ^ {2} + (2z + 1) ^ {2} = 8 \ balra ({\ frac {x (x + 1) )} {2}} + {\ frac {y (y + 1)} {2}} + {\ frac {z (z + 1)} {2}} \ jobbra +3.}

Ez az utolsó egyenlőség a kívánt eredményt jelenti: M az x , y és z index három háromszögszámának összege .

Megjegyzések és hivatkozások

1. A kifejezés index az egyik gyakran használt, a következő: Axel Delmotte, William Seck és Hubert Silly, Reussir les teszteli belépési des 3 rd  ciklus et Écoles kamatjóváírásos , Jeunes Editions, 2005 ( ISBN  978-2844725769 ) , p.  67 . Más szerzők Mindazonáltal a rangról és nem az indexről beszélnek.
2. Gérard Villemin háromszögszámok számok - Érdekességek, az elmélet és a felhasználás (2007)
3. Ezért ez egy aritmetikai szekvencia tagjai összegének prototípusa .
4. Gérard Villemin háromszögszámok - érdekességek, elmélet és felhasználások (2007)
5. (a) Walter Burkert , Lore és Science az ókori pitagoreizmus , HUP ,1972( ISBN  978-0674539181 , online olvasás ) , p.  463 megkérdőjelezhető .
6. Denis Diderot Jean le Rond D'Alembert Enciklopédia vagy Reasoned Dictionary of Arts and Crafts Sciences (1781)
7. C. F. Gauss, Aritmetikai kutatás , p. Az 1807. évi fordítás  353. sz .
8. (in) Thomas Little Heath , A görög matematika története , 1. köt.  1: Thalestől Euclidig , CUP ,2013( 1 st  szerk. 1921) ( ISBN  978-1-108-06306-7 , olvasható online ) , p.  76-77.
9. Ez a bizonyíték a (a) Loren C. Larson , "  Pillantás Diszkrét 1 + 2 + ⋯ + n  " , College Matematika Journal  (a) , vol.  16, n o  5,1985, P.  369-382( Pp.  375 , 7. ábra) reprodukálják a (in) Claudi Alsina és Roger B. Nelsen , Charming igazolásokat: A Journey Into Elegáns Matematika , MAA ,2010( online olvasható ) , p.  6.és (in) Roger B. Nelsen , "A számelmélet vizuális gyöngyszemei" , Arthur T. Benjamin és Ezra Brown, A számelmélet sütik , MAA2009( online olvasható ) , p.  53.
10. Burkert 1972 , p.  427-446.
11. A Burkert 1972 , p.  439, azt találjuk: „  Az irracionalitás felfedezésével kapcsolatos egyetlen bizonyosság az, hogy a kirenei Theodorus bebizonyította, hogy √n (n = 3, ... 17 és nem tökéletes négyzet esetén) irracionális.  "
12. A. Dahan-Dalmedico és J. Peiffer , A matematika története: utak és útvesztők ,1986[ a kiadások részlete ], P.  90 .
13. Ebből származik (in) Roger B. Nelsen , igazolásokat nélkül szavak: Gyakorlatok Visual Thinking , MAA1997, 152  p. ( ISBN  978-0-88385-700-7 , online olvasás ).
14. Paul Bőrgyár és Charles Henry , Fermat művei , t. 1896, 3. o. 252. sz .: Bachet kommentárja a IV., 31 .
15. Joseph Louis Lagrange , „A számtan tételének bemutatása”, A Királyi Tudományos Akadémia és a berlini Belles-Lettres új emlékei , 1770. o.  123-133 - Teljes művek , 3. kötet, p.  189-201 .
16. "  ΕΥΡΗΚΑ . szám = Δ + Δ + Δ ” , Journal de Gauss , 1796. július 10. [ vo ] , [ vf ] .

Lásd is

• Ramanujan - Nagell egyenlet
• Háromszög alakú készlet
• Enneagonális központú szám (háromszög alakú számok szekvenciája 1 modulo 3-hoz egybeeső indexekkel, vagyis az 1 modulo 9-hez egybevágó háromszögszámokkal - a többiek oszthatók 3-mal)
• Hatszögszám (páratlan indexű háromszögszámok részsorozata)
• Négyszög háromszög
• Háromszög alakú középen
• Tetraéder szám

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">