A matematikában a tökéletes négyzet ( négyzet, ha nincs kétértelműség) az egész négyzet . Az első 70 négyzet ( az OEIS A000290 csomagja ):
0 2 = 0 | 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 | 30 2 = 900 | 35 2 = 1225 | 40 2 = 1600 | 45 2 = 2 025 | 50 2 = 2500 | 55 2 = 3,025 | 60 2 = 3 600 | 65 2 = 4225 |
1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 | 26 2 = 676 | 31 2 = 961 | 36 2 = 1296 | 41 2 = 1 681 | 46 2 = 2 116 | 51 2 = 2 601 | 56 2 = 3 136 | 61 2 = 3,721 | 66 2 = 4 356 |
2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 | 27 2 = 729 | 32 2 = 1024 | 37 2 = 1369 | 42 2 = 1,764 | 47 2 = 2 209 | 52 2 = 2 704 | 57 2 = 3249 | 62 2 = 3844 | 67 2 = 4489 |
3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 | 28 2 = 784 | 33 2 = 1 089 | 38 2 = 1444 | 43 2 = 1 849 | 48 2 = 2 304 | 53 2 = 2 809 | 58 2 = 3 364 | 63 2 = 3 969 | 68 2 = 4624 |
4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 | 29 2 = 841 | 34 2 = 1.156 | 39 2 = 1 521 | 44 2 = 1936 | 49 2 = 2 401 | 54 2 = 2 916 | 59 2 = 3481 | 64 2 = 4096 | 69 2 = 4 761 |
A szokásos számozási rendszerünkben a tökéletes négyzet egységjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9. lehet. A tizenkét alapban szükségszerűen 0, 1, 4 vagy 9 lenne.
Azt mondjuk, hogy egy egész szám q jelentése kvadratikus maradék modulo egész szám m , ha létezik olyan egész szám, n oly módon, hogy:
.Nagyon hasznos koncepció; különösen annak bemutatását teszi lehetővé, hogy bizonyos Diophantine-egyenletek nem engednek megoldást. Például k egész szám esetén az egyenlet nem ismer fel megoldást . Valójában, ha a 4 modulo másodfokú maradéka 0 és 1, akkor egy tökéletes négyzet maradéka nem lehet egyenlő 2-vel az euklideszi 4-es osztásnál .
Úgy véljük, a és b nem nulla természetes egész számok .
3. Ha a tökéletes négyzet, akkor létezik olyan m > 0 egész szám , hogy a = m 2 . Megjegyezve bomlása törzstényezős azt levezetni :, ezért minden kitevők lebomlását egy még. Ezzel szemben, ha a kitevők lebomlását egy még akkor egy formában van .
4. Tegyük fel, hogy pgcd ( a , b ) = 1 és ab = n 2 ahol .
Jelölje: c = pgcd ( a , n ) . Tehát:
.Hasonlóképpen, b = (pgcd ( b , n )) 2 .
5. Csak vegye észre .
6. A 3. tulajdonság szerint az a akkor tökéletes négyzet, ha a j p kitevői elsődleges tényezőjében egyenletesek, ami egyenértékű a szorzat egyenlőtlenségével . Most ez a termék száma osztója a .
7. Vö. „ Másodlagos maradékok modulo 10 ”.
8. Lásd: „ Az első n kocka összege ”.
A négyzet száma egy sokszögszámok (ezért szigorúan pozitív egész szám ), amely képviseli geometriailag egy négyzet . Például a 9 négyzetszám, mivel 3 × 3 pontos négyzettel ábrázolható . A négyzetszámok tehát nem nulla tökéletes négyzetek , n- edik értéke n 2 .
Két négyzetszám szorzata négyzetszám.
Az első négyzetszám ábrázolása pont. Az n- edik értékét úgy kapjuk meg, hogy az előző négyzet két egymást követő oldalát 2 n - 1 ponttal határoljuk :
1 + 3 = 2 2 = 4
4 + 5 = 3 2 = 9
9 + 7 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
Az n- edik négyzetszám tehát az első n páratlan szám összege : ,
amely gyakorlati eszközt biztosít a négyzettábla kialakításához: az első sorra írja az egymás utáni egész számokat, amelyeknek a négyzetét akarja alkotni, majd az egymást követő páratlan számokat. A harmadik sorban, kezdve 1-vel, minden alkalommal, amikor a páratlan számot közvetlenül jobbra és fölé adjuk, természetesen felépítjük a tökéletes négyzetek sorrendjét. Ezt a tulajdonságot használják négyzetgyökkel történő kivonási módszerre, és még gyakorlatiasabban négyzetgyökkel történő kivonásra abacusszal .
Az n- edik négyzetszám megegyezik az n- edik és az előző háromszög számának összegével is :
Két egymást követő négyzetszám összege középre helyezett négyzetszám .
A összege első n négyzet szám egyenlő a N- edik négyzet piramis száma :
A matematikusokat gyakran érdekelték a négyzetszámokkal kapcsolatos érdekességek. A legismertebb, különösen a Pitagorasz-tételre való hivatkozása miatt , a 3 2 + 4 2 = 5 2 egyenlőség , amely megkezdi a Pitagorai-hármasok tanulmányozását. Az 1995-ben bemutatott Fermat-Wiles-tétel szerint csak a négyzetszámok képesek olyan identitást létrehozni, mint a pitagorasi hármasok. Például nincs megoldás a 3 + b 3 = c 3 -ra, ahol a , b és c egész szám nem nulla.
Tökéletes négyzet a recreomath.qc.ca oldalon
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">