Az első n kocka összege
A összege első n kocka van a téren a összege az első n egész számok :
13+23+33+⋯+nem3=(1+2+3+⋯+nem)2{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = \ balra (1 + 2 + 3 + \ cdots + n \ jobbra) ^ {2} }![{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = \ balra (1 + 2 + 3 + \ cdots + n \ jobbra) ^ {2} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664eb48fc75b71a90eb574543a7304dc303cee6c)
.
Vagy használhatja az összegek tömörebb jelölését:
∑k=1nemk3=(∑k=1nemk)2{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = \ balra (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ jobbra) ^ {2}}![{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = \ balra (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ jobbra) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baedc0286b8b86399471b5280087fd26bb210def)
.
Ezt az identitást néha Nicomachean- tételnek nevezik .
Számos történelmi matematikus tanulmányozta és bizonyította, hogy ez könnyen bizonyítható az egyenlőségről. Stroeker úgy véli, hogy "minden számelméletet tanuló embert csodálatosnak kellett lennie ezen a csodálatos tényen" . Pengelley Bressoud és megállapította, hogy az egyenlőség nem csak a munka Nikomakhosz (élő egész évben 100 jelen Jordan ), hanem a Árjabhata a India a V th században , a Al-Karaji körül 1000 Perzsiában , a Alcabitius a Arábiában , a francia Gersonide- nal és Nilakantha Somayajival (1500 körül Indiában), utóbbi vizuális bemutatót nyújtott (vö. a szemközti ábrával).
Több más tüntetés is lehetséges. Az egyiket Charles Wheatstone biztosítja , aki minden kockát egymás után páratlan számok összegére bővít, és azt használja, hogy az első n egész szám összege megegyezzen az n- edik háromszög számával :
nem(nem+1)2{\ displaystyle {\ frac {n (n + 1)} {2}}}![{\ displaystyle {\ frac {n (n + 1)} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fbb88f3c74182de3357dd19fbd2eb3e60dffc8)
1+23+33+43+⋯+nem3=1+[3+5.]+[7+9.+11.]+[13.+15+17.+19.]+⋯+[(nem2-nem+1)+⋯+(nem2+nem-1)]⏟nem3=1⏟12+3⏟22+5.⏟32+⋯+(nem2+nem-1)⏟(nem(nem+1)2)2=(1+2+⋯+nem)2.{\ displaystyle {\ begin {aligned} 1 + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} & = 1+ [3 + 5] + [7+ 9 + 11] + [13 + 15 + 17 + 19] + \ cdots + \ underbrace {[\ left (n ^ {2} -n + 1 \ right) + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ jobbra]]} _ {n ^ {3}} \\ & = \ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {1} _ {1 ^ {2}} + 3} _ {2 ^ { 2}} + 5} _ {3 ^ {2}} + \ cdots + \ bal (n ^ {2} + n-1 \ jobb)} _ {\ bal ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ jobbra) ^ {2}} \\ & = (1 + 2 + \ cdots + n) ^ {2}. \ Vége {igazítva}}}![{\ displaystyle {\ begin {aligned} 1 + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} & = 1+ [3 + 5] + [7+ 9 + 11] + [13 + 15 + 17 + 19] + \ cdots + \ underbrace {[\ left (n ^ {2} -n + 1 \ right) + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ jobbra]]} _ {n ^ {3}} \\ & = \ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {1} _ {1 ^ {2}} + 3} _ {2 ^ { 2}} + 5} _ {3 ^ {2}} + \ cdots + \ bal (n ^ {2} + n-1 \ jobb)} _ {\ bal ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ jobbra) ^ {2}} \\ & = (1 + 2 + \ cdots + n) ^ {2}. \ Vége {igazítva}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffb32b82647757a2f3791bd1bc339df104adbdc)
Közvetlenebb algebrai bizonyítás:
(nem(nem+1)2)2-(nem(nem-1)2)2=nem2(nem+1)2-(nem-1)24=nem3{\ displaystyle \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {n (n-1)} {2}} \ right) ^ {2} = n ^ {2} {\ frac {(n + 1) ^ {2} - (n-1) ^ {2}} {4}} = n ^ {3}}![{\ displaystyle \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {n (n-1)} {2}} \ right) ^ {2} = n ^ {2} {\ frac {(n + 1) ^ {2} - (n-1) ^ {2}} {4}} = n ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759b5e551624bfbe951b7d9cf41222d52ab82672)
.
Az értékek az első természetes számok: 0, 1, 9, 36, 100, 225 , stb ( az OEIS A000537 folytatása ).
(nem(nem+1)2)2{\ displaystyle \ bal ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ jobbra) ^ {2}}![{\ displaystyle \ bal ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ jobbra) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3517833cc3618940fd1c56a3d1025dca65c433e7)
Hivatkozások
-
(in) RJ Stroeker , " Az egymást követő kockák összességéről, amelyek fehérek és tökéletes négyzetek " , Compositio Mathematica , vol. 97,1995, P. 295-307 ( online olvasás ).
-
(in) David Pengelley, "A híd entre les folytonos és a diszkrét eredeti forrásokon keresztül" a Study the Masters: Abel-Fauvel konferencia , Nemzeti Matematikai Oktatási Központ, Univ. Göteborg ,2002( online olvasás ).
-
(in) David Bressoud , " Kalkulus előtt Newton és Leibniz, Part III " , AP Central,2004.
-
(en) Victor J. Katz , A History of Mathematics. Bevezetés , Addison-Wesley ,1998, 2 nd ed. , P. 255, Jelentette (a) Janet Beery, " összegeket Powers pozitív egészek - Abu Bakr al-Karaji (d 1019.) Baghdad " , konvergencia , MAA ,2010. július( online olvasás ). Lásd még A. Dahan-Dalmedico és J. Peiffer , A matematika története: utak és útvesztők ,1986[ a kiadások részlete ], P. 90 .
-
Katz 1998 , p. 304, jelentette Beery 2010 .
-
(in) Charles Wheatstone, " A hatalmak gyakorlása számtani progressziókból " , Proceedings of the Royal Society of London , vol. 7, 1854, P. 145-151 ( DOI 10.1098 / rspl.1854.0036 ).
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">