Differenciálmű

A matematika , és pontosabban elemzés , a differenciál operátor egy operátor ható differenciálható függvény .

Ha a függvénynek csak egy változója van, akkor a differenciál operátort a szokásos deriváltakból építik fel .
Ha a függvénynek több változója van, a differenciál operátor a részleges deriváltakból épül fel .

Példák

A leggyakoribb differenciális művelet egyszerűen abból áll, hogy a figyelembe vett mennyiség deriváltját veszi. Az első derivált $x$ változó vonatkozásában történő szokásos jelölése például:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}}}

vagy , vagy akár vagy .

{\ displaystyle \ részleges _ {x}}

D

{\ displaystyle D_ {x}}

A D jelölést Oliver Heaviside- nek tulajdonítják , aki differenciálegyenletek tanulmányában bevezette, hogy megjegyezze a forma differenciál operátorait:

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}}

Az n magasabb rendű derivatívákra ugyanazok az operátorok írhatók:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}}}

, vagy újra

{\ displaystyle \ részleges _ {x ^ {n}} ^ {n}}

{\ displaystyle D_ {x} ^ {n}}

Az "elsődleges" jelölést inkább annak az értéknek a kifejezésére használják, amelyet egy származtatott f függvény vesz egy x argumentumhoz :

{\ displaystyle f '(x) \, \!}

, vagy:

{\ displaystyle [f (x)] '\, \!}

Két különösen gyakori differenciál operátor a nabla operátor , amelyet derékszögű alapon határoztak meg: ${\ displaystyle (\ mathbf {i} _ {1}, ..., \ mathbf {i} _ {n})}$

{\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ részleges \ felett \ részleges x_ {k}} \ mathbf {i} _ {k},}

valamint a laplaciai operátor , amelyet a következők határoznak meg:

{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ részleges ^ {2} \ felett \ részleges x_ {k} ^ {2}}.}

A fizikában használt másik operátor a operator operátor, amelynek sajátvektorai a homogén monomálisok,

{\ displaystyle \ Theta = z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

vagy több változó esetén:

{\ displaystyle \ Theta = \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} {\ frac {\ partial} {\ részleges x_ {k}}}.}

Jelölések

Hagy egy nyitott a , és egy pont a . Bemutatjuk a koordinátákat . Tegyük fel, hogy van egy függvényünk a változókról . $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $x$ $\Omega$ $nem$ $x_ {k} {\ mbox {}} (k = 1, ..., n)$ $nem$ $x_k$

Első rendű származékok

Az írások egyszerűsítése érdekében az első részleges deriváltat általában a szimbólum koordinátájához viszonyítva jegyezzük fel: $x_k$

\ részleges _ {k} \ = \ {\ frac {\ részleges ~~} {\ részleges x_ {k}}}

Be kell vezetnünk az első rendű differenciálműködtetőt is, amelyet a ${\ mathrm D} _ {k}$

{\ mathrm D} _ {k} \ = \ - \ i \ \ részleges _ {k} \ = \ - \ i \ {\ frac {\ részleges ~~} {\ részleges x_ {k}}}

Ebben a meghatározásban az "egység gyökere" komplexum . Az operátor definiálásának érdeke később jelenik meg, a Fourier-transzformációval kapcsolatban . $én$ $i ^ 2 = -1$ ${\ mathrm D} _ {k}$

Az általunk használt jelölések formájában multi-indexek : a multi-index egy -tuple egészek $\ alfa$ $nem$

\ alpha \ = \ \ left (\ alpha _ {1}, \ \ dots, \ \ alpha _ {n} \ right) \; \ quad \ \ alpha _ {k} \, \ in \, {\ mathbb { NEM}}

A hossz definíció szerint az összeg és végül meghatározzák a többtényezős : $| \ alfa |$ $\ alpha_i$

\ alpha \ ,! \ = \ \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} (\, \ alpha _ {k} \ ,! \,) \ = \ \ alfa _ {1} \ ,! \ \ times \ \ dots \ \ times \ \ alfa _ {n} \,!

Magasabb rendű származékok

A sorrend részleges deriváltja a koordinátához képest megfelel a szimbólumnak: $\ alpha_k$ $x_k$

\ részleges _ {k} ^ {{\ alpha _ {k}}}

Ezután meghatározzuk a globális sorrendű részleges deriváltakat : $| \ alfa |$

\ részleges ^ {{\ alpha}} \ = \ \ részleges _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ \ pontok \ \ részleges _ {n} ^ {{\ alpha _ {n}}}

És a globális rendű különbözeti operátorok : ${\ mathrm D} ^ {{\ alpha}}$ $| \ alfa |$

{\ mathrm D} ^ {{\ alpha}} \ = \ {\ mathrm D} _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ \ pontok \ {\ mathrm D} _ {n} ^ { {\ alpha _ {n}}}

A differenciálművezető meghatározása

Meghatározás

A sorrend lineáris differenciáloperátorát a következő határozza meg: $m$

{\ mathfrak {D}} \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ {\ mathrm D} ^ {{\ alpha }}

ahol a változók függvényei , az operátor együtthatói . $a _ {{\ alpha}} (x)$ $nem$ ${\ mathfrak {D}}$

Helység tulajdonság

A differenciál operátor van a helyi , abban az értelemben, hogy meghatározza annak hatását a kellő differenciálható függvény , csak a tudás a funkciót a környéken a pont szükséges. ${\ mathfrak {D}}$ ${\ mathfrak {D}} \, f (x)$ $f (x)$ $x$

Fourier transzformáció

A Fourier-transzformáció bevezetése

Itt definiáljuk a változók függvényének Fourier-transzformációját : $f (x)$ $nem$ $x_ {k} {\ mbox {}} (k = 1, ..., n)$

{\ hat {f}} (\ xi) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} x \ e ^ {{- \, i \, < \, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ f (x)

Ebben a meghatározásban:

van egy kettő, amely a változókból áll . $\ xi$ $nem$ $\ xi _ {k} {\ mbox {}} (k = 1, ..., n)$
az intézkedés: . ${\ mathrm d} x = \ prod _ {{k = 1}} ^ {{n}} {\ mathrm d} x_ {k}$
Faktor a oszcilláló exponenciális jelöli a skaláris szorzata: . $<\ xi \ ,, \, x>$ $<\ xi \ ,, \, x> = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} x_ {k} \, \ xi _ {k}$

Ezután felírjuk az inverz transzformációs képletet:

f (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, < \, \ xi, \, x \,>}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

ahol a mérték: van . ${\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ = \ {\ frac {{\ \ mathrm d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ quad$ ${\ mathrm d} \ xi = \ prod _ {{k = 1}} ^ {{n}} {\ mathrm d} \ xi _ {k}$

Alkalmazás különbözõ operátorokra

Alkalmazzuk a differenciál operátort a függvény Fourier-ábrázolására . Feltéve, hogy meg tudjuk fordítani a levezetést és az integrációt, megkapjuk: ${\ mathrm D} _ {k} = - \, i \, \ részleges _ {k}$ $f$

{\ mathrm D} _ {k} \, f (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ \ balra (\ - \ i \ \ részleges _ {k} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ jobbra) \ {\ hat { f}} (\ xi) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ xi _ {k} \ {\ hat {f}} (\ xi)

felírhatjuk: . Arra következtetünk, hogy: $(\ widehat {{\ mathrm D} _ {k} \, f}) (\ xi) = \ xi _ {k} \ {\ hat {f}} (\ xi)$

(\ widehat {{\ mathrm D} ^ {{\ alpha}} \, f}) (\ xi) \ = \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

ahol: . A differenciált megrendelés operátora ezért ellenőrzi a kapcsolatot: $\ xi ^ {{\ alpha}} = \ xi _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ \ szor \ \ pontok \ szor x \ xi _ {n} ^ {{\ alpha _ { nem}}}$ ${\ mathfrak {D}}$ $m$

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \ , x \,>}} \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

Megfordíthatjuk az összeget és az integrált az íráshoz:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ balra (\ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a_ {{\ alpha}} (x) \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ \ right) \ {\ hat {f}} (\ xi)

A differenciálművezető szimbóluma

Felhívjuk a szimbólum a differenciáloperátor rend funkciója a polinom változók a fokozat : ${\ mathfrak {D}}$ $m$ $\ sigma (x, \ xi)$ $2n$ $(x, \ xi)$ $\ xi$ $m$

\ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ xi ^ {{\ alpha}}

hogy:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Látható, hogy ez a képlet valójában lehetővé teheti az operátor szimbólumából történő meghatározását . Ezt az elképzelést jól fogják használni az ál-differenciál operátorok elméletében . ${\ mathfrak {D}}$ $\ sigma$

Figyelem : egy differenciál operátor esetében, amelynek együtthatói nem állandóak, a szimbólum a térkoordinátáktól függ , és a kifejezés nem a Fourier-transzformáció , vagyis: $a _ {{\ alpha}} (x)$ $\ sigma (x, \ xi)$ $x$ $\ sigma (x, \ xi) \, {\ hat {f}} (\ xi)$ $({\ mathfrak {D}} \, f) (x)$

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ \ neq \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

A Fourier-transzformáció helyes képletét az „ Általános eset ” bekezdésben számoljuk ki .

A differenciálművezető fő szimbóluma

A rendelés differenciáloperátorának fő szimbólumát függvénynek hívjuk : ${\ mathfrak {D}}$ $m$

\ sigma _ {m} (x, \ xi) = \ összeg _ {{| \ alpha | = m}} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ xi ^ {{\ alpha}}

A differenciálműködtetők osztályozása

Elliptikus operátor

Azt mondják, hogy a differenciálművezető akkor és csak akkor elliptikus , ha: ${\ mathfrak {D}}$ $x \ \ az Omega-ban$

\ forall \ \ xi \ \ in \ \ mathbb {R} ^ {n} \ visszavágó \ {0 \} \, \ quad \ sigma _ {m} (x, \ xi) \ \ neq \ 0

${\ mathfrak {D}}$ azt mondják, hogy elliptikus in ha elliptikus bármely pontjára . $\Omega$ $x \ \ az Omega-ban$

Hiperbolikus operátor

A differenciál operátorról azt mondják, hogy a pont irányában hiperbolikus akkor és csak akkor, ha: és ha mindenért nem egyezik meg az egyenlet gyöke : ${\ mathfrak {D}}$ $\ eta$ $x \ \ az Omega-ban$ $\ sigma _ {m} (x, \ eta) \ neq 0$ $\ xi$ $\ eta$ $\ lambda _ {i}$

\ sigma _ {m} (x, \ \ xi \ + \ \ lambda \, \ eta) \ = \ 0

mind valóságosak. Ha ráadásul a valódi gyökerek mind elkülönülnek, akkor azt mondják, hogy az operátor szigorúan hiperbolikus az irányban . $m$ ${\ mathfrak {D}}$ $\ eta$

${\ mathfrak {D}}$ állítólag (szigorúan) hiperbolikus az irányban , ha bármely pont irányában szigorúan hiperbolikus . $\ eta$ $\Omega$ $\ eta$ $x \ \ az Omega-ban$

Fontos példák az elméleti fizikához

Az elméleti fizika bőven használja a 2. rend három operátorát:

Laplaciai operátor

A laplakiai operátor elliptikus operátor, amely a következőket írja:

derékszögű koordinátákban : $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ Delta \ = \ \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ {\ frac {\ részleges ^ {2} ~~} {\ részleges x_ {k} ^ {2}}}$
akár háromdimenziós derékszögű koordinátákban: $\ Delta \ = \ {\ frac {\ részleges ^ {2} ~~} {\ részleges x ^ {2}}} \ + \ {\ frac {\ részleges ^ {2} ~~} {\ részleges y ^ { 2}}} \ + \ {\ frac {\ részleges ^ {2} ~~} {\ részleges z ^ {2}}}$

Ezt az operátort különösen a newtoni mechanikában , az elektromágnesességben és a nem relativisztikus kvantummechanikában használják .

Alembertiai operátor

A Alembertian operátor egy hiperbolikus operátor, ami meg van írva derékszögű koordináta- ben : $(x, t)$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$

\ Box \ = \ {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ {\ frac {\ részleges ^ {2} ~~} {\ részleges t ^ {2}}} \ - \ \ Delta

ahol a Laplace a tér változó, az idő, és pozitív konstans, homogén egy sebességet . Ezt az operátort használják a hullámok terjedésének sebességének a térben való leírására . Különösen az akusztikában , az elektromágnesességben és a kvantumtérelméletben használják . $\Delta$ $nem$ $t$ $vs.$ $vs.$

Hőkezelő

A hő operátor, ami meg van írva derékszögű koordináta- ben : $(x, t)$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$

{\ frac {\ részleges ~} {\ részleges t}} \ - \ {\ tilde {D}} \ \ Delta

hol van a Laplacian térváltozókkal , az idő, és itt van egy konstans, az úgynevezett diffúziós együttható . Ez az operátor parabolikusnak mondható . $\Delta$ $nem$ $t$ ${\ tilde {D}}$

Differenciálművezető állandó együtthatókkal

Ha az együtthatók függetlenek a tér változó , a szimbólum a differenciáloperátor rend csak egy funkciója a polinom változók a : $egy _ {{\ alpha}}$ $nem$ $x ^ {k}$ ${\ mathfrak {D}}$ $m$ $\ sigma (\ xi)$ $nem$ $\ xi$ $\ xi$

\ sigma (\ xi) = \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} \ \ xi ^ {{\ alpha}}

hogy:

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ = \ \ sigma (\ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Az állandó együtthatós sorrend- differenciál operátor fő szimbóluma a változók függvénye : ${\ mathfrak {D}}$ $m$ $nem$ $\ xi$

\ sigma _ {m} (\ xi) = \ sum _ {{| \ alpha | = m}} a a _ {{\ alpha}} \ \ xi ^ {{\ alpha}}

Általános eset

Láttuk ezt fent:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Egy differenciál operátor esetében, amelynek együtthatói nem állandóak, a szimbólum a térkoordinátáktól függ , és rendelkezünk: $a _ {{\ alpha}} (x)$ $\ sigma (x, \ xi)$ $x$

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ \ neq \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Fourier transzformációs kifejezés

Kezdjük az általános összefüggésből:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \ , x \,>}} \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

Ha bevezetjük az együtthatók Fourier-transzformációját:

a _ {{\ alpha}} (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ eta}} \ e ^ {{ + \, i \, <\, \ eta \ ,, \, x \,>}}} {{hat {a}} _ {{\ alpha}} (\ eta)

azt kapjuk :

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ eta}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ eta \ ,, \, x \,>}} \ {\ hat {a }} _ {{\ alpha}} (\ eta) \ \ alkalommal \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

az:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ eta}} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, (\ xi + \ eta) \ ,, \, x \,>}}} {{hat {a}} _ {{\ alpha}} (\ eta) \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

A fix segítségével megadjuk a: változó változóját , amely: $\ xi$ $\ eta \ t = \ xi + \ eta$

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {t}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, t \ ,, \, x \,>}}} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} (t- \ xi) \ \ xi ^ { {\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

Felismerjük a konvolúciós terméket :

\ balra (\, {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} \ * \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} \, \ jobbra) (t) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} (t- \ xi) \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

honnan :

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {t}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, t \ ,, \, x \,>}}} \ \ balra (\, {\ kalap {a}} _ {{\ alpha}} \ * \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} \, \ jobb) (t)

hogy átírhatjuk:

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ balra (\, {\ hat { a}} _ {{\ alpha}} \ * \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} \, \ jobbra) (\ xi)

Megjegyzések és hivatkozások

(in) EW Weisstein, " Theta Operator " (hozzáférés: 2009. június 12. )

Lásd is

Bibliográfia

(en) Lars Hörmander , A lineáris részleges differenciálművezetők elemzése , Springer-Verlag, 1983-1985. Referencia-értekezés négy kötetben, az 1962-es Fields-érem címzettje által . Az I. kötet alcíme: Eloszláselmélet és Fourier-elemzés , valamint a II . Kötet : Differenciális operátorok állandó együtthatókkal . A III. És a IV . Kötetet pszeudo-differenciál operátorokon keresztül a modern elméletnek szentelik .
(en) Lars Hörmander, lineáris részleges differenciálműködtetők , Springer-Verlag, 1963. Ez a könyv olyan műveket tartalmaz, amelyekért a szerző 1962-ben Fields-éremmel tüntették ki.
(a) Yu. V. Egorov és MA Shubin (a) , alapjai a klasszikus elmélet a parciális differenciálegyenletek , Springer-Verlag, 2 th ed., 1998 ( ISBN 3-540-63825-3 ) . A Matematikai Tudomány Enciklopédiájához írt kilenc részből álló sorozat első kötete . A következő köteteket a modern elméletnek szenteltük pszeudo-differenciális operátorokon keresztül .
(en) Michael E. Taylor (en) , Részleges differenciálegyenletek - alapelmélet , ösz. "Szövegek in Applied Mathematics" ( n o 23), Springer-Verlag, 2 th ed., 1999 ( ISBN 0-387-94654-3 ) . Első kötet sorozatban, amely hármat tartalmaz. A következő köteteket a modern elméletnek szenteltük pszeudo-differenciális operátorokon keresztül .

Kapcsolódó cikkek