Integrált üzemeltető

A matematikában az integrál operátor vagy a kernel operátor egy lineáris operátor, amelyet bizonyos funkcionális terek paraméteres integráljának felhasználásával határozunk meg . Az ilyen operátor általi függvény képe tehát egy másik függvény, amelynek tartománya nagyon eltérő lehet.

Az ilyen operátorok alapvető objektumot képeznek a funkcionális elemzés során , ahol különösen egy egyenlet átalakítását teszik lehetővé, hogy a priori könnyebben megoldható verziót kapjanak . Az első példák a konvolúció és a Fourier vagy a Laplace transzformációk , ezért a név integrál transzformációval is találkozott .

Kifejezés

Az integrált operátor általános formáját a következő kifejezés adja meg:

S (f) (t) = \ int _ {{A}} {f (x) K (x, t) \, {\ mathrm {d}} \ mu (x)}

amelyben a $K$ függvényt az operátor magjának nevezzük .

Sok gyakori példa, a domain integráció $A$ valós intervallum és az ehhez kapcsolódó intézkedés , hogy a Lebesgue .

Különleges magalak

Azt mondják, hogy a $K$ mag elválasztható, vagy degenerált formában írható

{\ displaystyle K (x, t) = \ sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} (x) b_ {i} (t)}

az $( a i )$ független függvényekkel .

Egy komplexen értékelt $K$ magról azt mondják, hogy szimmetrikus vagy hermitikus, ha kielégít

{\ displaystyle \ forall x, t, \ K (x, t) = {\ overline {K (t, x)}}.}

A $K$ magot " konvolúciós kernelnek " nevezzük, ha az formájú

{\ displaystyle K (x, t) = k (xt).}

A $K magról$ azt mondják, hogy szabályos, ha kielégíti:

{\ displaystyle \ iint K (x, t) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} t <+ \ infty.}

Ha a $K$ kernel formája van, akkor a $h$ korlátozott függvényhez

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {| xt | ^ {m}}}, \ m \ in] 0; 1 [,}

akkor az integrálegyenletet "gyengén egyesnek" mondják. A $h$ állandóra megtaláljuk Ábel integrálegyenletét.

A $K$ magot "Cauchy kernel" -nek nevezzük, ha formájú

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {xt}}.}

Cauchy fő értékének meghatározásában jelenik meg .

használat

Az integrál operátorok beavatkoznak a diffúzió jelenségeibe, ahol klasszikusan beavatkoznak az integrálegyenletekbe . A megoldások megléte és egyedisége a Fredholm alternatívával talál megoldásokat , ha ez utóbbi alkalmazható, vagyis amikor a kezelő kompakt .

A gyakorlatban sok esetben már létezik átfogó tanulmány az operátor spektrális elemzéséről.

Előfordul, hogy egy ilyen operátor megengedi az inverzet, amely szintén integrált operátor. Ez utóbbi magját inverz magnak nevezzük.

Lásd is

[PDF] Gilles Leborgne, „Integrált magok, Hilbert-tér reprodukáló maggal: bevezetés” , ISIMA előadási jegyzetek,2016. március 9 (konzultált a 2016. július 25)