Gömbös inga
Gömb alakú ingát olyan eszköznek nevezzük, amelynek nulla hosszúságú rúdja van rögzítve egy rögzített ponthoz, és amelynek a másik végén van rögzítve tömegű , 3 dimenzióban mozgatható és egységes gravitációs mezőbe helyezett. Röviden, ez egy egyszerű 3D-s inga .
l{\ displaystyle l \,}VS{\ displaystyle C \,}M{\ displaystyle M \,}m{\ displaystyle m \,}
De a probléma felfogható egy olyan anyagpont mozgásának sajátos eseteként is, amely súrlódás nélkül kénytelen csúszni egy felületen, ebben az esetben a középpont és a sugár gömbje .
VS{\ displaystyle C \,}l{\ displaystyle l \,}
Kis rezgések: Hooke inga
|
A dinamika alapvető viszonya meg van írva: md2M→dt2=-mgk→-TlVSM→=(T-mg)k→-TlOM→{\ displaystyle m {d ^ {2} {\ vec {M}} \ over dt ^ {2}} = - mg {\ vec {k}} - {T \ over l} {\ overrightarrow {CM}} = (T-mg) {\ vec {k}} - {T \ over l} {\ overrightarrow {OM}}}
Kis rezgések esetén figyelembe vehetjük, hogy a pont megmarad a síkban, és ezért megadja a kis rezgések hozzávetőleges egyenletét:
M{\ displaystyle M \,}xOy{\ displaystyle xOy \,}T=mg{\ displaystyle T = mg \,}d2M→dt2=-glOM→=-ω02OM→{\ displaystyle {d ^ {2} {\ vec {M}} \ over dt ^ {2}} = - {g \ over l} {\ overrightarrow {OM}} = - {\ omega _ {0} ^ { 2}} {\ overrightarrow {OM}}}
A mozgás tehát egy olyan központi pont anyagi pontja, ahol az erő arányos a középponttól való távolsággal (úgynevezett harmonikus mező ). A hozzávetőleges differenciálegyenlet integrálva van:
x=acos(ω0t+ϕ){\displaystyle x=a\cos(\omega _{0}t+\phi )\,} ; y=bsin(ω0t+ψ){\displaystyle y=b\sin(\omega _{0}t+\psi )\,}
A pályák tehát a középpont ellipszisei , az úgynevezett Hooke ellipszisek . A mozgás periódusa egyenlő, egyenlő az egysíkú inga kicsi rezgéseivel.
O{\ displaystyle O \,}T0=2πω0{\ displaystyle T_ {0} = {2 \ pi \ over \ omega _ {0}}}
|
Ne feledje, hogy ez az eset azt az ingát jelöli, amelynek rúdja meghosszabbodhat, így az a tengelyre merőleges síkban marad (ez akkor minden rezgés esetén).
M{\ displaystyle M \,}
Fokozott rezgések
|
Ha növeljük Hooke mozgásának amplitúdóját, akkor a Hooke ellipszis precesszust látjuk, mint a szemközti ábrán.
Ez a precessziós mozgás sokkal nagyobb, ha nem vigyázunk, mint a Foucault precesszió a sziderális földi elfordulás miatt. Nagyon gyakran ez az oka annak, hogy a Foucault-kísérlet kudarcot vall.
|
Egyenlet a newtoni megközelítés alkalmazásával
Végtelenül kis variációkra és két merőleges eltérésünk van és . A két, egymásra merőleges összetevője a sebesség tehát , és
a kinetikus energia ér . A potenciális energiát érdemes megírni, Lagrange funkciója:
dθ{\ displaystyle d \ theta \,}dφ{\ displaystyle d \ varphi \,}ldθ{\ displaystyle ld \ theta \,}lbűnθdφ{\ displaystyle l \ sin \ theta d \ varphi \,}lθ˙{\ displaystyle l {\ dot {\ theta}}}lφ˙bűnθ{\ displaystyle l {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta}Evs.=ml22(θ˙2+φ˙2bűn2θ){\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {ml ^ {2}} {2}} \ bal ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ right)}Eo=VSte-mglkötözősalátaθ{\ displaystyle E_ {p} = \ mathrm {Cte} -mgl \ cos \ theta \,}
L=Evs.-Eo=ml22(θ˙2+φ˙2bűn2θ)+mglkötözősalátaθ-VSte{\ displaystyle L = E_ {c} -E_ {p} = {\ frac {ml ^ {2}} {2}} \ balra ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ right) + mgl \ cos \ theta - \ mathrm {Cte}}
A Lagrangian , a priori függvény, itt nem kifejezetten függ attól, és attól sem . Megvan ,
(θ,φ,θ˙,φ˙,t){\ displaystyle \ left (\ theta, \ varphi, {\ dot {\ theta}}, {\ dot {\ varphi}}, t \ right)}φ{\ displaystyle \ varphi \,}t{\ displaystyle t \,}∂L∂θ=ml2φ˙2bűnθkötözősalátaθ-mglbűnθ{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges \ theta}} = {ml ^ {2}} {\ pont {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta -mgl \ sin \ theta}
∂L∂θ˙=ml2θ˙{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {\ theta}}}}} = {ml ^ {2}} {\ pont {\ theta}}}és
ami a két Lagrange-egyenlethez vezet:
és
.
∂L∂φ˙=ml2φ˙bűn2θ{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {\ varphi}}}} = ml ^ {2} {\ pont {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta}θ¨-φ˙2bűnθkötözősalátaθ+g/lbűnθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta + g / l \ sin \ theta = 0}φ¨bűn2θ+2θ˙φ˙bűnθkötözősalátaθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta +2 {\ dot {\ theta}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta \ cos \ theta = 0}
Megtaláljuk a (4) és (5) egyenleteket.
Az egyik lehetséges pálya a párhuzamé: akkor kúpos ingáról beszélünk , amelynek elméletét Huygens készítette . Azzal, hogy a (4) egyenletbe azt írjuk, hogy a szög , az úgynevezett bekerülési szög , állandó, megkapjuk a tengely körüli forgási sebességet, amelyet precessziós sebességnek nevezünk:, amely ezért állandó. Megjegyezzük, hogy nem haladhatja meg a 90 ° -ot; a mozgás időszaka az .
θ{\ displaystyle \ theta \,}φ˙=ω0kötözősalátaθ{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = {\ omega _ {0} \ over {\ sqrt {\ cos \ theta}}}}θ{\ displaystyle \ theta \,}T=T0kötözősalátaθ{\ displaystyle T = T_ {0} {\ sqrt {\ cos \ theta}}}
Ennek a mozgásnak a közelében vannak olyan mozgások, amelyek kis táplálékkal rendelkeznek.
Általános eset
Négyszögig integrálható, mivel a felület függőleges fordulati tengellyel rendelkezik.
Az (5) egyenlet beleillik a (6) -ba ; a tengely körüli forgási sebesség tehát minimális az Egyenlítőnél, és a pólusokhoz közeledve növekszik.
φ˙bűn2θ=vs.te=4ω{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta = cte = 4 \ omega}
A (4) egyenlet integrálódik a (7) -be ; világosan mutatja a sík inga esetét .
θ2˙-2ω02kötözősalátaθ+16.ω2bűn2θ=vs.te=(2kω0)2{\ displaystyle {\ dot {\ theta ^ {2}}} - 2 \ omega _ {0} ^ {2} \ cos \ theta + {16 \ omega ^ {2} \ over \ sin ^ {2} \ theta } = cte = (2k \ omega _ {0}) ^ {2}}ω=0{\ displaystyle \ omega = 0 \,}
A (7) beállításával :
u=bűnθ2{\ displaystyle u = \ sin {\ theta \ over 2}}
(8)
u˙2=ω02(k2-u2)(1-u2)+ω2u2{\ displaystyle {\ dot {u}} ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} (k ^ {2} -u ^ {2}) (1-u ^ {2}) + {\ omega ^ {2} \ over u ^ {2}}}
.
Nézze meg a helyszín különböző pályáinak nézeteit:
a gömbös inga görbéje .
Általánosítások
- Az előző esetben implicit módon feltételeztük, hogy a viszonyítási keret galilei; általános esetben hozzá kell adni a meghajtó tehetetlenségi erőt és a kiegészítő tehetetlenségi erőt , vagy a Coriolis-erőt ; a Foucault-inga esete az ilyen inga kicsi rezgései, függőleges tengely forgással és elhanyagolható mozgató tehetetlenségi erővel.
- Ha az inga rotációs tehetetlenséggel rendelkezik, és önmagában forog, akkor megkapjuk a csúcsot vagy a giroszkópot .
- Ami a sík-ingát illeti, kettős , akár többszörös ingát is figyelembe vehetünk .
Forrás
Paul Appell: értekezés a racionális mechanikáról, 530–541. Oldal
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">