Projekciós argumentum sík

Az axiomatikus megközelítés projektív geometria , a projektív sík egy szerkezet, amely egy sor pontot, egy sor vonalak, és egy kapcsolatban, az úgynevezett előfordulási, a pontok közötti és vonalak (egy pont van egy sorban), amely megfelel a axiómáit előfordulási . Ha ez Desargues-tételt is kielégíti , majd axiómának vesszük, akkor argúzi projektív sík (vagy Desargues-féle , vagy akár Desargues-féle projektív sík ).

A valódi „szokásos” projektív sík argumentum, általánosabban pedig a bármely K téren definiált (nem feltétlenül kommutatív) P 2 ( K ) projektív sík arguzin. Ezzel ellentétben, egy argeazi projektív sík alapján lehetséges egy K mező felépítése úgy, hogy ez a sík izomorf legyen (az incidenciaszerkezet szempontjából) a P 2 ( K ) felé. Ezért axiomatikus megközelítés az incidencia szempontjából, a projektív sík fogalmának tetszőleges testre vonatkozásában, és ha a testet jellemezzük, lehetséges például bevezetni a homogén koordinátákat .

Ha a sík tovább kielégíti Pappus axiómáját , akkor ez Pappus projektív síkja, és ez az axióma egyenértékű az alaptest kommutativitásával .

Pontosan ugyanazokat a megfeleléseket találjuk az affin geometriában , egy projektív argúzi síkot, amelyről eltávolítunk egy egyeneset, amelyet a végtelenben egyenesnek nevezünk, és a rá eső pontoknak, amelyeket akkor a végtelen pontoknak nevezünk, affin sík szerkezete van argentin , ugyanez vonatkozik Pappus projektív síkjára, és ez a módszer a test megtalálásának egyik módja a homotetika (affin fogalom) arányai alapján .

A 3. dimenziótól kezdve a Desargues tulajdonságot (a síkban) egyedül az incidencia axiómái mutatják be, és az incidencia szempontjából axiomatizált projektív terek mind a projektív terek a testen. Bármely affin argúzi sík elmerül a 3. (vagy annál magasabb) dimenzió projektív terében, és kölcsönösen egy ilyen sík szükségszerűen argúzi.

Projekciós argumentum sík

Axiómák

A projektív argumentum sík a projektív sík beesési axiómáin kívül Desargues axiómáját is ellenőrzi, vagyis összesen:

Két különálló pont esetében létezik egy és csak egy egyenes, amely rájuk esik.
Két különálló vonalnak egyetlen és csak egy közös pontja van.
Minden vonal legalább 3 ponton halad át.
Három nem igazított pont van.
Desargues axióma: Adott két ABC és A'B'C 'háromszög, ha a 3 p = (AA'), q = (BB ') és r = (CC') egyenes párhuzamos, akkor a P = ( BC) ∩ (B'C '), Q = (AC) ∩ (A'C') és R = (AB) ∩ (A'B ') egy vonalban vannak.

Desargues axiómájának kettős állítása azt mondja, hogy adott két háromszög a, b, c és a ', b', c 'oldalú, csúcsaival A = b ∩ c, B = a ∩ c, C = a ∩ b és A '= b' ∩ c ', B' = a '∩ c', C '= a' ∩ b ', ha a 3 pont P = a ∩ a', Q = b ∩ b 'és R = c ∩ c 'egymáshoz igazodnak, akkor a 3 p = (AA'), q = (BB ') és r = (CC') egyidejű: a Desargues axiómájának reciprokja. Ez következik az axiómából. Tegyük fel, hogy P, Q és R igazodnak, a két AA'Q és BB'P háromszög csúcsa 3 vonalon (AB), (A'B ') és (QP) egybeesik R-ben. A Desargues axióma szerint a 3 a C = (AQ) ∩ (BP), C '= (A'Q) ∩ (B'P) és (AA') ∩ (BB ') pontok egymáshoz igazodnak, ami azt jelenti, hogy a 3 vonal (AA'), (BB ') és (CC') egyidejűek.

Desargues axiómájának kettős állítása bizonyítható, a kettősség elve, amely már az első 4 axiómára érvényes (lásd: projektív sík (incidenciaszerkezet) # Dualitás ), továbbra is érvényes az argentin projektív síkokra. Másképp fogalmazva, az argúzi projektív sík kettős síkja argúzi projektív sík.

Vetítősík és affin sík

Az egyik egyenesétől megfosztott vetítősík, amelyet akkor a végtelenben egyenesnek neveznek , és a rá eső pontok, amelyeket a végtelennek nevezünk, affin sík; a végtelen ponton a szekáns vonalak párhuzamosak (lásd: projektív sík (incidenciaszerkezet) # projektív sík és affin sík ). Ha a vetítősík argumentum, függetlenül a vonal választásától, a kapott affin sík affin argin sík , az affin Desargues axióma megfelel a projektív axióma azon esetének, amikor a 3 metszéspont közül 2 a végtelenben van (a következtetés, hogy a harmadik).

Ezzel szemben affin argin sík vetülõ síkban fejezhetõ be, hozzáadva egy pontot minden egyes vonal irányához és egy olyan vonalat, amelyhez mindezek és csak ezek a pontok mellékesek. De mivel az affin argumentum sík egy testen definiált sík (lásd a következő bekezdést), a kapott projektív sík ennek az affin síknak a projektív befejezése, ezért ez egy testen definiált projektív sík, ezért argentin (lásd a következő bekezdést) ).

Alattest

A projektív Desargues axiómát a mezőn definiált síkok (nem feltétlenül kommutatív) igazolják , ez a Desargues-tétel .

Az argin affin sík egy testen definiált affin sík , a projektív argin sík a testen definiált projektív sík . Az argemusi projektív síkok axiomatikus meghatározása tehát ekvivalensnek bizonyul a projektív síkok definíciójával, mint hányadosa a 3. dimenzió K testének vektorterén való igazodás viszonyának .

Ezt az eredményt affin geometriában tudjuk megmutatni a sík transzformációinak felhasználásával, amelyek egy vonalhoz párhuzamos vonalat társítanak. Ezen affin transzformációk közül azok, amelyeknek nincs fix pontja, a fordítások , és ez a Desargues affin kis axiómáját használja, amely projektív geometriában megfelel a Desargues axiómájának azon egyedi esetének, ahol a rajz S pontja A fenti metszéspont két pontján áthaladó egyenesen van, például P és Q (a végtelenségnél egyenesnek vesszük), amikor arra a következtetésre jutunk, hogy a harmadik R ezen a vonalon van. Azok a transzformációk, amelyek egy vonalhoz párhuzamos vonalat társítanak és rögzített ponttal rendelkeznek, a homotetikák , és ez a Desargues axiómáját használja, amely projektív módon megfelel annak az esetnek, amikor az S pont nem a 3 pont 2-jén áthaladó egyenesen van. P, Q és R. A fordítások biztosítják az alatta lévő vektorteret, amelyen affin homotetikusan meghatározzuk azt a vektorhomotetikát, amely a mögöttes K. mezőt adja .

Ahhoz, hogy egy vetítősíkot egy mezőn kapjunk, korlátozhatjuk Desargues axiómáját arra az esetre, amikor a metszéspontok közül kettő, például P és Q egy adott vonalon található. Még azt is feltételezhetjük, hogy S nincs összhangban P-vel és Q-val, a Desargues affin kis axiómája a homotetikának megfelelő eset következménye. A kapott projektív sík argentin.

Másrészt a kis projektív Desargues axióma (az az egyedi eset, amikor hipotézis szerint az S pont a 3 metszéspont kettőjével, például P és Q egybeesik) nem elegendő ahhoz, hogy a sík argumentumszerű legyen.

Arra is lehetőség van, hogy kiemelje az alapul szolgáló testet közvetlenül a projektív geometriában, anélkül, hogy az affin geometriával kitérne, egy olyan módszer alkalmazásával, amelyet Karl Georg Christian von Staudt "sugáralgebra" ihletett , de azóta tisztázott és egyszerűsített.

Pappus vetületi síkja

A Pappus projektív sík egy argeazi projektív sík, amely tovább kielégíti a Pappus axiómát:

Pappus-projektív axióma: ha pont az A 1 , B 1 és C 1 vonalban egy 1 , és pont az A 2 , B 2 és C 2 a 2 , a két vonal egy 1 és 2 , hogy különálló, akkor a a (B 1 C 2 ) ∩ (C 1 B 2 ), (A 1 C 2 ) ∩ (C 1 A 2 ) és (A 1 B 2 ) ∩ (B 1 C 2 ) pontok szintén egymáshoz igazodnak.

A Pappus konfigurációja, amely 3 vonalon egyenként 9 pontból áll, és egyenként 3 ponton áthaladó 9 vonalból áll, autodual, és Pappus axiómájának kettős állítása (ellentétes állítás) ennek az utolsó modulo axiómának a következménye. előfordulása.

Legyen egy 1 , b 1 és c 1 3 egyidejű vonal; ahogy az a 2 , b 2 és c 2 egyenesek . Ezért definiálhatunk 3 pontot A 1 = a 1 ∩ b 1 ∩ c 1 , B 1 = a 1 ∩ c 2 és C 1 = a 1 ∩ b 2 az 1-hez igazítva , valamint 3 pontot A 2 = a 2 ∩ b 2 ∩ c 2 , B 2 = a 2 ∩ c 1 és C 2 = a 2 ∩ b 1 a 2-hez igazítva . Ezután beállítjuk C 0 = b 1 ∩ c 2 , B 0 = b 2 ∩ c 1 , a 0 = (B 0 C 0 ), b 0 = (B 1 C 2 ), c 0 = (C 1 B 2 ) , A 0 = b 0 ∩ c 0 . Ezután Pappus axióma azt vonja maga után, hogy az A 0 , B 0 és a C 0 pontok egymáshoz igazodnak, ezért a kért következtetés, nevezetesen az a 0 , b 0 és c 0 egyenesek egyidejűek.

A kettősség elve tehát kiterjed Pappus projektív síkjaira is.

Pappus axiómájának kettős állítása valójában ekvivalens ezzel az egy modulóval az incidencia axiómáival. Valójában a kettősség következik (az előfordulás egyetlen axiómája esetén).

Argesi projektív síkban, amely tehát testre építhető, Pappus axióma egyenértékű a szóban forgó test kommutativitásával. Vannak nem kommutatív mezők , ezért argumentumszerű projektív síkok, amelyek nem Pappus-síkok.

Az ekvivalencia affin geometrián való áthaladással bizonyítható, az affin Pappus axiómát úgy kapjuk meg, hogy a vonalat a metszéspont két pontján keresztül vezetjük a végtelenbe , arra a következtetésre jutva, hogy a harmadik is. Abban az esetben, ha az A 1 , B 1 és C 1 , egyrészt A 2 , B 2 és C 2 , másrészt áthaladó vonalak szekundánsak az O pontban, az affin Pappus axióma kifejezi a a 0 középpontú két homotétia szorzata, tehát a testé.

Az eredmény közvetlenül demonstrálható a projektív geometriában is, a testben lévő homogén koordináták (bármelyik a priori) felhasználásával, mivel feltételezzük az argeszin síkot, és ha a Pappus-konfiguráció 9 pontja közül egy projektív koordináta-rendszert választunk. .

Kiderült, hogy valójában, amint Gerhard Hessenberg megfigyelte , a Desargues tulajdonság Pappus tulajdonságából következik, és ezért Pappus projektív síkját axiomatizálják a projektív sík beesési axiómái és Pappus axióma ( felesleges).

Lehetséges a Pappus projektív síkjainak újabb axiomatizálása (ezért kommutatív mezőn ), amely a sík vonalai közötti homográfiákat , vagyis a projektív transzformációkat használja: egy további axióma biztosítja a vonalon található homográfia egyediségét maga 3 rögzített ponttal rendelkezik. Lehetővé teszi a projektív geometria közvetlen axiomatikus megközelítésének kidolgozását ( lineáris algebra vagy homogén koordináták használata nélkül ) a kúpok meghatározásáig és tanulmányozásáig .

Projektív transzformációk a sík vonalai között

Az axiomatikus megközelítésben általában megkülönböztetünk egy vonalat és ennek a vonalnak a ponthalmazát (vagyis a vele kapcsolatos incidenseket). A vonal pontkészlete az 1. dimenzió projektív altere (a lineáris algebra értelmében ) egy argúzi projektív síkon. A kettős elképzelés az, hogy egy csomó vonal áthalad egy adott ponton, vagy egy ecsettel sor áthaladó ezen a ponton ( (in) ceruza). Ez a ponton áthaladó összes vonal halmaza, és a vonalkefék a kettős projektív sík 1-dimenziós alterei. A vonalak közötti projektív transzformációkat, homográfiákat vagy néha projektivitásokat ( (en) projektivitásokat) lineáris algebra határozhatja meg: a 3. dimenzió vektorterének lineáris térképeiből adódó hányadossal való áthaladással . Az axiomatikus keretben azonban közvetlenül bevezethető, olyan projektív transzformációk részeként , amelyek perspektívái vagy központi vetületei az egyik vonalról a másikra.

Hasznos átalakítások és konfigurációk

Harmónia argúzi projektív síkon

A harmonikus négyeseket illetően Désargues axióma lehetővé teszi legalább két tétel bebizonyítását.

Ha egy négyes harmonikus, akkor van még legalább egy teljes négyszög, amely megfelel annak a négyesnek. (bal oldali ábra) - Vegyük figyelembe a Q1 Q2 Q3 Q4 négyzetet, amely a harmonikus {Q1Q3, Q2Q4, D2, D3} négyzet meghatározására szolgál. Felépíthetünk egy másik teljes, ugyanolyan tulajdonságú négyszöget, ha megrajzoljuk a tetszőleges Q5Q6 egyeneset, amely áthalad a D2-n, majd a Q3Q6 és Q4Q5 egyenesek D3 'metszéspontján, majd a Q7 és Q8 metszéspontokon. A demonstráció Désargues axiómáját használja egymás után kétszer. A D3Q1Q2 és D3'Q5Q6 háromszögekben a D2, Q3, Q4 kereszteződések egymáshoz igazodnak, tehát a Désargues kettős szerint a D3D3 ', Q1Q5 és Q2Q6 sugarak egyidejűek, tehát D1 D3 D3' igazodnak. Ekkor a Q3Q4D3 'és Q7Q8D3 háromszögek argentin perspektivikus helyzetben vannak, következésképpen a homológ oldalak metszéspontjai egymáshoz igazodnak: Q5Q6 és Q7Q8 metszi a D2 pontot. Következésképpen a Q5Q6Q7Q8 négyszögnek 2 átlós D2 és D3 pontja van, amelyek harmonikusak a Q1Q3 és Q2Q4 két oldallal, ami a kiindulási négyzet.A második tétel, a jobb oldali ábra a következőképpen van megfogalmazva: Legyen egy harmonikus négyes {Q1Q3, Q2Q4, D2, D3} és D5 bármely pont, kivéve D1 a D3D1 vonalon. Ekkor a négyes {Q1Q3, Q2Q4, D2, D3} is harmonikus. A bizonyítást Désargues axiómájának a Q3Q4D3 és Q9Q10D5 háromszögekre történő alkalmazásával végezzük. Ez a tétel nagyon hasznos, kifejezi, hogy egy harmonikus négyesben csúsztathatjuk az egyes vonal azon pontjait, amelyek összekapcsolódnak az oldalvonal tetején.

Kapcsolat Ceva és Menelaus alakjai között egy argeazi projektív síkon

Legyen az ABC háromszög P pont, amely nem a háromszög egyik oldalán helyezkedik el; az AP, BP, CP egyeneseket Céviennes du P pontnak, az A 'B' C kereszteződéseket Giovanni Ceva (1647-1734) nevű Céviennes de P lábainak nevezzük; a teljes C 'B' BC négyszög lehetővé teszi az A "harmonikus konjugátum kiemelését, azonos a" B "és a" C "kifejezéssel. Az ABC és A'B'C 'háromszögek azonban argentin perspektívában vannak, ezért az A" B "pontok C „vonalban egy egyenes vonal nevű ménélienne , elemzi Menelaus Alexandria ( I st században ). Onnan a tétel, amelynek megfogalmazása kevésbé elegáns, mint az ábra: Egy háromszögben a Céviennes lábainak harmonikus konjugált pontjai, a háromszög oldalán elhelyezkedő pontok egy menéliumhoz igazodnak.

Egydimenziós konfigurációk

A vetítő beesési sík (PPI) 2 elemi egydimenziós konfigurációja: az egyenes, az igazított pontok halmaza, valamint a „nyaláb”, a vonalak halmaza, amelyek egy ponton párhuzamosak.

Ezután tanulmányozhatjuk a „kúpnyalábot”, egy olyan kúpkészletet, amelynek 4 közös pontja van stb.

Egydimenziós konfigurációs transzformációk

Az öröklési jog a szempontból a reneszánsz érdemes tanulmányozni bizonyos átalakítások, például a transzformációk egy irányítása pont egy másik összehangolása pontokat, amelyek úgynevezett egydimenziós transzformációk . Például egy vonal elemi vetítése a másikra, a transzformáció két lépésben, a transzformáció két lépésben, amikor a 3 vonal egyidejű, az átalakítás N lépésben. Melyek egy ilyen átalakulás invariánsai, milyen axiómák nélkülözhetetlenek?

Egydimenziós projektív transzformációs azonosság egy vonalon

Amikor egy lépésben egydimenziós transzformációt hajtunk végre N lépésben, és visszatérünk a kiindulási vonalra, milyen feltételek vannak ahhoz, hogy ez az átalakítás az összes pontot fixen hagyja?

Kétdimenziós projektív transzformációk

A 2. dimenziós síkon figyelembe vesszük a kétdimenziós transzformációkat is, amelyek a sík egy pontját a sík másik pontjává alakítják. Közülük azok, amelyek megőrzik a pontok igazodását; megtartják a vonalak konvergenciáját is? Közülük azok, amelyek elhagyják, csak egy adott vonal pontjait rögzítik, úgynevezett dilatációkat. Hogyan egyesülnek ezek a különböző transzformációk, belső kompozíciótörvényük felfedi-e monoid vagy csoport struktúrákat , vajon 2 transzformáció szorzata mindig kommutatív?

Néhány hasznos konfiguráció.

A projektív kétpontnak semmi köze a klasszikus vektorokhoz, egyszerűen rendezetlen 2 pontos halmaz. Ugyanez a bidroit esetében is .
A háromszög rendezetlen 3 pontból álló halmaz; A trine vagy tri-side vagy tri-later egy 3 sor rendezetlen halmaza. A háromszöget és a háromszöget gyakran összekeverik, mert kettősek egymással, ez a nyelvtűrés nem vezet következményekhez.
Másrészt a teljes négyszög rendezetlen 4 pontos halmaz, 6 oldalt és 3 átlós pontot eredményez; a teljes négyszög rendezetlen 4 vonalból álló halmaz, 6 csúcsot és 3 átlós vonalat eredményez.
Ugyanez árnyalatot érvényes megkülönböztetni hatszög egy hexangle ha fennáll a veszélye az összetévesztés veszélye.

Az alapsíktól Pappusig

Ezt a tételt a következőképpen fogalmazzák meg:

Az alapvető projektív sík (PPF) a pappusi (PPP).

Megfelelően megválasztott egydimenziós identitástranszformáció segítségével bizonyítják.

Alapvető projektív sík

Az alapvető projektív sík (PPF) egy proaktív sík, amely kielégíti a projektív geometria alapvető axiómáját, tehát összesen az axiómák:

Legalább 2 pont van.
Minden vonalnak legalább 3 pontja van.
Két különálló pont esetében létezik egy és csak egy egyenes, amely rájuk esik.
Két különálló vonalnak egyetlen és csak egy közös pontja van.
Bármely vonal esetében van legalább egy nem beeső pont ezen a vonalon.
Fundamentális axióma: egy vonalon egy fix dimenziós projektív transzformáció, amelynek három rögzített pontja van, az egydimenziós projektív azonosság .

A homogén síktól az alapvetőig

Ezt a tételt a következőképpen fogalmazzák meg:

A homogén projektív sík (PPH) alapvető (PPF).

Megjegyzés : ez a tétel a kommutatív K algebrai tulajdonságait használja .

Homogén bizonyítás - alapvető

Homogén PP-ben egy olyan vonal egydimenziós projektív transzformációját tekintjük, amelynek három rögzített pontja van. Ez egydimenziós projektív identitás?

Legyen az (u; v; w) egyenes P1 = [wD; mi; - (uD + vE)], P2 = [wL; wM; - (uL + vM)], P3 = [w (D + hL); w (E + hM); - (uD + vE) -h (uL + vM)] és egy általános dimenziójú T egydimenziós projektív transzformáció (esetben, ha w nem nulla):

{\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} vww (vc '+ wb') & - uvwwc & -uvwwb \\ - uvwwc '& wuw (wa' + uc) & - uvwwa \\ - uvwwb '& - uvwwa' & uvw (ub + va) \ end {bmatrix}}.}

Az a kifejezés, hogy a három P1, 2 és 3 pont rögzül, három egyenlethez vezet, amelyek ismeretlenek abca 'b' c ':

{\ displaystyle (uv ^ {2} a + wu ^ {2} c + uw ^ {2} a ') * DE- (u ^ {2} vb + vw ^ {2} b' + v ^ {2} wc ') * DE + (u ^ {2} va-uvwc') * D ^ {2} - (uv ^ {2} b-uvwc) * E ^ {2} = 0}

{\ displaystyle (uv ^ {2} a + wu ^ {2} c + uw ^ {2} a ') * LM- (u ^ {2} vb + vw ^ {2} b' + v ^ {2} wc ') * LM + (u ^ {2} va-uvwc') * L ^ {2} - (uv ^ {2} b-uvwc) * M ^ {2} = 0}

{\ displaystyle (uv ^ {2} a + wu ^ {2} c + uw ^ {2} a ') * (D + hL) (E + hM) - (u ^ {2} vb + vw ^ {2 } b '+ v ^ {2} wc') * (D + hL) (E + hM) + (u ^ {2} va-uvwc ') * (D + hL) ^ {2} - (uv ^ { 2} b-uvwc) * (E + hM) ^ {2} = 0}

Melyek vezetnek az első lépésben azzal, hogy homogenitás okán két tetszőleges k ^ 3, g = 1 számot teszünk fel 4 új egyenletbe, ahol a 3 pont koordinátáinak változói (DELM h) kiküszöbölődnek:

{\ displaystyle (uv ^ {2} a + wu ^ {2} c + uw ^ {2} a ') = k ^ {3} g = (u ^ {2} vb + vw ^ {2} b' + v ^ {2} wc ')}

{\ displaystyle (u ^ {2} va-uvwc ') = 0}

{\ displaystyle (uv ^ {2} b-uvwc) = 0}

. Ami meghatározza a ca 'b' c 'paramétereket

{\ displaystyle wc = vb}

{\ displaystyle uw ^ {2} a '= k ^ {3} g-uv (va + ub)}

{\ displaystyle vb '= ua'}

{\ displaystyle wc '= ua}

Ezután felírjuk azt az átalakulást, amely a három rögzített pontot a vonalon tartja:

{\ displaystyle N = {\ begin {bmatrix} wk ^ {3} g-uvwub & -uvwvb & -uvwwb \\ - uvwua & wk ^ {3} g-uvwva & -uvwwa \\ - uk ^ {3} g + uvu (va + ub) & - vk ^ {3} g + vuv (va + ub) & uvw (va + ub) \ end {bmatrix}}.}

Az érintett egyenes bármely pontja P = [wX; wY; - (uX + vY)] és ellenőrizzük, hogy N * P = w * k ^ 3 * g * P, ezért az egyenes minden pontja rögzül. Ez az azonosság-transzformáció (N) ezen a vonalon; következésképpen a homogén sík tiszteletben tartja az alapvető projektív sík alapvető axiómáját. Így bebizonyosodott, hogy "a homogén projektív sík (PPH) alapvető (PPF)".

Megjegyzés: miután ezt a tételt feltétlenül egy analitikai geometria módszerrel mutatták be, a projektív geometria vizsgálatának szinte minden további elemezhető számítások nélkül elvégezhető.

Désargues-tól a kúpokig

Ezen a ponton bevezethetjük a kúpokat . A kúpos megközelítés Pascal tételén alapulhat. A kúpok számos meghatározása elfogadható:

másodfokú görbék szempontjából.
a kúp és a sík metszéspontját tekintve. Ez volt a kétezer éves definíció, még kúpos is .
a homográfiai megfeleltetésben szereplő egyenes kötegek tekintetében.
az állandó keresztarány szempontjából.
autodual görbe szempontjából, ahogy a HSM Coxeter teszi .

Felvehetjük az axiomatikus fegyelmet.

A kombinatorikus robbanás által felvetett kérdések

Ha megfigyeljük a Désargues konfigurációját, azt látjuk, hogy 4 pár háromszög hozható létre. Az ABC-A'B'C 'mellett, amelyen megszoktuk dolgozni, van még ABC'-A'B'C, AB'C'-A'BC és AB'C-A'BC', amelyek 3 új Désargues-vonal, ezért teljes négyszög; ráadásul ugyanaz a kombinatív vizsgálat, amelyet a kettős tételen végeztek, 4 háromszöghez vezet, amelyek az O pont mellett további 3 másik oldalsó konvergenciapontot adnak, tehát teljes négyszöget kapnak. Milyen tulajdonságai vannak ennek a négyszögnek és ennek a négyszögnek, hogyan vezethetők le egymásból? A Pappus konfigurációja erősebb permutációt kínál ; 6 nem degenerált hexagramm van (A1 C2 B1 A2 C1 B2, szemben húzva; A1 C2 B1 B2 C1 A2; A1 B2 B1 C2 C1 A2; A1 B2 B1 A2 C1 C2; A1 A2 B1 B2 C1 C2; A1 A2 B1 C2 C1 B2;), tehát 6 sor Pappus. Milyen tulajdonságai vannak ennek a 6 vonalnak? Valójában megmutathatjuk, hogy két 3 csoportban egyidejűek. De milyen minimális axiómákra van szükségünk ennek a tulajdonságnak a bizonyításához? A projektív geometria alapvető axiómája elengedhetetlen? Elég lenne Désargues axiómája? Ami Pascal hexagrammát illeti, a XIX. E század sok matematikusa a 6 pont menetének különböző permutációit vizsgálta. Különösen Bauer , katalán , Cayley , Fontaneau , Gräfe , Grossmann , Hesse , Jörres , Kirkman , Ladd-Franklin-Christine , Little , Lüroth , Meyer , Molk , Plücker , Salmon , Jakob Steiner , Veronese-G. , von Staudt . 6 ponttal 60 hatszögletű utat tehetünk meg, tehát 60 Pascal vonalat. Milyen tulajdonságai vannak ennek a 60 vonalnak, hogyan rendeződnek kereszteződéseik a síkban? Mi a kapcsolat a 60 Brianchon-ponttal, amelyet mindketten figyelembe vehetünk? Például Steiner kimutatta, hogy 3-3 egyidejűek, így 20 „Steiner-pont”.

Megjegyzések és hivatkozások

Jacqueline Lelong-Ferrand, p. 186-187
Veblen & Young 1910 6. fejezet részleteket; a von Staudtra való hivatkozást a p. 141. (szerk. 1918).
Például Coxeter 1969 , p. 233
Artin 1957. fejezet. ?
lásd (in) HSM Coxeter , " Self-dual konfigurációk és szabályos grafikonok " , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol. 56,1950( online olvasás )432. oldal, vagy Coxeter 1969 , p. 236.
Veblen & Young 1910 , p. 95 (1918-as kiadás) vagy Coxeter 1987 , p. ?
Veblen & Young 1910 , az 1918-as kiadás VI. Fejezetének 148. oldala, a kúpok tanulmányozásának V. fejezete, valamint Coxeter 1987 .

Bibliográfia

Emil Artin , Geometriai algebra , Calmann-Lévy, Geometric algebra fordítása New York, Interscience Publishers, Inc., 1957.
(en) Rey Casse , Projektív geometria: Bevezetés , Oxford University Press ,2006, 198 p. ( ISBN 0-19-929885-8 , online olvasás ).
en) HSM Coxeter , vetítőgeometria , Springer Verlag,1987, 2 nd ed. , 162 p. ( ISBN 0-387-40623-9 , online olvasás ).
en) HSM Coxeter , Bevezetés a geometriába ,1969, 2 nd ed. [ a kiadás részlete ]
Jacqueline Lelong-Ferrand , A geometria alapjai , Párizs, PUF ,1985, 287 o. ( ISBN 2-13-038851-5 ).
en) Oswald Veblen és John Wesley Young , Projekciós geometria I. kötet , Ginn and Co., Boston,1910( ISBN 978-1-4181-8285-4 , Math Reviews 0179666 , olvassa el online ), 1918. kiadás 2. száma , link .