Korona termék
A koronatermék a csoportelmélet ( matematika ) fogalma . Ez egy bizonyos csoport, amely egy csoportból és egy halmazon működő csoportból épül fel . A koronaterméknek valójában többféle koncepciója van, hasonlóak, de egymástól eltérőek. A csoportelméletben a koronatermék különféle ellenpéldákon túl lehetővé teszi különösen a véges szimmetrikus csoportok Sylow-alcsoportjainak leírását . Megtalálható a gráfelméletben is , mint bizonyos gráfok automorfizmusainak csoportja , többek között bizonyos koronás megjelenésű gráfokról. A koronatermék fogalma kiterjeszthető félcsoportokra is .
Konvenciók
Egy X halmaz esetében itt S X- szel jelöljük, és X szimmetrikus csoportját az X permutációinak halmazának nevezzük, amelyek f ∘ g által definiált ∘ csoporttörvénnyel vannak felruházva: X → X: x ↦ f (g ( x)). Ez a meghatározás alkalmas egy csoport bal oldalán lévő cselekvések tanulmányozására . A csoport itt felsorolt szemközti csoportja S X alkalmas a jobb oldali cselekvések tanulmányozására. Amikor egy csoport cselekedetéről beszélünk egy halmazon, akkor az bal oldali művelet lesz. Tudjuk, hogy egy G csoport bal oldalán egy X halmazon végzett műveletnek természetesen megegyezik a G- től S X- ig terjedő csoportok homomorfizmusa, így láthatjuk mindkettőt, és fordítva.
Egy permutáció α egy sor X és elemeként x az X , akkor néha írni αx helyett α (x). Ugyanazon E halmaz két α és β permutációjára véletlenül αβ α β ∘ helyett írunk, ami az S E multiplikatív csoportot jelenti .
Azt mondjuk, hogy egy család elemeinek egy G csoport egy véges támogatást, ha az elemek y Y olyan, hogy a y ≠ 1 végesek száma. Egy ilyen család egy térképet Y (a beállított mögöttes) G. Más szóval, azt mondjuk, hogy egy térképet f Y-ból, hogy a G véges támogatást, ha az elemek y Y, hogy f (y) ≠ 1 vannak véges szám.
Ha G csoport és Y halmaz, akkor G Y-vel jelöljük a család közvetlen (külső) szorzatát, Y-vel indexelve, a G-vel egyenlő csoportok. Ezért G Y elemekre az Y-vel indexelt családok, a G elemei közül, és ezért az Y-től G-ig történő leképezések csoportja, a csoporttörvény a "hosszú távú szorzás".
G (Y) -vel jelöljük ugyanannak a családnak a korlátozott (külső) összegét, Y-vel indexálva, a G-vel egyenlő csoportok. Ezért G (Y) elemekre a véges támogatás családjait, Y-vel indexelve és ezért a Y-től G-ig terjedő véges támogatási leképezések csoportja, a csoporttörvény mindig a „hosszú távú szorzás”. Ha az Y halmaz véges, a közvetlen szorzat és a korlátozott összeg megegyezik.
G lévén csoport, λ (G) G képét homomorfizmussal jelöljük
(nál nély)y∈Y{\ displaystyle \ (a_ {y}) _ {y \ Y} -ben}![\ (a_ {y}) _ {y \ Y-ben}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b56b0e09d21d093c241a4d9a6c3e347aae20aa)
λ:G→SG:g↦λg:h↦:gh{\ displaystyle \ lambda: G \ rightarrow S_ {G}: g \ mapsto \ lambda _ {g}: h \ mapsto: gh}![\ lambda: G \ rightarrow S_ {G}: g \ mapsto \ lambda_ {g}: h \ mapsto: gh](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d2695569297948e48650a14f09b91b81e18166)
ettől az . A G g eleméhez λ g a g bal oldali fordítása G- ben. Tehát λ (G) a G (alapul szolgáló halmaza) permutációinak csoportja, és Cayley-tétel szerint a λ (G) csoport izomorf G-ra.
A G csoport esetében a G reguláris cselekvését G bal bal fordítások alapjául szolgáló halmazának nevezzük .
G{\ displaystyle \ G}
SG{\ displaystyle \ S_ {G}}![\ S_ {G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137db32905c0d9681cdccf8d773ccb71f9846bc0)
A permutációk két csoportjának koronaterméke
Legyen G egy csoport permutációk egy nem üres halmaz X és H egy csoport permutációk egy nem üres halmaz Y.
Bármely elem esetében az S X és bármely eleme Y Y, egyetértünk jelölésére a permutáció a beállított X × Y ( Descartes-szorzat ) meghatározása a következő: bármely elem X X és bármely elemének Y ' Y,
γ{\ displaystyle \ \ gamma}
γY,y{\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y}}![\ \ gamma_ {Y, y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ec9316e34ef5d6b89232826008143e996ff60b)
γY,y(x,y′)=(γx,y){\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y} (x, y ') = (\ gamma x, y)}![\ \ gamma_ {Y, y} (x, y ') = (\ gamma x, y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b95c92d916b673ab3da68316f769be4089d29dd)
ha y '= y;
γY,y(x,y′)=(x,y′){\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y} (x, y ') = (x, y')}![\ \ gamma_ {Y, y} (x, y ') = (x, y')](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4e166916376fa98a7d1e6403f8b80e4e091f8b)
ha y '≠ y.
Jelöljük S Y bármely η elemére az alábbiak szerint definiált X × Y halmaz permutációját:
ηx∗{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*}}![\ eta ^ {*} _ {X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e4f175c049958b32dfd2ad804121d4ddcc62b4)
ηx∗(x,y)=(x,η(y)).{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*} (x, y) = (x, \ eta (y)).}![{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*} (x, y) = (x, \ eta (y)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24914ef2291271d72b73e8c1c3f627eaf580459c)
(Jelölések és nem szabványosak.)
γY,y{\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y}}
ηx∗{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*}}![\ eta ^ {*} _ {X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e4f175c049958b32dfd2ad804121d4ddcc62b4)
Bármely elem y Y, definiálja injektív homomorfizmus a G csoportból a csoport S X × Y . Ha ezzel a homomorfizmussal hivatkozunk a G képére, akkor meghatározzuk a G csoport izomorfizmusát a G Y, y S X × Y alcsoporton .
Hasonlóképpen definiálja a H csoport izomorfizmusát az S X × Y alcsoporton , amelyet jelölni fogunk γ↦γY,y{\ displaystyle \ \ gamma \ mapsto \ gamma _ {Y, y}}
GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}}
γ↦γY,y{\ displaystyle \ \ gamma \ mapsto \ gamma _ {Y, y}}![\ \ gamma \ mapsto \ gamma_ {Y, y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f68acf0392e9f51128fbbc073eb11b93a97ca6)
η↦ηx∗{\ displaystyle \ eta \ mapsto \ eta _ {X} ^ {*}}
Hx∗.{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}.}
A korona terméket a G és H (vagy a G H) definíció szerint az alcsoportja S X × Y által generált , ahol y bejárja Y, és Gyakran jelöljük G ≀ H, de létezik d "egyéb jelölések . Megállapodunk abban, hogy itt csak a G ≀ H jelölést használjuk, fenntartva más jelöléseket a korona termék változataira, amelyeket később bemutatunk.
GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}}
Hx∗.{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}.}![\ H ^ {*} _ {X}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a26dae06c6da60aec328f901cb05fd37d66550)
Legyen G, H a nem üres halmazok permutációinak csoportja. Könnyen ellenőrizzük a következő tulajdonságot:
- Ha G és H tranzitív, akkor G ≀ H transzitív.
Van egy kvázi asszociativitás tulajdonságunk is:
- Ha G, H és K a nem üres halmazok permutációinak három csoportja, akkor a permutációk (G ≀ H) ≀ K és G ≀ (H ≀ K) csoportok hasonlóak .
Pontosabban, ha G, H és K rendre X, Y és Z permutációk csoportjai, ha f az (X) bijekcióját ((x, y), z) ↦ (x, (y, z)) jelöli × Y) × Z az X × (Y × Z), ha f * jelöli a izomorfizmus s ↦ f ∘ s ∘ f -1 s (X × Y) × Z s X × (Y × Z) , majd a G ≀ (H ≀ K) a (G ≀ H) ≀ K képe f * által.
A fenti hipotézisek a G és H, a B alcsoportba tartozó G ≀ H által generált , ahol y bejárja Y, az úgynevezett bázis csoportja a korona termék G ≀ H. Ezért G ≀ H által generált B és .
Ha G eleme és y Y eleme, ha η H eleme, akkor
GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}}
Hx∗{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}}![\ H ^ {*} _ {X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20def4aeb33e0bf0317edbf7ba8ebc632facd54f)
γ{\ displaystyle \ \ gamma}![\ \ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57de5c32b37504bd34237a872700f33da1611bc3)
(1)ηx∗∘γY,y∘ηx∗-1=γY,ηy{\ displaystyle \ (1) \ qquad \ eta _ {X} ^ {*} \ circ \ gamma _ {Y, y} \ circ \ eta _ {X} ^ {* ^ {- 1}} = \ gamma _ {Y, \ eta y}}![\ (1) \ qquad \ eta ^ {*} _ {X} \ circ \ gamma_ {Y, y} \ circ \ eta ^ {* ^ {- 1}} _ {X} = \ gamma_ {Y, \ eta y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4083556cbfabe75f98eed90c2689246c8b9f09)
onnan vonjuk le, hogy B normális G ≀ H-ban, és hogy G ≀ H a B belső félegyenes szorzata B⋊Hx∗{\ displaystyle \ B \ rtimes H_ {X} ^ {*}}
Hx∗.{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}.}
Ellenőrizzük, hogy azok az alcsoportok , ahol y futja Y-n keresztül, összességében korlátozottak, vagyis hogy B a család belső korlátozott összege. Tehát, a G elemeinek véges támogató családját figyelembe véve, egyértelműen meghatározhatjuk
GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}}
(GY,y)y∈Y.{\ displaystyle (G_ {Y, y}) _ {y \ Y} -ben.}
(γy)y∈Y{\ displaystyle (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y} -ben}![{\ displaystyle (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y} -ben}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7500a565d4a0898cc685e9ad87700774183e2e)
∏y∈Y(γy)Y,y,{\ displaystyle \ \ prod _ {y \ Y-ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, y},}![\ \ prod _ {y \ Y-ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, y},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3817c41ab4a408d143a036881951a09961b7f139)
ahol a termék megfelel az X × Y törvény S csoportjának . Továbbá,
(γy)y↦∏y∈Y(γy)Y,y{\ displaystyle \ (\ gamma _ {y}) _ {y} \ mapsto \ prod _ {y \ Y-ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}}![\ (\ gamma _ {y}) _ {y} \ mapsto \ prod _ {y \ Y-ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5539706770865d923fa7ca7ca1365a2bd42474ba)
izomorfizmust határoz meg G (Y) -től B-ig.
A fentiekből következik, hogy ha Y véges, akkor G ≀ H sorrendjét az adja
(2)|G≀H|=|G||Y||H|.{\ displaystyle \ (2) \ qquad \ vert G \ wr H \ vert = \ vert G \ vert ^ {\ zöld Y \ zöld} \ zöld H \ vert.}![\ (2) \ qquad \ vert G \ wr H \ vert = \ vert G \ vert ^ {\ vert Y \ vert} \ vert H \ vert.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823a03f41b4608cf23349a0d442daf228bce9715)
Ha G és H bármely két csoport (amelyekről nem feltételezzük, hogy halmazokon mûködnénk), akkor a H reguláris koronatermékét H-vel a korona szorzatának hívjuk: λ (G) ≀ λ (H) (ahol λ a Konvenciók szakasz ). Néha észrevesszük . Meg fogjuk figyelni, hogy ellentétben a koronatermék ≀ esetével, nem feltétlenül izomorf csoportként (Könnyen átvehető a (2) képletből, amely megadja a G ≀ H koronatermék sorrendjét, amikor Y befejeződik. .)
G r≀H{\ displaystyle G \ _ {r} ^ {\ wr} H}
(G r≀H) r≀K{\ displaystyle \ (G \ _ {r} ^ {\ wr} H) \ _ {r} ^ {\ wr} K}
G r≀(H r≀K).{\ displaystyle \ G \ _ {r} ^ {\ wr} (H \ _ {r} ^ {\ wr} K).}![\ G \ ^ {\ wr} _ {r} (H \ ^ {\ wr} _ {r} K).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13883e7bf335a4cc5ae50c4bd2ee67ff0ce546e)
Egy csoport korlátozott koronaterméke egy operációs csoport által
Meghatározás
Az (1) szerint a B-re gyakorolt hatását konjugációval a következőképpen írják le: G (Y) bármely elemére ,
Hx∗{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}}
(γy)y∈Y{\ displaystyle \ (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y} -ben}![\ (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y-ben}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a604d4371acc9454a89c787267363f15b127ffcb)
(3)ηx∗(∏y∈Y(γy)Y,y)ηx∗-1=∏y∈Y(γy)Y,ηy,{\ displaystyle \ (3) \ qquad \ eta _ {X} ^ {*} (\ prod _ {y \ Y-ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}) \ eta _ {X} ^ {* ^ {- 1}} = \ prod _ {y \ Y} -ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, \ eta y},}![\ (3) \ qquad \ eta ^ {*} _ {X} (\ prod _ {y \ Y} (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}) \ eta ^ {* ^ {- 1 }} _ {X} = \ prod _ {y \ Y} -ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, \ eta y},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c080dc06d1af65592179272560c46a1d172b1ba)
más szavakkal
ηx∗(∏y∈Y(γy)Y,y)ηx∗-1=∏y∈Y(γη-1y)Y,y.{\ displaystyle \ \ qquad \ eta _ {X} ^ {*} (\ prod _ {y \ Y-ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}) \ eta _ {X} ^ {* ^ {- 1}} = \ prod _ {y \ Y} -ben (\ gamma _ {\ eta ^ {- 1} y}) _ {Y, y}.}![{\ displaystyle \ \ qquad \ eta _ {X} ^ {*} (\ prod _ {y \ Y-ben (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}) \ eta _ {X} ^ {* ^ {- 1}} = \ prod _ {y \ Y} -ben (\ gamma _ {\ eta ^ {- 1} y}) _ {Y, y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14dc28f1ae5759c8956ffdde562d669e2f59236e)
Általánosságban elmondható, hogy ha G egy csoport (és nem feltétlenül a permutációk egy csoportja), ha H egy Y halmazon működő csoport (anélkül, hogy feltétlenül permutációk csoportja lennénk), akkor hívjuk meg a műveletet úgy, hogy eltoljuk H-t G-n (Y) (kapcsolódik a H Y-ra gyakorolt hatásához) H hatása G-re (Y) az alábbiak szerint definiált automorfizmusokkal:
H×G(Y)→G(Y):(η,(γy)y∈Y)↦(γη-1y)y∈Y.{\ displaystyle \ H \ szorzat G ^ {(Y)} \ jobbra nyíl G ^ {(Y)}: (\ eta, (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y} -ben) \ mapsto (\ gamma _ {\ eta ^ {- 1} y}) _ {y \ Y} -ben.}![\ H \ -szer G ^ {(Y)} \ jobbra nyíl G ^ {(Y)}: (\ eta, (\ gamma_ {y}) _ {y \ Y-ben}) \ mapsto (\ gamma _ {\ eta ^ {-1} y}) _ {y \ Y-ben}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd27650adb8585012eef9b8df9cfbc21343241e)
(3) -ból arra következtetünk, hogy ha G egy X halmaz permutációinak csoportja, ha H egy Y halmaz permutációinak csoportja, akkor
(4) G ≀ H izomorf a külső félig-közvetlen termék G (Y) ⋊ H G (Y) H képest az intézkedés által eltolódása H G (Y) (ezt a tevékenységet azáltal eltolódás van meghatározva a a a H természetes hatása.
Ez sugallja ezt az általánosabb meghatározást: egy G csoport és egy H csoport esetében, amely egy nem üres Y halmazon működik, a G H korlátozott koronaterméke (a H kérdéses Y-ra gyakorolt hatásához viszonyítva) a félig közvetlen külső termék G (Y) ⋊ H G (Y) H képest az intézkedés által eltolódása H G (Y) (társított hatását H Y).
Látjuk, hogy ez a koronatermék nem függ egy G halmazon végrehajtott hatásától. "Korlátozottnak" hívják, mert a korlátozott G (Y) összegből épül fel . Gyakran G ≀ H-val jelöljük, de hogy megkülönböztessük a permutációk két csoportjának koronatermékétől, ebben a cikkben jelöljük . Eredményünk (4) tehát azt jelenti, hogy ha G és H permutációk csoportjai, akkor G ≀ H izomorf (mint csoport) a H természetes működéséhez viszonyítva.
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}![\ G \ _ {w} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353ef50adda6835ff42de489f4ea0ee752d0987c)
Az alcsoport az azt mondják, hogy az egység csoportját a korlátozott korona terméket.
B=G(Y)×1{\ displaystyle B = G ^ {(Y)} \ szor {1}}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}![\ G \ _ {w} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353ef50adda6835ff42de489f4ea0ee752d0987c)
Amint azt számos szerző megjegyzi, a korlátozott koronatermék (G ≀ H stb.) Jelenlegi jelölései nem pontosak, mivel kihagyják a H működését Y felett, ami a definíció lényeges eleme.
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}![\ G \ _ {w} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353ef50adda6835ff42de489f4ea0ee752d0987c)
A korlátozott korona termék permutációs változata
Legyen G egy olyan csoport, amely egy nem üres X halmazon működik, vagy H egy olyan csoport, amely egy nem üres Y halmazon működik. A következőkben szereplő kifejezések egyszerűsége érdekében a G (Y) elemeit inkább leképezésként, mint családként jelöljük . Jelöljük om homomorfizmus G S X megfelelő cselekvési G X és ψ homomorfizmus H S Y megfelelő hatásának H Y. Ha a két kereset kérdéses hű , G jelentése om (G) és H and (H) izomorf és ezt megmutatjuk
(f,h)↦(∏y∈Y(φ(f(y)))Y,y)∘(ψ(h))x∗{\ displaystyle \ (f, h) \ mapsto (\ prod _ {y \ Y-ben} (\ varphi (f (y))) _ {Y, y}) \ circ (\ psi (h)) _ {X } ^ {*}}![\ (f, h) \ mapsto (\ prod _ {y \ Y} -ben (\ varphi (f (y))) _ {Y, y}) \ circ (\ psi (h)) ^ {*} _ { X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04dc924c1d6e549348c3a099f1df94258b6071bd)
(ahol S X- ben, y -re Y-ben és η-re Y-ban , és az előző szakaszban megadott jelentéssel bír) meghatározza a korona termék izomorfizmusát, amely a korona termékre korlátozódik φ (G) ≀ ψ ( H) a mut (G) és ψ (H) permutációk csoportjából. (Amint azt az előző szakaszban megjegyeztük, nem jelent problémát.) Azt mondjuk, hogy φ (G) ≀ ψ (H) a korlátozott koronatermék permutációs változata .
γ{\ displaystyle \ \ gamma}
γY,y{\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y}}
ηx∗{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*}}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
∏y∈Y{\ displaystyle \ \ prod _ {y \ Y} -ben}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}![\ G \ _ {w} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353ef50adda6835ff42de489f4ea0ee752d0987c)
Teljes korona termék
Legyen G egy csoport, vagy H egy olyan csoport, amely egy nem üres Y halmazon működik. A korlátozott koronatermék definíciójában semmi sem akadályozza meg a korlátozott G (Y) összeg helyettesítését a közvetlen Y Y szorzattal és a műveletet a H eltolásával G (Y) a H elmozdításával G Y-n :
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}![\ G \ _ {w} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353ef50adda6835ff42de489f4ea0ee752d0987c)
H×GY→GY:(η,(γy)y∈Y)↦(γη-1y)y∈Y.{\ displaystyle \ H \ times G ^ {Y} \ rightarrow G ^ {Y}: (\ eta, (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y}) \ mapsto (\ gamma _ {\ eta ^ {-1} y}) _ {y \ Y-ben}.}![\ H \ -szer G ^ {Y} \ jobbra nyíl G ^ {Y}: (\ eta, (\ gamma_ {y}) _ {y \ Y} -ben) \ mapsto (\ gamma _ {\ eta ^ {- 1} y}) _ {y \ Y-ben}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbaf7e67d25574c7d4f77e74d42129270e394439)
Így a következő meghatározást kapjuk:
egy G csoport és egy Y halmazon működő H csoport esetében a G teljes H koronaterméke (a H kérdéses Y-ra gyakorolt hatásához viszonyítva) a G Y H külső félegyenes szorzata. a cselekvéshez viszonyítva H G Y eltolásával .
Ezt a terméket teljes koronaként értékeljük . A korlátozott koronatermék a . Ha az Y halmaz véges és azonos.
G WH{\ displaystyle \ G \ _ {W} H}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
G WH{\ displaystyle \ G \ _ {W} H}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
G WH{\ displaystyle \ G \ _ {W} H}![\ G \ _ {W} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242dacbe2f884ef77b5a91183474a23b156bfd55)
A korlátozott esetben nem modellezhető a termék teljes koronájú „permutációs változata”, mert ha egy csoport elemeinek családja nem végleges, akkor ennek az elemcsaládnak a terméke nincs meghatározva.
Példák
- (L. Kaloujnine) Legyen p prímszám és r természetes szám. A Sylow p-alcsoportok az izomorf az iterált koronát termék Sor{\ displaystyle \ S_ {p ^ {r}}}
![\ S_ {p ^ {r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde46c1450988bb5da30df13083ee7a12569b7b2)
λ(Z/oZ)≀...λ(Z/oZ){\ displaystyle \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) \ wr \ ldots \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})}![\ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) \ wr \ ldots \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa503b1736d8549655a58d27eafe68d77923b46)
Az R csoportok permutációk egyenlő a . (Tekintettel a ≀ kvázi asszociativitására, nem szükséges megadni az iterált koronatermék zárójelét.)
λ(Z/oZ){\ displaystyle \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})}![\ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301adfb1660159123971bcfd8a18f7fb778cc03f)
Általánosabban, ha p prímszám, ha n egy természetes szám, ha az írás a n a bázis p jelentése 0 + a 1 p + ... + a r p r , ha mi jelöljük W (s, p) s permutációs csoportok iterált koronaterméke egyenlő , akkor az S n Sylow p-alcsoportjai izomorfak a W 1 példányának (1, p), a W 2 példányának (2, p ), ... és a r (W, r, p) r másolatai.
λ(Z/oZ){\ displaystyle \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})}
- Itt a „gráf” alatt irányítatlan gráfot értünk (a gráfelmélet értelmében ).
Először vegye figyelembe az alábbiak szerint kapott grafikont.
-
Graph grafikon
-
Grafikon Graph 1
-
Graph 2 grafikon
Egy szabályos ötszög 5 csúcsát képviseljük, és minden csúcsból kifelé rajzolunk a három ötszögből zárt szegmensből, ügyelve arra, hogy két, egymástól eltérő csúcsból érkező zárt szakasznak soha ne legyen közös pontja. (Az 5. és 3. szám valójában tetszőleges.) A gráf csúcsainak az ötszög és a szegmensek többi végpontjának csúcsait vesszük. A szegmenseket a gráf éleként vesszük. Így kapunk egy connected grafikont 5 összekapcsolt komponenssel. Ezek az összekapcsolt komponensek mind izomorfak egy olyan gráfnál, amelynek automorfizmus-csoportja izomorf az S 3 -hoz . Megmutatjuk, hogy bármely permutáció s az 5 csúcsok a ötszög, léteznek 3 5 automorphisms a grafikon Γ amelyek permutálni ezeket 5 csúcsok ugyanúgy, mint s , és hogy a csoport a izomorfizmusokat a Γ izomorf S 3 ≀ S 5 .
Ez a következő általános tényre redukálható: ha E halmaz, ha E partíciója halmazokba tartozik minden ekvipotens ugyanazon F halmazhoz, akkor E f permutációi olyanok, hogy az I bármely i eleméhez létezik egy eleme j I kielégítő (más szóval a permutációk E amelyek permutálni az E i közöttük) alkot egy alcsoportja S E izomorf (meghatározott viszonylag a természetes működését ).
(Fén)én∈én{\ displaystyle \ (F_ {i}) _ {i \ I}} -ban
f(Fén)=Fj{\ displaystyle \ f (F_ {i}) = F_ {j}}
SF WSén{\ displaystyle \ S_ {F} \ _ {W} S_ {I}}
Sén{\ displaystyle \ S_ {I}}![\ IF}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888d2b7c83174e1d20cc817e6a01c9ef3ad080e6)
A Γ gráf nem összekapcsolhatósága nyilvánvalóan nem lényeges: ha a Γ csúcsaihoz hozzáadjuk az ötszög közepét, a grafikon széleihez pedig hozzáadjuk a középpontot összekötő szakaszokat az ötszög csúcsaihoz, akkor egy graph 1 gráf , ezúttal kapcsolódik, amelynek automofizmuscsoportja szintén izomorf az S 3 ≀ S 5-vel .
Vegyük újra a (nem összekapcsolt) gráfot Γ, és adjuk az éléhez az ötszög 5 oldalát. Legyen thus 2 az így kapott grafikon. A Γ esetével ellentétben a Γ 2 automorfizmusa semmilyen módon nem képes áthatolni az ötszög 5 csúcsát,
hanem átfordulásként kell átitatnia őket. Megmutatjuk, hogy a Γ 2 automorfizmusainak csoportja izomorf a S3≀λ(Z/5.Z).{\ displaystyle \ S_ {3} \ wr \ lambda (\ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}).}
A koronatermék felhasználásával készült ellenpéldák
- Legyen G egy nem triviális abeli csoport ( triviális alatt itt a semleges elemre redukálva) és H egy olyan csoport, amely hűen és átmenetileg működik egy nem üres Y halmazon, vagy a megfelelő korlátozott koronatermék, vagy B a alapcsoport. Megmutatjuk, hogy a középpontja az (f, 1) párok alkotta B alcsoport, ahol f áthalad Y és G között a térképeken, amelyek állandóak és véges alátámasztásúak. Ha Y végtelen, akkor az Y-től G-ig terjedő véges támogatási térkép csak akkor lehet állandó, ha mindenhol az 1 értéke van, ezért abban az esetben, ha Y végtelen, a középpontja a semleges elemre redukálódik. G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}![\ G \ _ {w} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353ef50adda6835ff42de489f4ea0ee752d0987c)
Legyen p prímszám. Választhatunk egy végtelen p csoportot K (például a
Prüfer p csoportot , vagy a p rendű végtelen csoportok közvetlen szorzatát vagy közvetlen összegét ). Vegyük Y-re a K mögöttes halmazát, H esetében pedig a Y = K-n természetesen működő λ (K) csoportot; vegyünk G-re egy sorrendet p . A fentiekből a középpontja a semleges elemre redukálódik. Most a korlátozott összege egy család (véges vagy végtelen) p-csoport jelentése p-csoport, és egy félig-közvetlen terméke két p-csoportok jelentése p-csoport, így egy p -csoport . Ez azt mutatja, hogy a nem triviális véges p -csoportokkal ellentétben a végtelen p- csoportnak lehet triviális középpontja.
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}![\ G \ _ {w} H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353ef50adda6835ff42de489f4ea0ee752d0987c)
- A korlátozott korona terméket (amely megfelel a természetes hatására ) keletkezik a két elem (f 1 , 0) és (0, X 1 ), ahol f 1 jelöli alkalmazása Z be Z nulla mindenütt, kivéve az 1-ben, ha az 1, és ahol λ 1 az x ↦ x + 1 transzlációt jelöli Z-ben . Másrészt ennek a koronaterméknek az alapcsoportja nem véges típusú, mert az összes nem triviális csoport végtelen családjának korlátozott összege nem véges típusú csoport. Ez azt mutatja, hogy a véges típusú csoport egy alcsoportja nem feltétlenül véges típusú. Z wλ(Z){\ displaystyle \ \ mathbb {Z} \ _ {w} \ lambda (\ mathbb {Z})}
λ(Z){\ displaystyle \ \ lambda (\ mathbb {Z})}![\ \ lambda (\ mathbb {Z})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2895af8bb1fe7d45fd592e91b76421b37afc214)
Megjegyzés: a λ ( Z ) csoport és annak természetes hatása helyett figyelembe vehettük volna a Z csoportot és annak szabályos működését.
- Legyen W a teljes korona szorzata
W=Z/2Z WZ{\ displaystyle \ W = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ _ {W} \ mathbb {Z}}![\ W = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ _ {W} \ mathbb {Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d3e96134fbfd0bfef467ddced1d67384d3adcf)
rendszeres cselekedetéhez képest
Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z}}![\ \ mathbb {Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0481c80653b36238e4f4e79d8ab4ed225e5b7fd6)
W jelentése tehát a félig közvetlen terméke által viszonyított hatására a Shift:
(Z/2Z)Z{\ displaystyle \ (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}}}
Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z}}
Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z}}
(Z/2Z)Z{\ displaystyle \ (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}}}
Z×(Z/2Z)Z→(Z/2Z)Z:(k,(unem)nem∈Z)↦(unem-k)nem∈Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}} \ rightarrow (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}} :( k, (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}) \ mapsto (u_ {nk}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}![\ \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}} \ rightarrow (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}}: (k, (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}) \ mapsto (u_ {nk}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2c59b69b4e104b548391557f355debaaf114d3)
Jelöljük V 0 -val a szigorúan negatív indexben a nulla családok alkotta alcsoportot . Legyen V a W V 0 × {0} alcsoportja . Bármely racionális egész szám esetén W (0, k) V (0, k) -1 alcsoportját (ahol 0 mindenhol a nulla családot jelöli) a azok a családok, amelyek n n-ként nulla. Tehát, ha k> 0, akkor (0, k) V (0, k) -1 szigorúan benne van az V.-ben. Ez azt mutatja, hogy egy alcsoport konjugátuma szigorúan benne lehet ebben az alcsoportban. Tehát ahhoz, hogy a G csoport x eleme
normalizálja a G H alcsoportját, nem mindig elegendő, ha xHx -1 benne van H-ban.
(Z/2Z)Z{\ displaystyle \ (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}}}
Kaluzhnin és Krasner tétel
Krasner és Kaloujnin 1951-ben bebizonyította, hogy ha K és Q csoport, akkor a Q bármelyik Q- kiterjesztése izomorf a Q teljes koronatermékének Q-alcsoportjához képest a Q szabályos hatásához képest.
Két félcsoport koronájában állítják elő
A koronatermék fogalma többféleképpen terjeszthető ki csoportokról félcsoportokra .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Meghatározás összhangban DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer, 1996, p. 32-33.
-
Lásd DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer, 1996, p. 33, vagy JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., 1999-es kiadás, p. 173.
-
Lásd DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer, 1996, p. 33.
-
Rendszeres (JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., Kiadás, 1999, 175. o.), Vagy normál (DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer 1996 , 41. o.) az angolszász terminológiában. . Rendszeresen : J. Delcourt, Théorie des groups , Párizs, Dunod, 2001, p. 162.)
-
JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., 1999-es kiadás, p. 175.
-
J. Delcourt, Csoportok elmélete , Párizs, Dunod, 2001, p. 161.
-
JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , 4 th ed., 1999-es kiadás, p. 172; IM Isaacs, Véges csoportelmélet , American Mathematical Society, 2008, p. 73.
-
JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., 1999-es kiadás, p. 173.
-
"A véges szimmetrikus csoportok Sylow p-csoportjainak felépítéséről és e csoportok néhány végtelen általánosításáról", Séminaire Bourbaki, 1948. december, p. 29-31, elérhető a Numdam weboldalán . Lásd még JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., 1999-es kiadás, p. 176, vagy DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer, 1996, p. 41–42.
-
JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., 1999-es kiadás, Ex. 7.36, p. 178.
-
JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., 1999-es kiadás, p. 174-175 és gyakorolja. 7.30, p. 177.
-
J. Delcourt, elmélet csoportok , 2 nd edition, Paris, Dunod, 2012, p. 160-161 és 191.
-
J. Delcourt, csoportok elmélete , Párizs, Dunod, 2001, p. 162; DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer, 1996, p. 139., gyakorlat. 11.
-
DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer, 1996, p. 43. gyakorlat. 15.
-
J. Delcourt, Csoportok elmélete , Párizs, Dunod, 2001, p. 162 és 190.
-
M. Krasner, L. Kaloujnine, "Complete termék permutáció csoportok és csoport mellékállomási probléma I", Acta Sci. Math. Szeged , 13 (1950) p. 208–230; M. Krasner, L. Kaloujnine, "A permutációs csoportok és a II. Csoport kiterjesztési probléma teljes terméke", Acta Sci. Math. Szeged, 14 (1951) p. 39–66 és 69–82. Hivatkozás: EA Golubov és LN Shevrin, „Koszorú termék”, AL Shmel'kin (kezdeményező), Matematika Enciklopédia (Springer), online .
-
Egy bemutató, lásd JJ Rotman, Bevezetés a Theory of Groups , Springer, 4 th ed., 1999-es kiadás, p. 187. és jegyzet p. 188, vagy DJS Robinson, A Course az elmélet csoportok , 2 -én ed., Springer, 1996, p. 326., gyakorlat. 11. és 12.
-
EA Golubov és LN Shevrin, „Koszorú termék”, AL Shmel'kin (kezdeményező), Matematika Enciklopédia (Springer), online .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">