A lineáris algebrában a vetítő (vagy egy vetület ) egy lineáris térkép , amelyet két egyenértékű módon lehet bemutatni:
A Hilbert-féle vagy akár csak a prehilbert-i térben egy olyan vetületet nevezünk ortogonális vetületnek , amelyre a további kettő merőleges .
Legyen F egy altér a vektor E és G egy további F a E . Bármely olyan vektor, x az E lehet írni egy egyedi módon, az összeg a vektor F és a vektor, G : . A G-vel párhuzamos F vetület a térkép:
Ekként, az alkalmazás p egy endomorphism , idempotens ( p ∘ p = p ) a képet im ( p ) = F és kernel ker ( p ) = G . Ez az endomorfizmus átlósítható .
Mi meghatározza azoknak a projektorok az E , mint a endomorfizmusok p az E kielégítő p 2 = p . Éppen azt láttuk, hogy bármely vetület vetítő. Kölcsönösen :
Vetítő jellemzési tétel - Az E bármely kivetítője egy vetület, pontosan az im ( p ) vetülete a ker ( p ) -vel párhuzamosan , ekkor ez a két altér kiegészítő.
A nyúlvány G párhuzamos F a térképen q = ID - p , más néven kivetítő „kapcsolódó” a p .
A q képe ekkor a p magja , a p a q magja . Más szavakkal: ker ( p ) = im (id - p ) és im ( p ) = ker (id - p ) .
Ugyanazon vektortér két p és r endomorfizmusa ugyanannak a képnek a kivetítője akkor és csak akkor, ha p ∘ r = r és r ∘ p = p .
DemonstrációA vektortér E jelentése egy direkt összege vektor altér akkor és csak akkor, ha létezik egy fényvetőket (a ) kielégíti: és ha i ≠ j .
A vektor szimmetria egy endomorphism s úgy, hogy s 2 az azonosító (nem tévesztendő össze a „ szimmetrikus endomorphism ”).
Az itt végzett endomorfizmusok, például p 2 = p , vagy s 2 = id keresése a P ( u ) = 0 egyenlet P polinom és u endomorfizmus kezelésének egyszerű speciális esete ; lásd az " endomorfizmus polinomja " című cikket az általánosításokról.
Egy négyzetes térben , különösen a prehilbertian helyet , projektor egy szimmetrikus endomorphism akkor és csak akkor, ha . Ezután van egy ortogonális projektorunk , vagy egy ortogonális vetületünk .
A véges dimenziós tér bármely kivetítője átlósítható , csak az 1. és a 0 sajátértéket tartalmazzák (ha ez nem nulla, és nem is azonos).
Valóban, ha mi jelöljük a alapján E a vektorok im ( p ) és a vektorok ker ( p ) (ami lehetséges, mert a kép, és a kernel a p vannak további), akkor a mátrix a p ebben a kiigazított bázis írott:
Ezért a következő tulajdonságokkal rendelkezünk: