Landau számszerűsítése
A kvantummechanika , Landau kvantálás utal, hogy a kvantálás a cyclotronic kering a töltött részecskéket tartalmazó mágneses mező . Ennek eredményeként a töltött részecskék csak a diszkrét (vagy kvantum ) energia pályáit foglalhatják el , az úgynevezett " Landau-szinteket ". Ezekben a szintekben a beengedett elektronok száma egyenesen arányos a mágneses mező modulussal. A Landau-kvantálás közvetlenül befolyásolja az anyagok elektronikus tulajdonságainak kvantumrezgéseit. Nevét Lev Landau szovjet fizikustól kapta, aki felfedezte.
Származtatás
Vegyünk egy kétdimenziós elektrongázt (GE2D), amely töltött kölcsönhatásokból áll, amelyek nem lépnek kölcsönhatásba. Legyen és a részecskék töltése és a 2DEG felülete erős külső mágneses mezőnek engedjük alá magunkat . A rendszer hamiltonianja a következő:
q{\ displaystyle q}S=LxLy{\ displaystyle S = L_ {x} L_ {y}}B=(0,0,Bz){\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} = (0,0, B_ {z})}
H=12m∑r=1NEMPr2=12m∑r=1NEM(or+eNÁL NÉL)2,{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {H}} & = {\ frac {1} {2m}} \ sum _ {r = 1} ^ {N} {\ boldsymbol {P}} _ {r } ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {2m}} \ sum _ {r = 1} ^ {N} \ balra ({\ boldsymbol {p}} _ {r} + e {\ boldsymbol {A}} \ jobbra) ^ {2}, \ vége {igazítva}}}A a részecske impulzus operátor és a generalizált pillanatban kaptunk a Peierls cserélni. Az a vektor, mint például az a vektorpotenciál , amelyet a kívánt szelvényben választhatunk, mivel a Hamilton-féle szelvény invariáns . A szelvény változatlansága azt jelenti, hogy a szelvény változása csak a hullámfázis fázisát változtatja meg . Ez a módosítás nem változtatja meg a fizikai tulajdonságokat, ezért az egyszerűség kedvéért a Landau nyomtávot választják. Meghatározza:
or=-énℏ∇r{\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {r} = - i \ hbar \ nabla _ {r}}r{\ displaystyle r}Pr{\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} _ {r}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B=∇×NÁL NÉL{\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {A}}}
NÁL NÉL=(0Bx0){\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ Bx \\ 0 \ end {pmatrix}}},
együtt és a komponens a pozíció. Mivel a Hamilton-féle nem kapcsolja össze az elektronokat, egy testtel rendelkező Hamilton-féle redukálhatjuk.
B=|B|{\ displaystyle B = | {\ félkövér szimbólum {B}} |}x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}
H=∑rHrHr=12m(Pr,x2+Pr,y2),{\ textstyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {H}} & = \ sum _ {r} H_ {r} \\ H_ {r} & = {\ frac {1} {2m}} \ balra (P_ {r, x} ^ {2} + P_ {r, y} ^ {2} \ jobbra), \ vége {igazítva}}}ahol az index implicit lesz a következő fejleményekben.
r{\ displaystyle r}
A babakocsi szintjei
E sajátérték-probléma megoldása érdekében először a Hamilton-féle átírással kezdjük el kiemelni a hasonlóságot a harmonikus oszcillátorral.
H=12m[(Px+énPy)(Px-énPy)+én[Px,Py]]=ℏBqm[(Px+énPy)(Px-énPy)2qℏB-12],{\ displaystyle {\ begin {aligned} H & = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (P_ {x} + iP_ {y} \ right) \ left (P_ {x} -iP_ { y} \ right) + i \ left [P_ {x}, P_ {y} \ right] \ right] \\ & = {\ frac {\ hbar Bq} {m}} \ left [{\ frac {\ left (P_ {x} + iP_ {y} \ jobb) \ balra (P_ {x} -iP_ {y} \ jobbra)} {2q \ hbar B}} - {\ frac {1} {2}} \ jobbra] , \ end {igazítva}}}
ahol azt a tényt használtuk . Mi lehet majd a skála üzemeltetők által meghatározott
[Px,Py]=énqℏB{\ displaystyle \ left [P_ {x}, P_ {y} \ right] = iq \ hbar B}
nál nél=Px+énPy2qℏB,nál nél|nem⟩=nem|nem-1⟩nál nél†=Px-énPy2qℏB,nál nél†|nem⟩=nem+1|nem+1⟩{\ displaystyle {\ begin {aligned} a & = {\ frac {P_ {x} + iP_ {y}} {\ sqrt {2q \ hbar B}}}, \ quad a | n \ rangle = {\ sqrt { n}} | n-1 \ rangle \\ a ^ {\ tőr} & = {\ frac {P_ {x} -iP_ {y}} {\ sqrt {2q \ hbar B}}}, \ quad a ^ { \ tőr} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle \ end {igazítva}}}
Az említett szereplők bozonikus, más szóval , az állam vektorok , amelyek hatnak sajátvektorok ortonormált bázist alkotnak. Ezek a definíciók lehetővé teszik, hogy a hamiltoniakat tömören úgy írják
[nál nél,nál nél†]=1{\ displaystyle [a, a ^ {\ tőr}] = 1} {|nem⟩}nem=0,1,...{\ displaystyle \ left \ {| n \ rangle \ right \} _ {n = 0,1, \ dots}}
H=ℏωvs.(nál nél†nál nél+12){\ displaystyle H = \ hbar \ omega _ {c} \ balra (a ^ {\ tőr} a + {\ frac {1} {2}} \ jobbra)},
ahol bevezettük a ciklotron frekvenciát ; ezért azonos a kvantumharmonikus oszcillátoréval . A sajátértékek
ωvs.=qB/m{\ displaystyle \ omega _ {c} = qB / m}
Enem=ℏωvs.(nem+12),nem∈[0,1,2...){\ displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega _ {c} \ bal (n + {\ frac {1} {2}} \ jobb), \ quad n \ [0,1,2 \ pontban]}.
Ezek a Landau-szintek energiái, a Landau-szint indexével indexelve . A hamiltoniak ingáznak . Következésképpen a megoldás megegyezik a szabad elektronéval, és a hullámfüggvényt a következőképpen tudjuk faktorizálni
nem{\ displaystyle n}oy{\ displaystyle p_ {y}}y{\ displaystyle y}
ψ(x,y)=eénkyy⟨x|nem⟩{\ displaystyle \ psi (x, y) = e ^ {ik_ {y} y} \ langle x | n \ rangle}.
A megsemmisítési operátor definícióját a differenciál operátorok függvényében felhasználva, és azt , hogy megmutathatjuk, hogy az alapvető szintű hullámfüggvénynál nél{\ displaystyle a}nál nél|0⟩=0{\ displaystyle a | 0 \ rangle = 0}
ψ0(x,y)=1π1/2ℓBeénkyye-12ℓB2(x+kyℓB2)2{\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi ^ {1/2} \ ell _ {B}}}} e ^ {ik_ {y} y } e ^ {- {\ frac {1} {2 \ ell _ {B} ^ {2}}} (x + k_ {y} \ ell _ {B} ^ {2}) ^ {2}}}
és a magasabb Landau-szintek hullámfüggvényeit azzal érjük el
ψnem(x,y)=eénkyynál nél†nemnem!ψ0(x,y){\ displaystyle \ psi _ {n} (x, y) = e ^ {ik_ {y} y} {\ frac {{a ^ {\ tőr}}} ^ {n}} {\ sqrt {n!}} } \ psi _ {0} (x, y)}.
A fent bevezetett mennyiség a mágneses hossz . A valószínűség sűrűsége, amelyet a fundamentum négyzetmoduljának felvételével kapunk, egy Gauss-féle, amelynek szórása arányos , ezért ez a hosszúság az alapvető hullámfüggvény mértékére jellemző.
ℓB=ℏqB{\ displaystyle \ ell _ {B} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {qB}}}}ℓB{\ displaystyle \ ell _ {B}}
A Landau-szintek degeneráltak, mivel a kvantumszám több értéket is felölelhet. A Landau-szinten elérhető állapotok számának megállapításához elegendő kiszámítani azt a területet, amelyet az ezeket a szinteket elfogadó részecskék foglalnak el a kölcsönös térben . A Landau-részecskék olyan sugarú kört határoznak meg, amelyet az alábbiakkal kapunk:
ky=2πmLy,m∈NEM{\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {2 \ pi m} {L_ {y}}}, \ quad m \ in \ mathbb {N}}NEM{\ displaystyle N}kNEM{\ displaystyle k_ {N}}
ENEM=ℏωvs.(NEM+12)=ℏ2kNEM22m⟹kNEM2=2NEM+1ℓB2.{\ displaystyle {\ begin {aligned} E_ {N} & = \ hbar \ omega _ {c} \ bal (N + {\ frac {1} {2}} \ jobb) \\ & = {\ frac {\ hbar ^ {2} k_ {N} ^ {2}} {2m}} \\\ k_ {N} ^ {2} & = {\ frac {2N + 1} {\ ell _ {B} ^ {2 }}}. \ end {igazítva}}}
Egyetlen Landau-szint területét úgy számítjuk ki, hogy a hullámvektorok terében két egymást követő kör különbségét vesszük fel.
ΔSNEM=πkNEM2-πkNEM-12=2πℓB2{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta S_ {N} & = \ pi k_ {N} ^ {2} - \ pi k_ {N-1} ^ {2} \\ & = {\ frac {2 \ pi} {\ ell _ {B} ^ {2}}} \ end {aligned}}}
Mivel egy részecske elfoglal egy területet ebben a térben, arra a következtetésre jutunk, hogy Landau-szinten lehetnek állapotok. Ezt a számot meg kell szorozni a többi degenerációk specifikus GE2D, például centrifugálás . Gyakran hasznos mennyiség a kitöltési tényező . Ennek a számnak van egy topológiai jelentősége, amelyet a kvantum Hall-effektus jelensége emel ki . Meghatározása a részecskék száma egységekben , azaz .
4π2/S{\ displaystyle 4 \ pi ^ {2} / S}NEMϕ=2π/ℓB24π2/S=S2πℓB2{\ displaystyle N _ {\ phi} = {\ frac {2 \ pi / \ ell _ {B} ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} / S}} = {\ frac {S} {2 \ pi \ ell _ {B} ^ {2}}}} v{\ displaystyle \ nu}NEMϕ{\ displaystyle N _ {\ phi}}v=NEMNEMϕ{\ displaystyle \ nu = {\ frac {N} {N _ {\ phi}}}}
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az
angol Wikipedia
" Landau quantization " című cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
Ezawa, Zyun Francis. , Quantum Hall-effektusok: terepi elméleti megközelítés és kapcsolódó témák , World Scientific ,2008, 706 p. ( ISBN 978-981-270-032-2 , OCLC 150.382.329 , olvasható online )
Bibliográfia
- en) LD Landau és EM Lifshitz , kvantummechanika: nonrelativisztikus elmélet , Pergamon Press ,1977
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">