Cramer szabálya
A Cramer-szabály (vagy a Cramer-módszer ) a lineáris algebrában szereplő tétel , amely egy Cramer-rendszer megoldását adja meg , vagyis olyan lineáris egyenletrendszert tartalmaz, amely annyi egyenlettel rendelkezik, mint ismeretlen, és amelynek az együttható mátrixának meghatározója nem -zérum, determinánsok hányadosa formájában.
A számítás során a módszer kevésbé hatékony, mint a Gauss-féle felbontási módszer nagy rendszerek esetében (négy egyenletből), amelyek együtthatóit kifejezetten megadják az első tagban. Ennek azonban elméleti jelentősége van, mivel kifejezett kifejezést ad a rendszer megoldására, és olyan rendszerekben alkalmazható, ahol például az első tag együtthatói paraméterektől függenek, ami a Gauss-módszert alkalmazhatatlanná teheti.
Gabriel Cramer svájci matematikusról (1704-1752) kapta a nevét .
Leírás
A rendszer n egyenletek N ismeretlenek , az általános formája:
{nál nél1,1x1+nál nél1,2x2+...+nál nél1,nemxnem=λ1nál nél2,1x1+nál nél2,2x2+...+nál nél2,nemxnem=λ2⋮nál nélnem,1x1+nál nélnem,2x2+...+nál nélnem,nemxnem=λnem{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + ... + a_ {1, n} x_ {n} = \ lambda _ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + ... + a_ {2, n} x_ {n} = \ lambda _ {2 } \\ vdots \\ a_ {n, 1} x_ {1} + a_ {n, 2} x_ {2} + ... + a_ {n, n} x_ {n} = \ lambda _ {n} \ vége {mátrix}} \ jobb.}képviseli, mint egy mátrix termék :
(nál nél1,1nál nél1,2⋯nál nél1,nemnál nél2,1nál nél2,2⋯nál nél2,nem⋮⋮⋱⋮nál nélnem,1nál nélnem,2⋯nál nélnem,nem)×(x1x2⋮xnem)=(λ1λ2⋮λnem)⇔NÁL NÉL⋅x=Λ{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & \ cdots & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & \ cdots & a_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n, 1} & a_ {n, 2} & \ cdots & a_ {n, n} \\\ end { pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ { 1} \\\ lambda _ {2} \\\ vdots \\\ lambda _ {n} \\\ end {pmatrix}} \ Balra mutató nyíl A \ cdot X = \ Lambda}ahol a négyzetes mátrix tartalmazza az együtthatók az ismeretlenek, a oszlop vektor tartalmazza ezeket ismeretleneket és az oszlop vektor tartalmazza a jobb oldali tagjai az egyenletek a rendszer; az együtthatók és az ismeretlenek ugyanazon kommutatív mező részét képezik .
NÁL NÉL{\ displaystyle A} x{\ displaystyle X}Λ{\ displaystyle \ Lambda}
A tétel akkor azt állítja, hogy a rendszer elismeri egyedülálló megoldás , ha, és csak akkor, ha a mátrix nem invertálható (nem nulla meghatározó), és ezt az oldatot azután adja meg:
NÁL NÉL{\ displaystyle A}
xk=det(NÁL NÉLk)det(NÁL NÉL){\ displaystyle x_ {k} = {\ det (A_ {k}) \ over \ det (A)}}ahol a négyzetes mátrix képződik azáltal, hogy a K- edik oszlopa által az oszlop vektor .
NÁL NÉLk{\ displaystyle A_ {k}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}Λ{\ displaystyle \ Lambda}
NÁL NÉLk=(nál nélk|én,j) val vel nál nélk|én,j={nál nélén,jha j≠kλénha j=k{\ displaystyle A_ {k} = (a_ {k | i, j}) {\ mbox {with}} a_ {k | i, j} = \ balra \ {{\ begin {mátrix} a_ {i, j} & {\ mbox {si}} j \ neq k \\\ lambda _ {i} és {\ mbox {si}} j = k \ end {mátrix}} \ right.}Egy négyzet alakú rendszert (azaz annyi egyenlettel, ahány ismeretlen van) Cramer-nek nevezünk, ha mátrixának determinánsa nem nulla.
Amikor a rendszer (mindig négyzet) nem Cramer (azaz amikor a meghatározója A nulla):
- ha az egyik mátrix determinánsa nem nulla, akkor a rendszernek nincs megoldása;NÁL NÉLk{\ displaystyle A_ {k}}
- fordítva hamis: előfordulhat, hogy a rendszernek nincs megoldása, bár a determinánsok nullaak. Példát ad:det(NÁL NÉLk){\ displaystyle \ det (A_ {k})}
{x+y+z=1x+y+z=2x+y+z=3{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + y + z = 3 \ end {mátrix}} \ right.}További részletekért lásd : Rouché-Fontené tétel .
A lineáris rendszer Cramer-szabály alkalmazásával történő megoldásához végrehajtandó műveletek száma függ a determináns kiszámításához használt módszertől. A determináns számítások hatékony módszere a Gauss-Jordan elimináció ( polinom komplexitás ). Cramer szabálya azonban megköveteli, hogy a rendszer méretével megegyező számú meghatározó számítást alkalmazzanak, ezért a közvetlenül a rendszerre alkalmazott Gauss-Jordan elimináció hatékonyabban megoldja a problémát.
Tüntetések
Ha A invertálható, számítsa ki az X megoldást (amelyről tudjuk, hogy létezik és egyedi).
Közvetlen módszer
Legyen C 1 , ..., C n oszlopok A . Az AX = Λ egyenlőséget átírják
Λ=x1VS1+...+xnemVSnem.{\ displaystyle \ Lambda = x_ {1} C_ {1} + \ ldots + x_ {n} C_ {n}.}A k- edik oszlop szerinti determináns linearitásával következtethetünk
det(NÁL NÉLk)=x1det(Bk,1)+⋯+xnemdet(Bk,nem){\ displaystyle \ det (A_ {k}) = x_ {1} \ det (B_ {k, 1}) + \ cdots + x_ {n} \ det (B_ {k, n})}ahol B k, j jelöli a mátrix egy , amelyben a k -edik oszlop helyébe a C j . Most az összes j ≠ k esetében a B k, j mátrixnak két egyenlő oszlopa van, így meghatározója nulla. Akkor marad
det(NÁL NÉLk)=xkdet(Bk,k)=xkdet(NÁL NÉL),{\ displaystyle \ det (A_ {k}) = x_ {k} \ det (B_ {k, k}) = x_ {k} \ det (A),}ezért az eredményt osztva det ( A ) -vel, amely hipotézis szerint nem nulla.
Módszer
Laplace képletének felhasználásával
Az A –1
inverz mátrixot a Laplace-képlet adja meg
NÁL NÉL-1=1detNÁL NÉLtvs.omNÁL NÉL{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det A}} \, {} ^ {t} {{\ rm {com}} A}}ahol az
átültetett a
Adjungált az A . Fejezzük ki az X = A −1 Λ egyedi megoldás koordinátáit , k esetén 1-től n- ig változó :
tvs.omNÁL NÉL{\ displaystyle {} ^ {t} {{\ rm {com}} A}}xk=∑j=1nemλjVSofj,kdet(NÁL NÉL).{\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ lambda _ {j} {\ rm {Cof}} _ {j, k}} {\ det (A) }}.}Ismét Laplace képlete szerint a számlálóban szereplő összeg a kibővülése annak k- edik oszlopához képest
det(NÁL NÉLk){\ displaystyle \ det (A_ {k})}xk=det(NÁL NÉLk)det(NÁL NÉL).{\ displaystyle x_ {k} = {\ det (A_ {k}) \ over \ det (A)}.}
jegyzet
A Cramer formula lehetővé teszi fordítva, hogy bemutassa Laplaceét.
Példák
Rendelés 2 rendszer
Ha , a rendszer
nál néld-bvs.≠0{\ displaystyle ad-bc \ neq 0}
{nál nélx+by=evs.x+dy=f{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {mátrix}} \ right.}az egyetlen megoldás:
x=|ebfd||nál nélbvs.d|=ed-bfnál néld-bvs.,y=|nál nélevs.f||nál nélbvs.d|=nál nélf-evs.nál néld-bvs..{\ displaystyle x = {{\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {ed-bf \ over ad- bc}, \ quad y = {{\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {af-ec \ over ad-bc}.}Numerikus példa:
4x+2y=24.2x+3y=16.}⇔{x=24.⋅3-16.⋅28.=408.=5.y=4⋅16.-2⋅24.8.=16.8.=2{\ displaystyle \ left. {\ begin {mátrix} 4x + 2y = 24 \\ 2x + 3y = 16 \ end {mátrix}} \ right \} \ Balra mutató nyíl balra {{\ \ begin {matrix} x = {24 \ cdot 3-16 \ cdot 2 \ over 8} = {40 \ over 8} = 5 \\ y = {4 \ cdot 16-2 \ cdot 24 \ over 8} = {16 \ over 8} = 2 \ end {mátrix}} \ jobb.}
Rendelési rendszer 3
{nál nél1x1+b1x2+vs.1x3=d1nál nél2x1+b2x2+vs.2x3=d2nál nél3x1+b3x2+vs.3x3=d3{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1} x_ {1} + b_ {1} x_ {2} + c_ {1} x_ {3} = d_ {1} \\ a_ {2} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} + c_ {2} x_ {3} = d_ {2} \\ a_ {3} x_ {1} + b_ {3} x_ {2} + c_ {3 } x_ {3} = d_ {3} \ end {mátrix}} \ right.}Pózoljunk:
NÁL NÉL=(nál nél1b1vs.1nál nél2b2vs.2nál nél3b3vs.3),x=(x1x2x3)ésΛ=(d1d2d3).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} \ end {pmatrix}}, \ quad X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ Lambda = {\ begin {pmatrix} d_ {1} \\ d_ {2} \\ d_ {3} \ end {pmatrix}}.}A rendszer egyedül és kizárólag akkor ismeri el a megoldást, ha :
det(NÁL NÉL)≠0{\ displaystyle \ det (A) \ neq 0}
x1=det(NÁL NÉL1)det(NÁL NÉL)=|d1b1vs.1d2b2vs.2d3b3vs.3|det(NÁL NÉL){\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {\ det (A_ {1})} {\ det (A)}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} d_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ d_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ d_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ det (A)}}}
x2=det(NÁL NÉL2)det(NÁL NÉL)=|nál nél1d1vs.1nál nél2d2vs.2nál nél3d3vs.3|det(NÁL NÉL){\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {\ det (A_ {2})} {\ det (A)}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {1} & d_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & d_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & d_ {3} és c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ det (A)}}}
x3=det(NÁL NÉL3)det(NÁL NÉL)=|nál nél1b1d1nál nél2b2d2nál nél3b3d3|det(NÁL NÉL){\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {\ det (A_ {3})} {\ det (A)}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & d_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & d_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} és d_ {3} \ end {vmatrix}} {\ det (A)}}}
Vagy egyszerűbben:
x=(x1x2x3)=1det(NÁL NÉL)⋅(det(NÁL NÉL1)det(NÁL NÉL2)det(NÁL NÉL3)).{\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ cdot {\ begin {pmatrix} \ det (A_ {1}) \\\ det (A_ {2}) \\\ det (A_ {3}) \ end {pmatrix}}.}Ahhoz, hogy a rendszer ne ismerjen el semmilyen megoldást, elegendő, ha:
det(NÁL NÉL)=0és(det(NÁL NÉL1)≠0vagydet(NÁL NÉL2)≠0vagydet(NÁL NÉL3)≠0){\ displaystyle \ det (A) = 0 \ quad {\ text {és}} \ quad {\ Big (} \ det (A_ {1}) \ neq 0 \ quad {\ text {vagy}} \ quad \ det (A_ {2}) \ neq 0 \ quad {\ text {vagy}} \ quad \ det (A_ {3}) \ neq 0 {\ Big)} \,}Abban az esetben
det(NÁL NÉL)=det(NÁL NÉL1)=det(NÁL NÉL2)=det(NÁL NÉL3)=0{\ displaystyle \ det (A) = \ det (A_ {1}) = \ det (A_ {2}) = \ det (A_ {3}) = 0 \,}vagy a megoldások végtelensége lehet, vagy egyik sem.
Hivatkozások
-
J.-P. Marco és L. Lazzarini (szerk.), Matematika L1: Teljes tanfolyam áttekintő ívekkel, 1000 javított teszttel és gyakorlattal , Pearson ,2013, 2 nd ed. ( online olvasható ) , p. 479.
-
Jean-Pierre Ramis és André Warusfel (rendező), All-in-one matematika a licencért : 1. szint , Dunod ,2013, 2 nd ed. ( online olvasható ) , p. 382.
-
L. Thomas, lineáris algebra Bachelor 1 -jén 2009-2010 (kezdeti tájékoztatót által kifejlesztett EB Fluckiger és P. CHABLOZ) EPFL , 2009. szeptember o. 47-48 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">