Hasonlóság (folyadékmechanika)

A folyadékmechanikában a hasonlóság a dimenzió nélküli számok bemutatása, amely lehetővé teszi a rendszert leíró egyenletekbe beavatkozó paraméterek számának csökkentését annak elemzése egyszerűsítése érdekében, még az egyenletei is, mint a határréteg esetében . Ez lehetővé teszi a reprezentatív tapasztalatok meghatározását a valós jelenségnél hozzáférhetőbb skálán.

Skála változatlansága

A rendszert olyan változók írják le, amelyek mindegyikének van egy dimenziója, amely az alapmennyiségek elemi méreteinek: T idő, L hossz, M tömeg,, hőmérséklet és Q elektromos töltés egész hatványainak szorzata. Ezt a szabályt az esetnek kell minősítenie. szögek bizonytalanok ,

A vizsgált rendszert leíró egyenleteknek kovariánsaknak kell lenniük , vagyis a skála tágulásában vagy összehúzódásában kell tartaniuk, amely bármely elemi változót méri. a rendszer dimenzió nélküli változók bármilyen formájú. Példaként említhetjük a mikroszkopikus populációk mérését a termodinamikában, amely az ν frekvenciától és a temperature hőmérséklettől függ a redukált energia h ν / k θ exponenciális függvényén keresztül. Egy ilyen rendszer természetesen kovariáns. Példa erre a fénysugárban való foglalkozások száma .

A kovariancia tulajdonság a következő esetben is megszerezhető: bármely ω függő változó az elemi változók hatványainak szorzata, és a rendszert differenciál operátorok írják le

{\ displaystyle \ omega = T ^ {\ alpha} L ^ {\ beta} M ^ {\ gamma} \ Theta ^ {\ delta} Q ^ {\ epsilon}}

Valóban, ha minden elemi változót megszorzunk egy konstanssal, akkor az ω meg fog szorozni egy konstanssal, az operátor pedig egy változóval szorozva a megfelelő állandóval

{\ displaystyle \ mathbf {d} t ^ {\ alpha} = \ alpha \ mathbf {d} t \ ,, \ quad \ mathbf {d} l ^ {\ beta} = \ beta \ mathbf {d} l \; ...}

A leíró egyenlet formája ezért nem változik, csak a multiplikatív együtthatók lesznek.

A dimenzióanalízis a Vaschy-Buckingham-tételen alapul, amely megállapítja, hogy ha egy fizikai egyenlet n fizikai változót tartalmaz, amelyek k alapegységtől függenek, akkor létezik egy egyenértékű egyenlet, amely az eredeti változókból felépített n - d dimenzió nélküli változókat foglalja magában.

Példa: gömb húzása

Vegyünk egy példát egy r sugarú (L dimenzió) gömbre, amely V sebességgel (LT- 1 méret) mozog egy ρ sűrűségű (ML- 3 dimenzió ) és μ dinamikus viszkozitású (ML- 1 T- 1 dimenzió) összenyomhatatlan folyadékban. ). F húzóerőnek van kitéve (MLT- 2 méret ). A rendszer állapotát ezeknek a mennyiségeknek a kapcsolata adja:

{\ displaystyle f (r, V, \ rho, \ mu, F) = 0}

Előzetesen választottunk azoktól a változóktól, amelyektől F. függ. Második választást úgy végezzük, hogy egy függőséget választunk a hatványok szorzataként. Ezután megvan az identitás:

{\ displaystyle r ^ {\ alpha} V ^ {\ beta} \ rho ^ {\ gamma} \ mu ^ {\ delta} F ^ {\ varepsilon}: = 0}

A dimenziós homogenitás három összefüggést ad L, T és M esetén:

:	${\ displaystyle \ alpha + \ beta -3 \ gamma - \ delta + \ varepsilon = 0}$
t esetében:	${\ displaystyle \ beta + \ delta +2 \ varepsilon = 0}$
nekem :	${\ displaystyle \ gamma + \ delta + \ varepsilon = 0}$

Alkalmazzuk a Vaschy-Buckingham-tételt. 3 egyenletünk van 5 ismeretlenre: a rendszerünkben tehát két fokú szabadság van. A rendszert leíró kifejezés tehát redukálható

{\ displaystyle f (\ Pi _ {1}, \ Pi _ {2}) = 0}

ahol Π 1 és Π 2 két dimenzió nélküli mennyiség.

Az elemzéshez való továbblépéshez az együtthatók közül kettőt kell választani. Ez csak a várt eredmény előrejelzésével valósítható meg. Mi választunk :

Π 1 esetén : δ = 0 és ε = 1, akkor

{\ displaystyle \ Pi _ {1} = {\ frac {F} {\ rho V ^ {2} r ^ {2}}} = {\ frac {\ pi} {2}} C_ {A}}

ahol C A a húzó együttható .

Π 2 esetén : δ = 1 és ε = 0, akkor

{\ displaystyle \ Pi _ {2} = {\ frac {\ mu} {\ rho Vr}} = {\ frac {1} {Re}}}

ahol Re az r-vel képzett Reynolds-szám .

Arra következtetünk, hogy a húzási együtthatót egyszerű törvényként írhatjuk fel C A = f (Re). Emlékeztetünk arra, hogy a Stokes-folyamat számára ezt a kifejezést írják

{\ displaystyle C_ {A} = {\ frac {24} {Re}}}

Ezt a módszert általában a folyadékmechanikában használják, leglátványosabb példa erre Andrei Kolmogorov leírása a turbulens vízesésről .

Önhasonlóság

Bizonyos esetekben lehetséges kiemelni egy dimenzió nélküli számot, amely lehetővé teszi az egyenletek átalakítását oly módon, hogy a megoldások bármelyik pillanatban vagy bármikor egyetlen kifejezésre redukálódjanak.

Triviális példa az a sebességű hanghullám terjedése: a feladat idő-térbeli megoldása csak x / a t-től függ. Általánosságban elmondható, hogy ez a tulajdonság fontos a Riemann-problémában, amely a szuperszonikus áramlás jellemzőinek elméletének alapja, de amely a folyadékmechanikában általánosan használt bizonyos numerikus diagramok alapkomponensét is képezi .

Történelmi példa a turbulencia-skálák Kolmogorov általi kiemelése .

A megoldás másik példáját egy "univerzális" sebességprofil keresése adja meg a határrétegben , ami a Falkner - Skan egyenlethez vezet (en) . Az ilyen számítások manapság kevéssé érdekesek. Akkor végezték őket, amikor a számítási eszközök nagyon korlátozottak voltak, és a kapott eredmények rávilágítottak az érintett fizikai mechanizmusokra.

Ezt a fogalmat olyan kísérleti eredmények értelmezésére is használják, amelyek eredményei bizonyos hasonlóságot mutatnak (a kifejezés köznapi értelmében) közöttük, feltételezve, hogy az eredmény bizonyos változók hatványainak szorzatától függ. Ezt a módszert széles körben alkalmazták a folyadékmechanika különböző területein. Ez a fajta megközelítés azt a veszélyt rejti magában, hogy az eredményt informálatlan felhasználók extrapolálják.

Dimenzió nélküli számok

A dimenzió nélküli számok megszerzése egy olyan mechanizmus alkalmazásán megy keresztül, amely a probléma referenciamennyiségeinek megválasztásából áll, majd a konstitutív egyenletek átírásával ezekkel az új változókkal. Ez az írás a dimenzió nélküli számokat, mint multiplikatív tényezőket tárja fel: ezek a számok keresettek, mivel az új egyenletek megoldása csak tőlük függ. Ez a választás nem egyedülálló.

Példa a tömöríthetetlen közeg Navier-Stokes-egyenleteire

Vizsgáljuk meg a Navier-Stokes-egyenletek esetét egy összenyomhatatlan közeg esetén, amely a következőket tartalmazza:

az összenyomhatatlansági egyenlet

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

lendületmérleg-egyenlet

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ mathbf {V}} {\ részleges t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ balra (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ jobbra) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ nu \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} + \ mathbf {g}}

ahol ν a folyadék kinematikai viszkozitását és g az állandónak feltételezett térfogati külső erőteret , például egy gyorsulási mezőt.

Meghatározzuk:

a kezelt problémára jellemző L * referenciahossz ,
V * referenciasebesség , például a határfeltételből adódóan,
g * referencia-gyorsulás , például gravitáció .

Ezekből az értékekből következtethetünk a redukált változókra:

- tér	${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} = {\ frac {\ mathbf {x}} {L ^ {*}}}}$
- idő	${\ displaystyle {\ tilde {t}} = {\ frac {V ^ {}} {L ^ {}}} \, t}$
- sebesség	${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {V}}} = {\ frac {\ mathbf {V}} {V ^ {*}}}}$
- nyomás	${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ rho {V ^ {*}} ^ {2}}}}$
- gyorsulás	${\ displaystyle {\ tilde {g}} = {\ frac {g} {g ^ {*}}}}$

A rendszer csökkentett változókkal írva:

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ tilde {\ mathbf {V}}}} {\ részleges {\ tilde {t}}}} + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot \ left ({\ tilde {\ mathbf {V}}} {\ tilde {\ mathbf {V}}} \ right) = - \ mathbf {\ nabla} {\ tilde {p}} + {\ frac {1} {Re}} \ nabla _ {\ tilde {x}} ^ {2} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}} + {\ frac {1} {Fr}} {\ tilde {g}}}

${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} = L ^ {*} \ mathbf {\ nabla}}$ az adimensional nabla operátor .

A dimenzió nélküli együtthatók jelennek meg:

- a Froude-szám	${\ displaystyle Fr = {\ frac {{V ^ {}} ^ {2}} {g ^ {} L ^ {*}}}}$
- a Reynolds-szám	${\ displaystyle Re = {\ frac {V ^ {} L ^ {}} {\ nu}}}$

Ne feledje, hogy ez a választás nem egyedi: ha a második egyenletet megszorozzuk Re-vel, akkor függőséget kapunk Re-től és egy új dimenzió nélküli számtól Re / Fr.

Van egy nagyszámú dimenziótlan számok alkalmas ilyen vagy olyan konkrét problémát. Ezek a mennyiségek nem függetlenek.

Ezeket a mennyiségeket laboratóriumi méretű kísérletek elvégzésére használják. Ez sok területen fontos: aerodinamikában, hidrodinamikában vagy a környezeti területen. Ez utóbbi esetben vegyük a fent tárgyalt példát. Ahhoz, hogy a kísérlet teljes mértékben reprezentatív legyen, tiszteletben kell tartani a Reynolds és a Froude számokat. Tehát muszáj

{\ displaystyle {\ frac {g_ {1} L_ {1}} {\ nu _ {1} ^ {2}}} = {\ frac {g_ {2} L_ {2}} {\ nu _ {2} ^ {2}}}}

Ugyanazon folyadék mellett (ν 1 = ν 2 ) jelentős gyorsulást kell alkalmazni a kísérletben. Ez elvégezhető centrifuga használatával , de nehéz végrehajtani ezt a kísérletet.
Ugyanazzal a gyorsítással alacsonyabb viszkozitású folyadékokat, például héliumot kell használni levegőhöz bizonyos aerodinamikai kísérletek során. Nem mindig lehet ilyen folyadékot találni.

Ezért gyakran olyan kísérletekbe szorulunk, amelyek csak részben reprodukálják a jelenségeket.

Lásd is

Hivatkozások

René Moreau, " A határréteg elmélete " , a grenoble-i tudományokról

(en) Brian J. Cantwell, „ Az összenyomható áramlások alapjai ” , Stanford
(en) GK Batchelor , Bevezetés a folyadékdinamikába , Cambridge / New York, Cambridge University Press ,2000, 615 p. ( ISBN 0-521-66396-2 )
(en) Hans G. Hornung, Dimenzióelemzés: Példák a szimmetria használatára , Dover Publications ,2006, 67 p. ( ISBN 0-486-44605-0 , online olvasás )