Szimmetrikus tenzor

A 2. rendű tenzor szimmetrikus, és akkor szimmetrikus, ha a kapcsolódó bilinear forma szimmetrikus . NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathrm {A}}

Tenzor 2-rendű van definiálva képest egy vektortér , lehet választani vektorok a bázist , és a tenzor ezután képviseli mátrix komponensek . A meghatározás egyenértékű az előzővel áll azzal, hogy a mátrix nem szimmetrikus , azaz, hogy: NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathrm {A}} NÁL NÉL{\ displaystyle A}NÁL NÉLénj{\ displaystyle A_ {ij}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

NÁL NÉLénj=NÁL NÉLjén{\ displaystyle A_ {ij} = A_ {ji} \,}bármely i és j indexpárra ,

mert ez a tulajdonság az alap megváltoztatása esetén változatlan marad .

A tenzor szimmetriája csak akkor érdekes tulajdonság, ha összetevői valósak. Számos szimmetrikus 3-dimenziós tenzorok használják fizika , különösen az feszültségtenzor és a törzs tenzor az anyagtudomány és a tehetetlenségi tenzor a szilárd mechanika .

Mértékváltozás

Ha az egyik átmegy az egyik bázissal egy másik , a oszlopmátrix a komponenseket egy vektor helyébe az oszlop mátrix által meghatározott , ahol jelöli a folyosón mátrix . (u→1,u→2,...,u→nem){\ displaystyle ({\ vec {u}} _ {1}, {\ vec {u}} _ {2}, \ ldots, {\ vec {u}} _ {n})}(u→1′,u→2′,...,u→nem′){\ displaystyle ({\ vec {u}} '_ {1}, {\ vec {u}}' _ {2}, \ ldots, {\ vec {u}} '_ {n})} V=[V1,V2,...,Vnem]T{\ displaystyle V = [V_ {1}, V_ {2}, \ ldots, V_ {n}] ^ {\ mathsf {T}}} V→{\ displaystyle \ mathrm {\ vec {V}}}V′=[V1′,V2′,...,Vnem′]T{\ displaystyle V '= [V' _ {1}, V '_ {2}, \ ldots, V' _ {n}] ^ {\ mathsf {T}}}V=P⋅V′{\ displaystyle V = P \ cdot V '}P{\ displaystyle P}

Legyen a tenzorhoz társított bilináris forma  : f{\ displaystyle f}NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathrm {A}}

f(V→,W→)=VT⋅NÁL NÉL⋅W=(P⋅V′)T⋅NÁL NÉL⋅(P⋅W′)=V′T⋅PT⋅NÁL NÉL⋅P⋅W′=V′T⋅NÁL NÉL′⋅W′{\ displaystyle f (\ mathrm {\ vec {V}}, \ mathrm {\ vec {W}}) = V ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A \ cdot W = (P \ cdot V ') ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A \ cdot (P \ cdot W ') = V' ^ {\ mathsf {T}} \ cdot P ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A \ cdot P \ cdot W '= V' ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A '\ cdot W'}

vagy:

NÁL NÉL′=PT⋅NÁL NÉL⋅P{\ displaystyle A '= P ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A \ cdot P}

tehát a mátrix, amely a tenzort képviseli az új bázisban. NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathrm {A}}

Amikor a két bázisok ortonormált , az átmeneti mátrix ortogonális  : . PT=P-1{\ displaystyle P ^ {\ mathsf {T}} = P ^ {- 1}}

Sajátértékek és vektorok

A vektor a tenzor sajátvektora, ha nem nulla és igazolja . A skalárt sajátértéknek (of ) nevezzük . V→{\ displaystyle \ mathrm {\ vec {V}}}NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathrm {A}}NÁL NÉL⋅V→=λV→{\ displaystyle \ mathrm {A} \ cdot \ mathrm {\ vec {V}} = \ lambda \, \ mathrm {\ vec {V}}} λ{\ displaystyle \ lambda}NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathrm {A}}

Ha bázist választottunk, a vektort oszlopmátrix , a tenzort pedig ( négyzet ) mátrix képviseli . Abban az értelemben, mátrix algebra , egy sajátvektora , ugyanazon sajátérték . Ez az eredmény az alaptól függetlenül érvényes. Tudjuk mutatni, hogy a karakterisztikus polinomja a mátrix , ahol jelentése az azonosító mátrix , nem függ a bázis. V→{\ displaystyle \ mathrm {\ vec {V}}}V{\ displaystyle V}NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathrm {A}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}NÁL NÉL{\ displaystyle A}λ{\ displaystyle \ lambda}NÁL NÉL{\ displaystyle A}det(NÁL NÉL-λén){\ displaystyle \ det (A- \ lambda I)}én{\ displaystyle I}

A szimmetrikus tenzorok sajátossága az, hogy:

• a szimmetrikus tenzor összes sajátértéke valós;
• két különálló sajátértéknek megfelelő két sajátvektor merőleges (ortogonális);
• Egy alkothat ortonormális alapján sajátvektorok; ebben az alapban a tenzort egy átlós mátrix képviseli (az átlón a sajátértékek vannak).

Változatok

A tenzor sajátértékei a koordinátarendszer változásával változatlanok, de amit invariánsoknak hívunk, azok a sajátértékek függvényei, amelyek nem függenek az osztályozásuktól (amelyek nem változnak, ha két sajátértéket invertálnak), és amelyek szintén (viszonylag) a tenzort képviselő mátrix együtthatóinak egyszerű függvényei (egy adott koordinátarendszerben).

Több választás lehetséges, de a leggyakoribb az, hogy a koefficiensek a karakterisztikus polinomja . det(NÁL NÉL-λén){\ displaystyle \ det (A- \ lambda I)}

Megjegyzések és hivatkozások

1. A tulajdonság függetlenségének bemutatásához a referenciaértékekkel szemben elegendő az alapváltozási képletet használni (következő szakasz): ezért . Ha igen .NÁL NÉL′=PT⋅NÁL NÉL⋅P{\ displaystyle A '= P ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A \ cdot P}NÁL NÉL′T=PT⋅NÁL NÉLT⋅P{\ displaystyle A '^ {\ mathsf {T}} = P ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A ^ {\ mathsf {T}} \ cdot P}NÁL NÉLT=NÁL NÉL{\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} = A}NÁL NÉL′T=NÁL NÉL′{\ displaystyle A '^ {\ mathsf {T}} = A'}
2. A megfelelő koncepciója tenzorokra a komplex összetevők , hogy a Hermite-tenzor , azaz tenzor olyan, hogy , és amelyek konjugált komplexek .NÁL NÉLénj{\ displaystyle A_ {ij}}NÁL NÉLjén{\ displaystyle A_ {ji}}
3. egy polinomiális a változó , amelynek gyökerei a sajátértékek.det(NÁL NÉL-λén){\ displaystyle \ det (A- \ lambda I)}λ{\ displaystyle \ lambda}

Lásd is

• Antiszimmetrikus tenzor

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">