Artin-Wedderburn tétel

A matematikában és különösen az algebrában az Artin-Wedderburn tétel az algebra vagy félig egyszerű gyűrű felépítésével foglalkozik .

Ez megfelel a félig egyszerű struktúrák alapvető tételének, és lehetővé teszi a természetük pontos megmagyarázatát. Ezek megfelelnek a test moduljainak algebrai termékeinek endomorfizmusainak , amelyek nem feltétlenül kommutatívak .

Joseph Wedderburn 1907- ben először kommutatív területen mutatta be algebrákkal, majd Emil Artin a gyűrűkön általánosította, hogy 1927-ben megtalálja a végleges formáját.

Ez a tétel számos elmélet középpontjában áll, idézhetjük a véges csoport reprezentációit vagy sem, a gyűrűk elméletét, ahol lehetővé teszi például nem kommutatív mezők felépítését, és általában a félig egyszerű struktúrákét is.

Nyilatkozatok

Ez a tétel története során több változatot is ismert, itt van a három fő:

Az első verzió megfelel Burnside tételének , csak egy egyszerű algebra esetével foglalkozik:

Ha E egy véges dimenziós vektortér, akkor az L K ( E ) algebra egyszerű.

Ez a második tétel a jelenlegi értelemben megegyezik Wedderburn tételével , algebrákkal foglalkozik egy kommutatív mező felett:

A K mező fölé egy félig egyszerű algebra izomorf a K testen lévő termék endomorfizmus algebra számára .

A harmadik változat gyűrű formájában van kifejezve , és most Artin-Wedderburn tétel nevét viseli :

Az olyan félig egyszerű gyűrű, amelynek bármely egyszerű ideálja véges dimenzióval rendelkezik az endomorfizmus mezőjében, izomorf a modulus endomorfizmus algebrasainak a priori elkülönülő és bal oldali mezőkön kapott termékével .

A szóban forgó testek itt a priori bal testek, vagyis nem kommutatívak.

A félig egyszerű algebrákról szóló cikk azt mutatja, hogy Artin verziója azonnal általánosít algebrákra.

Tüntetések

Definíciók

Ebben a szakaszban a következő jelöléseket használják: K kommutatív mezőt jelöl, L egy algebra a K felett és E egy vektor tér K felett . A tétel kifejezésére több meghatározást használnak.

A modulok a gyűrű nem a koncepció méretének , amelyek a vektorterek . Helyébe a következő meghatározás lép:

A hossza modul M a felső kötött a készlet egész számok n úgy, hogy létezik egy szigorúan növekvő szekvencia N + 1 almodulokkal M .
Az almodulról azt mondják, hogy közvetlen tényező, ha további modult enged be .
A modul azt mondják, hogy félig egyszerű esetleges részmoduinak közvetlen tényező.

Szerkezete akkor ismert:

Bármely félegyszerű modulus az izotípus komponenseinek közvetlen összege . ${\ displaystyle L \ simeq \ bigoplus _ {i} S_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}$ Itt, ( S i ) jelöli a maximális család nem izomorf két-by-két almodult és α i a másolatok számát a S i annak izotipikus komponens.

A következő meghatározásokkal:

Azt mondják, hogy egy modul egyszerű, ha nem tartalmaz más részmodulokat, csak önmagát és a null modult.
A izotipikus komponense egy részmodul S az M jelentése a részmodul által generált összes almodult M izomorf az S .

Az L algebra az L gyűrű modulusa is . Mivel az L jobbra és balra működik a modulon, az almodul kétoldalú ideál . Itt feltételezzük, hogy L egy félig egyszerű algebra , amely megfelel a következő meghatározásnak:

Egy L algebra azt mondják, hogy félig egyszerű, ha L jelentése egy félig egyszerű L -module.

A bizonyításokra vonatkozó teljes bekezdésben az izotípus komponenseket S i α i , n és D i számukkal a K - asszociatív algebra jelöli, amelynek osztása ellentétes az egyszerű L modul S i endomorfizmusaival .

Burnside demonstráció

Ha E egy véges dimenziós vektortér n , akkor a algebra L K ( E ) egyszerű.

Legyen f nem nulla endomorfizmus. Mutassuk meg, hogy az f- et tartalmazó legkisebb kétfarkú ideál az egész algebra. f hogy nem nulla, van olyan e 1 a E nem tartozó kernel F . Megjegyzés rendelkezik a képet E 1 által f . Komplement e 1 egy bázis ( e i ) az E . Minden i és j változó 1-től N , mi jelöljük p j a nulla lineáris térképen alapján kivéve e j , amely e egy 1. képet , és hagyja, hogy a Q i lehet lineáris térképét úgy, hogy a kép egy van egyenlő e i-vel . Ekkor a q i ∘ f ∘ p j család beletartozik az f által generált ideálba . Sőt, ez a család L ( E ) -et generál , ami véget vet a bizonyításnak.

Ez a bemutatás kiterjed a bal testen lévő modulok esetére is. Ez az eset azért fontos, mert félig egyszerű algebrák esetében megalapozza az Artin-Wedderburn-tétel fordítottját.

Artin bemutató

Wedderburn tétele egyértelműen Artin sajátos esete.

Ha L félig egyszerű, és ha S i izotipikus komponense véges dimenziójú α i az S i endomorfizmusainak D i op mezője felett , akkor ez az összetevő izomorf az α i méretű négyzetmátrixok együtthatójú algebra felé. a D i :

{\ displaystyle {\ text {si}} \ quad L \ simeq \ bigoplus _ {i} S_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ quad {\ text {és}} \ quad D_ {i} = {\ rm {End}} _ {L} (S_ {i}) ^ {\ rm {op}} \ quad {\ text {then}} \ quad S_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ simeq {\ rm {M}} _ {\ alpha _ {i}} (D_ {i})}

Bizonyítsunk először két lemmát:

Az L endomorfizmusainak algebra az izotípus komponensek endomorfizmus algebráinak közvetlen összegére redukálódik. ${\ displaystyle {\ rm {End}} _ {L} (L) = \ bigoplus _ {i} {\ rm {End}} _ {L} (S_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}) }$ .Valójában Schur lemma biztosítja a morfizmus semmissé tételét két egyszerű, nem izomorf modul között.
Az S i α i endomorfizmusainak algebra ellentéte izomorf a D i együtthatójú α i négyzetmátrixok algebrájával . ${\ displaystyle {\ rm {End}} _ {L} (S_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}) ^ {\ rm {op}} \ simeq {\ rm {M}} _ {\ alfa _ {i}} (D_ {i})}$ Valójában az S i α i endomorfizmusainak algebra izomorf az α i méretű négyzetmátrixokéval, amelynek együtthatói L L ( S i ) = D i op .

Összefoglalva, csak használja a közötti izomorfizmus az ellenkező algebra L és az L -endomorphismes az L .

Hivatkozások

(en) J. Wedderburn " hiperkomplex számok " , Proc. London Math. Soc. , vol. s2-6, n o 1,1908, P. 77–118 ( DOI 10.1112 / plms / s2–6.1.77 ).
(De) E. Artin, " Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen " , Abh. Math. Hét Univ. Hamburg , vol. 5, n o 1,1927, P. 251–260 ( DOI 10.1007 / BF02952526 ).

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

H * -algebra (/)
Mutató Frobenius-Schur (en)

Külső linkek

Az egyszerű algebrák elmélete J.-P. Serre, Henri Cartan szeminárium
Kommutatív algebra A. Chambert-Loir
(en) Véges csoportábrázolás a tiszta matematikus Peter Webb számára
Félig egyszerű algebrák elmélete P. Cartier, Sophus Lie Seminar
A mátrixalgebrák egyes alkalmazásai a nem kommutatív mezők elméletéhez Erwan Biland
(hu) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , „A fejlesztés Ring Theory” , a MacTutor History of Mathematics archív , University of St Andrews ( olvasható online ).

Művek

N. Bourbaki , Commutative Algebra , Masson, 1983, fejezet. VIII. És IX
(en) Artin Nesbitt Thrall, Minimális kondíciójú gyűrűk , Ann Arbor, Univ. of Michigan Press, 1948
(en) S. Lang és JT Tate (szerk.), E. Artin, Emil Artin összegyűjtött írásai , Reading, Massachusetts, London, 1965
(en) P. Webb, S. Priddy és J. Carlson, csoportképviseletek, kohomológia, csoportos tevékenységek és topológia , Univ. Wisconsin, Madison, 1998