A matematika és különösen a algebra , egy gyűrű egy azt mondják, hogy félig egyszerű , ha A , tekinthető A -module , jelentése félig egyszerű , azaz közvetlen összege az A -modules amelyek nem ismerik más almodult mint {0} és maga. Az izomorfizmusig a mezőkön lévő négyzetmátrixú gyűrűk termékgyűrűi, akár kommutatívak, akár nem.
Ez a fogalom jelen van sok ágak matematika: idézhetjük lineáris algebra , számtan , az elmélet ábrázolása egy véges csoport, amely a Lie-csoportok , vagy hogy a Lie algebrák . Például a kölcsönösség Frobenius- kritériumának bemutatására használják .
Az elmélet a félig egyszerű algebrák alapul Schur-lemma és a Wedderburn-Artin-tétel .
Legyen A gyűrű, M pedig A modul.
Azt mondjuk, hogy egy gyűrű egy olyan félig egyszerű , ha figyelembe A mint egy -module (balra vagy jobbra), A félig egyszerű. Azt mondjuk, hogy egy (asszociatív egységes) algebra egy kommutatív mező félig egyszerű , ha az annak alapjául szolgáló gyűrű félig egyszerű.
Mivel tekintve egy , mint egy A -module a almodulokat az A az ideálok balra egy , ez felel mondani, hogy:
Íme néhány példa a félig egyszerű gyűrűkre.
Tétel. Legyen A gyűrű. Ezzel egyenértékű azt mondani, hogy:
A félegyszerűség fogalma egy gyűrű esetében szerzőnként nagyon eltérő, és nem mindegyik egyenértékű, de a leggyakoribb ekvivalens, ha artini (és egységes) gyűrűket feltételezünk. Néhány szerző számára a félig egyszerű gyűrűket nevezzük félprimitív gyűrűknek. Más szerzők számára a félig egyszerű gyűrűk olyan gyűrűk, amelyeket közvetlen ( egyszerű) gyűrűkből állítanak elő . Vannak olyan fogalmak is, amelyek a „nem egységes” gyűrűkre vonatkoznak.
Elválasztható algebrákLegyen K mező és A félig egyszerű algebrai dimenzió K felett . Ha K egy tökéletes mezőt (például, ha a jellemző K nulla, vagy ha a K algebrailag zárt, vagy ha K véges), akkor, bármilyen kommutatív overbody L , a L -algebra L ⊗ K A levezetett A a skalárok K- ről L- re történő kiterjesztésével félegyszerű . Másrészt, ha a K önkényes, nem lehet a helyzet, akkor, ha ez a helyzet, azt mondjuk, hogy egy olyan elkülöníthető . Tehát, ha K tökéletes, akkor A elválasztható.
Legyen A félig egyszerű gyűrű.
Ezután a beállított minimális két-farkú ideálok a A (a minimális elemeket, a befogadás kapcsolatban, a készlet két-farkú ideálok az A ) véges. Let I 1 , ..., I p lenni ezek minimális kétoldalú eszméket. Az indukált szorzáshoz az I k mindegyike egyszerű artinikus gyűrű (ezért egységes). Van egy egyedülálló homomorfizmus csoportjainak I 1 × ... × I o az A , amely meghosszabbítja a kanonikus injekciók I k a A , és ez egy gyűrűt izomorfizmus.
Tehát a gyűrű egy izomorf a gyűrű által termelt véges számú egyszerű artinian gyűrűk, és az írás egy a termék a gyűrűk egyedi, le a sorrendben a tényezők. Ezek a tényezők a minimális kétoldali eszmék, és az A egyszerű komponenseinek nevezik őket .
Ahhoz, hogy a gyűrű félegyszerű legyen, szükséges és elegendő, hogy izomorf legyen a véges számú egyszerű artinikus gyűrű által előállított gyűrűvel.
A félig egyszerű gyűrű közepe izomorf az egyszerű összetevőinek középpontjainak gyűrűtermékével szemben, a központ pedig izomorf a véges számú kommutatív test gyűrűtermékével szemben. Valójában a kommutatív félegyszerű gyűrűk nem mások, mint azok a gyűrűk, amelyek izomorfak a kommutatív mezők véges családjának termékével.
Mivel minden félegyszerű gyűrűt egyedi módon, véges számú egyszerű Artinian gyűrű szorzataként írunk (a tényezők sorrendjében), a félegyszerű gyűrűk osztályozásának osztályozása az egyszerű artiniens gyűrűk osztályozására csökken. Az egyszerű artinikus gyűrűk azonban pontosan azok, amelyek az izomorfizmus kivételével M n ( D ) alakúak (négyzetmátrix gyűrű), ahol n > 0 és D mező. Ezért kijelenthetjük:
Artin-Wedderburn tétel . Legyen A gyűrű. Ezzel egyenértékű azt mondani, hogy:
Ebben a részben K-val jelöljük a kommutatív mezőt.
Let A lennie egy félig egyszerű K -algebra véges dimenzióban. Ekkor az A (lásd fentebb) A 1 , ..., A p mindegyik egyszerű összetevője véges méretű egyszerű K -algebra , majd A izomorf, mint K -algebra, A 1 × ... × A izomorf . o . Így a félegyszerű K -algebrák nem mások, mint az izomorfizmusig, véges számú egyszerű, véges méretű K -algebra termékei .
Ha A formája M n 1 ( D 1 ) × ... × M n p ( D p ), vagy A = = D 1 vége ( E 1 ) × ... × vége D p ( E p ), akkor K a D i középpontjainak egy részterülete , akkor a D i K fölötti méretei végesek. Ezzel szemben bármely véges dimenziójú félegyszerű K -algebra ilyen alakú.
Ha K egy algebrai lezárt területen , akkor A jelentése, akár izomorfizmus, az űrlap M n 1 ( K ) × ... × M n p ( K ). Ezen túlmenően a közepén egy izomorf K o .
Legyen A = A 1 × ... × A p egy félig egyszerű gyűrű, amely bomlik (egyedi módon, a tényezők sorrendjéig) egyszerű artini gyűrűk szorzatává. Ekkor léteznek egyszerű A- modulok izomorf p osztályai . Ha M egy egyszerű A -module, létezik egy egyedülálló 1 ≤ k ≤ p oly módon, hogy egy k M ≠ {0}, majd, úgy, mint A k -module, M egy egyszerű A k -module.
Feltételezzük, hogy A = End D 1 ( E 1 ) × ... × End D p ( E p ), ahol a D i mezők és az E i vektorterek nem nulla véges dimenziók a D i felett (ez az izomorfizmuson kívül nem az általánosság elvesztése). Ekkor mindegyik E i egy A- modul a külső törvényhez (( f 1 , ..., f p ), x i ) f i ( x i ), és ezeknél a külső törvényeknél az E i az, az izomorfizmusok bezárásakor az egyetlen A- egyszerű modul.
A tétele Maschke vonatkozik reprezentációi véges csoportjából , de újraértelmezett szempontjából félig egyszerűség a csoport, gyűrű :
Maschke tétele. A véges G csoport K [ G ] algebra egy olyan kommutatív K mező felett, amelynek jellemzője nem osztja fel a G sorrendjét , félig egyszerű gyűrű.
Mivel az egyszerű K [ G ] modulok lényegében a G redukálhatatlan ábrázolásai , és hogy az utóbbiak ( véges G esetében ) egyenértékűek a szabályos ábrázolás részreprezentációival, az izomorfizmus kivételével csak véges szám van és mind véges dimenziós.
Az algebra fogalmának tanulmányozásának története kezdetben szorosan kapcsolódik a lineáris algebra és a csoportelmélet kapcsolatához . James Sylvester és Arthur Cayley 1850-ben fejlesztették ki a mátrix koncepcióját . Ez a koncepció számos szolgáltatást nyújt, amelyek közül az egyik a koncepció eredetét képezi. Lehetővé teszi a csoportok, és különösen a Galois-csoportok inkarnációját, és új tengely - egy mátrixcsoport - tanulmányozását. Eredetileg csak a véges esetben vizsgálták az látható, egy új struktúra, amely most úgy, hogy a algebra a endomorfizmusok által generált automorphisms a csoport.
Camille Jordan , a Cayley-vel foglalkozó korszak nagy szakembere széles körben használja. A 1869 , ő megengedte neki, hogy bizonyítani, hogy létezik egy készítmény lánc véges csoportok néven Jordan-tulajdonos tétel . Egy ilyen lánc egyediségét Hölder Ottó mutatja be húsz évvel később. Ennek a tételnek két lehetséges olvasata van, az egyik véges csoportokra, a másik a modulokra. A második olvasat lényeges szerkezeti tulajdonságnak felel meg, ez az egyik oka annak, hogy mi lesz a matematika egyik ága, a kommutatív algebra . A Galois-csoport elemzése perspektívákat kínál a lineáris algebrában is. Ez arra készteti Jordániát, hogy véges dimenziós endomorfizmusokat tanulmányozzon ezen algebra révén, és lehetővé teszi szerkezetük mély és végleges megértését. Ezt az eredményt egy szintéziskönyvben tették közzé 1870-ben . Jordán redukciója néven ismert, és véges prímmezőkön alkalmazzák , vagyis egész számok mezőin modulo a prímszám.
Jordan munkájának következményei jelentősek, szintéziskönyve referenciává válik a csoportok, Galois és a lineáris algebra elméleteire. Egyrészt azt bizonyítja, hogy a csoportok elemzése a lineáris csoporton keresztül eredményes folyamat, másrészt azt, hogy az algebra felépítése órákban gazdag mind modul, mind lineáris algebra szempontjából.
A csoportok megértésének keresése a matematika egyik fő tárgyává válik. Saját struktúrájuk megértése kulcsfontosságú számos témában. A Galois-elmélet az algebrai egyenlet és a többféle következmény problémájának középpontjában álló négyzet, a testszerkezetek elemzése azonosítható ebben az időben a Galois-elmélettel és sok gyűrű megértésével, a hasznos aritmetikai s 'ezen az elméleten alapul. A geometria gyorsan már nem kivétel. 1870-ben két matematikus, Felix Klein és Sophus Lie járt Jordániában Párizsban . Különösen érdekli őket az egyik éves publikációja, amely a geometria elemzését végzi szimmetriacsoport felhasználásával. Sophus Lie a folyamatos csoportok elméletét dolgozza fel, Klein pedig híres programjában csoportokba sorolja a geometriákat. Elveszítik lényegében véges jellegüket.
Georg Frobenius a Richard Dedekinddel folytatott levelezést követõen a véges csoportok iránt érdeklõdik, különösen a mátrix-reprezentáció faktorizációjának fogalma, amelyet a csoport idõpontjában meghatározónak neveztek, és mostanra használhatatlanná vált. Ezek a betűk származnak a csoportábrázolások elméletéből . Az 1897 -ben ragadta meg a közelség között ábrázolás - azaz, egy csoport, hogy működik lineárisan vektortérnek - és a modulus, ahol egy gyűrű működik helyet. Az ugrás átlépve, a csoport linearizálva modulokká válik. A csoport moduljaival megegyező felépítésű modulokkal kapcsolatos bármilyen előrelépés a reprezentáció elméletének, tehát a csoportok elméletének előrehaladásának függvénye.
Heinrich Maschke , a Klein tanítványa mutatja be elsőként a nevét viselő tételt , amely meghatározza az ilyen típusú modulok strukturáló elemét, ez félig egyszerű . Erős analógiák vannak az euklideszi gyűrűkkel, mint az egész számok . Ezek egyszerű modulok sorozatára bomlanak, amelyek némileg megfelelnek a prímszámoknak, azzal a különbséggel, hogy csak véges szám van.
Egy struktúra egyre központibbnek tűnik, a félig egyszerű algebraé . A reprezentációk esetében ez megfelel annak, hogy a csoport lineáris kiterjesztését már nem egyetlen vektortéren, hanem önmagán működtetjük. A matematika egyéb ágai természetesen e fogalom használatához vezetnek. Egy Galois-kiterjesztés hasonló felépítésű, és a testek elmélete feltételezi ezen objektumok tanulmányozását. Végül a Lie által kifejlesztett folytonos csoportok mindegyik pontjában van egy tangens tér , amely félig egyszerű algebra- szerkezettel van felszerelve . A XX . Század hajnalán ez különféle látószögű matematikussá válik, aki tanulmányozza a koncepciót. A modulus bontási tétel azért érvényes, mert egy algebra modulus szerkezettel is rendelkezik.
William Burnside gyorsan felfogta Frobenius megközelítésének hatókörét. A lineáris csoport alapjául szolgáló algebra-szerkezet fontossága nem vész el tőle. 1897-ben, a véges csoportokról szóló kézikönyvének első kiadásában hozta létre az első eredményt. Abban az esetben, ha a mező algebrailag zárt, a véges dimenziós vektortér endomorfizmusainak halmaza egyszerű algebra. Ezután elmagyarázzák az elemi téglák példáját.
Leonard Dickson írta 1896 doktori disszertáció mintegy Galois csoportok, mint a lineáris csoportok bármely véges mező, így általánosítva Jordan eredményeket. Megmutatja, hogy minden kommutatív véges mező egy prím mező Galois-kiterjesztése . Európában 1901- ben jelent meg . Az alapszerkezet egy félig egyszerű algebra. Ha a Galois-megközelítés csak a kommutatív mezők tanulmányozását teszi lehetővé, a félegyszerű algebrák lehetővé teszik a bal (azaz nem kommutatív) mezőkét is, Dickson kidolgozza a mezők általános elméletét, és számos példát talál a bal mezőkre. Ettől az időponttól kezdődik a két elmélet: Galois és a testek szétválasztása.
Élie Cartant a Lie algebrák érdekelték tézisében, amelyet 1894- ben védett meg . A komplexek egyszerű és félig egyszerű algebráinak összes szerkezetével ott foglalkozunk. A Joseph Wedderburn , tanul az általános szerkezet ezen algebrák. Cartan elmagyarázza a félig egyszerű algebrák szerkezetét a komplex számok esetében. A 1907 Wedderburn publikálta talán leghíresebb cikket. Cartan algebrai eredményeit általánosítja bármely olyan területen, amelyet akkor hiperkomplex számoknak hívtak . Ez az általánosítás azért fontos, mert a fent idézett alkalmazások összes példája bal oldali mezőket használ.
Wedderburn tétele módosítja a helyzetet, léteznek természetes mezők minden egyszerű algebrához, még akkor is, ha ezek a mezők eleve nem kommutatívak. A tételt tehát gyűrűként kell kifejezni. Ha Wedderburn nem teszi ezt meg, 1908- ban mégis javaslatot tett egy osztályozásra, amely egyrészt a gyűrűs gyűrűket, másrészt a félegyszerűt tartalmazza. Ez a bomlás válik a gyűrűk elméletének alapjául a következő fél évszázadra.
Az ezen a területen végzett kutatás vezető alakja Emmy Noether . Gyakran a modern gyűrűelmélet anyjának tekintik. Kidolgozta a nem kommutatív gyűrűk elméletét és megalapozta az ideálok általános elméletét. Kidolgozzák az egyszerű algebrának megfelelő irreducibilis ideál fogalmát, valamint a gyűrűk elméletét, amelynek minden szigorúan növekvő eszménylánca véges. Ezeket a gyűrűket most a tiszteletére nevezték el.
Emil Artin különösen egy olyan esetet tanulmányoz, amelynek tanulmányát Noether kezdeményezi, amelynek gyűrűi végesek. A véges hosszúságú, félig egyszerű gyűrű Artinian és Noetherian egyaránt. A 1927 , Artin talált a végleges formáját a tétel. Lineáris formalizmusa nélkül a tétel kihasználja a maximális hatókört, a nem kommutatív algebra fontos eredményévé válik. A gyűrűk nagy osztálya izomorf a tetszőleges mezőkön keresztüli asszociatív algebrák szorzatával.
Ha a tétel végleges, akkor az egyik attribútum nyitva marad. Az Artinianuson és Noetherianuson kívül melyik gyűrűosztály felel meg a tételnek? Egy első elemet, a válasz, amelyet a Hopkins-Levitzki tétel (a) a 1939 : Charles Hopkins és Jacob Levitzki azt mutatják, hogy csak a feltétel a leszálló lánc szükséges. Az igazi áttörés azonban Nathan Jacobson munkája , aki megtalálja az állapotot. A radikális fogalomra vonatkozik, amely ma már elengedhetetlen a félig egyszerű gyűrűk tanulmányozásához.