Descartes-Euler-tétel

A matematika , pontosabban a geometria a térben , a Descartes-Euler-tétel , vagy Euler kapcsolatban kimondja, egy matematikai képlet egy poliéder a nemzetség 0 , azaz ösztönösen poliéder deformálódó egy gömb . Összeköti a számot a csúcsok száma, az élek és a szám az arcok a következő módon: s{\ displaystyle s}nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}

s-nál nél+f=2{\ displaystyle s-a + f = 2}

Történelem

A tétel formuláztuk Leonhard Euler a 1752 . Úgy tűnik azonban, hogy Descartes analóg viszonyt bizonyított egy soha nem publikált értekezésben. Ez az oka annak, hogy ennek a kapcsolatnak ez a kettős neve van. A mennyiséget Euler jellegzetességének nevezzük . A Descartes-Euler-tétel kimondja, hogy a 0 nemzetség konvex poliéderéért 2-et ér. s-nál nél+f{\ displaystyle s-a + f}

Példák

Folytathatja az öt platoni szilárd anyag tulajdonságainak igazolását  :

Vezetéknév	Kép	s (csúcsok száma)	a (élek száma)	f (arcok száma)	s - a + f (Euler-jellemző)
Tetraéder		4	6.	4	2
Hexahedron vagy kocka		8.	12.	6.	2
Oktaéder		6.	12.	8.	2
Rendszeres dodekaéder		20	30	12.	2
Icosahedron		12.	30	20	2

Bármely konvex poliéder található nemzetség 0 , és ezért a Euler kapcsolatban ellenőrzik.

Ellenpéldák

Ha a poliéderek nem a 0 nemhez tartoznak, akkor nem alkalmazhatjuk a Descartes-Euler-tételt. Itt vannak ellenpéldák, ahol az s - a + f Euler karakterisztika eltér 2-től:

Vezetéknév	Kép	s (csúcsok száma)	a (élek száma)	f (arcok száma)	s - a + f (Euler-jellemző)
Tetrahemihexahedron		6.	12.	7	1
Octahemioctahedron		12.	24.	12.	0
Cubohemioctahedron		12.	24.	10.	−2

Demonstráció

Az itt bemutatott demonstrációt Cauchy adta 1811-ben .

Legyen a 0 nemzetség sokszöge, ezt megpróbáljuk bizonyítani ebben. Leveszünk egy arcot a poliéderünkről. Ennek a hiányzó arcnak az oldalaival kifelé haladva az ember deformálja a sokszöget lapítással, majd egy sík gráfot kap, amelynek csomópontjai a csúcsok, az ívek pedig a deformált élek. A csúcsok, élek és arcok száma nem változott a kiinduló poliéderhez képest (figyelembe véve, hogy grafikonunk teljes külseje az eltávolított arcot ábrázolja). f-nál nél+s=2{\ displaystyle f-a + s = 2 \,}

Most, valahányszor háromnál több oldallal rendelkező arcot látunk, átlót rajzolunk (vagyis egy szegmenst, amely két, közvetlenül nem összekötött csúcsot egyesít). Ez a művelet hozzáad egy arcot és egy élt a gráfunkhoz, és nem változtatja meg a csúcsok számát, így a kifejezés változatlan marad. Addig ismételjük ezt a műveletet, amíg csak háromszög alakú arcunk nem lesz. f-nál nél+s{\ displaystyle f-a + s \,}

Ebben a szakaszban a következő két műveletet ismételjük meg:

1. Egyenként eltávolítjuk azokat a háromszögeket, amelyeknek csak egy oldala van a grafikonunk külső határainál. Minden törlésnél egy él és egy arc eltávolításra kerül (nincs változás a csúcsokon). Tehát ez megtartja a kifejezést .f-nál nél+s{\ displaystyle f-a + s \,}
2. Egyenként eltávolítjuk azokat a háromszögeket, amelyeknek két éle van a grafikonunk külső határain. Minden törléssel eltávolítunk egy csúcsot, két élt és egy arcot. Tehát ez ismét megtartja a kifejezést .f-nál nél+s{\ displaystyle f-a + s \,}

Az előző két lépés egymás után történő megismétlésével már csak egy háromszög maradt. Önmagában ennek a háromszögnek két arca van (a háromszög belseje és külseje), három él és három csúcsa. Így , és így egyenlő 2 Ez a kifejezés egyenlő az expressziós eredeti, mert minden egyes lépés tartjuk egyenlő ezt a kifejezést. Arra a következtetésre jutunk, hogy a kiinduló sokszögünk kielégítette a kifejezést . A kapcsolat tehát bizonyított. f=2{\ displaystyle f = 2}nál nél=3{\ displaystyle a = 3}s=3{\ displaystyle s = 3}f-nál nél+s{\ displaystyle f-a + s \,}f-nál nél+s{\ displaystyle f-a + s \,}f-nál nél+s=2{\ displaystyle f-a + s = 2 \,}

Összekapcsolás a gömb burkolataival

Csökkenthetjük ezt az összefüggést a gömb tessellációs tulajdonságával , a következő képalkotó technikával

• helyezzen fényforrást a poliéder G súlypontjába
• tekintsünk egy G középpontú és kellően nagy sugarú gömböt , és úgy tekintsük, mint egy képernyőt, amelyre a sokszög széleinek árnyéka vetül.

Ez a művelet valójában központi vetület . Ezután a gömbön „csúcsokat”, képeket kapunk a sokszög csúcsairól, „éleket”, amelyek nagy körök ívei, és a gömbök olyan részeit, amelyeket az élek határolnak, amelyek „  gömbös sokszögek  ”. Ezt a konfigurációt gömb alakú poliédernek minősíthetjük .

Az is látható, hogy egy ilyen burkolás esetén a képletet ellenőrizzük. Az egyik lehetséges módszer a gömb alakú háromszögek tulajdonságainak felhasználása . f-nál nél+s=2{\ displaystyle f-a + s = 2 \,}

Alkalmazások

• Egy gömböt csak hatszögekkel lehet lefedni , még nem szabályosakkal is, hogy geódot alkossanak , mert egy ilyen burkolat nem tartaná tiszteletben Euler viszonyát. Valójában egy sokszögben, amelynek csak hatszögletű felülete van, minden csúcsa közös 3 oldalnak, minden éle pedig 2 oldalnak. Mivel bármely hatszögnek 6 oldala és 6 csúcsa van, ezért egy ilyen sokszögnek több csúcsnak kell lennie , mint arcnak, és több élnek, mint arcnak. Tehát, ha f az arcok számát, az élek számát egy legyen legalább 3 f és a csúcsok számát s legyen 2 f . Ezután:6.3{\ displaystyle {\ frac {6} {3}}}6.2{\ displaystyle {\ frac {6} {2}}}

f-nál nél+s=f-3f+2f=0{\ displaystyle f-a + s = f-3f + 2f = 0 \,}

és az Euler-relációt nem ellenőrzik.

Másrészt cseréljünk le néhány hatszöget ennek a lehetetlen átfedésnek ötszögekkel . Ha az arcok száma nem változik, akkor az élek és csúcsok száma csökken: minden egyes hozzáadott ötszög számára (6 - 5) ÷ 2 él van, vagyis féléllel kevesebb és (6 - 5) ÷ 3 csúcsok, vagyis a csúcs harmada kevesebb;     ezért minden egyes alkalommal növekszik a különbséggel, vagyis egy hatoddal. Euler viszonyának tiszteletben tartásához elengedhetetlen, hogy     kezdetben a 0-nál 2-vel egyenlővé váljon, ezért 12 ÷ 6-tal növekedjen. Röviden: 12 hatszöget annyi ötszöggel kell helyettesíteni. Az s csúcsok száma ekkor 2 f - 4, az a éleké pedig 3 f - 6. Így találkozunk a csonka ikozaéderrel (futball-labda vagy fullerén ). Szélsőséges eset a szabályos dodekaéder ( f = 12), ahol már nincs hatszög. Az alábbi ábrán (ahol f = 344 arc) a tizenkét ötszögből négy látható. s-nál nél+f{\ displaystyle s-a + f}s-nál nél+f{\ displaystyle s-a + f} VS60{\ displaystyle C_ {60}}

Descartes-verzió

Descartes publikálatlan tézisében a következő tételt állapítja meg  :

"Az egységre vett derékszöget egy konvex poliéder minden oldalának szöge összege megegyezik a csúcsok számának négyszeresével, 2-gyel csökkentve."

A tétel szempontja nagyon távolinak tűnik Euler viszonyától. Ez azonban szigorúan megegyezik vele, és Descartes az általa készített alkalmazásokban ebből a formából egészen természetesen Euleré válik.

Az egyenértékűség igazolása  :

Egy konvex sokszög szögösszegének tulajdonságát kell használnunk: ha a konvex sokszögnek vannak oldalai, akkor a szögek összege megegyezik a derékszöggel .2(nem-2){\ displaystyle 2 (n-2)} Az összes oldal összes szögeinek összege tehát helyes (sőt, az egyes oldalak oldalainak számának összege az élek kétszeresét adja meg).4nál nél-4f{\ displaystyle 4a-4f \,} Descartes egyenlősége tehát meg van írva 4nál nél-4f=4(s-2),{\ displaystyle 4a-4f = 4 (s-2),} más szavakkal s-nál nél+f=2.{\ displaystyle s-a + f = 2.}

Általánosítások

Henri Poincaré 1893-ban kimutatta, hogy Euler kapcsolata általánosított bármely n - konvex politopra :

NEM0-NEM1+NEM2-NEM3+...+(-1)nem-1NEMnem-1=1-(-1)nem{\ displaystyle N_ {0} -N_ {1} + N_ {2} -N_ {3} + ... + (- 1) ^ {n-1} N_ {n-1} = 1 - (- 1) ^ {n}}

ahol n a polip dimenziója és k száma - az n -politóp egyszerűsítései ( a csúcsok száma, az élek száma, az arcok száma stb.). NEMk{\ displaystyle N_ {k}}NEM0{\ displaystyle N_ {0}}NEM1{\ displaystyle N_ {1}}NEM2{\ displaystyle N_ {2}}

A mennyiség , ha a 0 nemzetségű poliéderek esetében 2-t ér, a poliéder jellegétől függően más értékeket is felvehet, és a szilárd anyagra jellemző Euler (vagy Euler-Poincaré) nevet viseli. Ez a jellemző egy olyan szám, amelyet természetesen fel lehet erősíteni a felületekre . Például a gömbhöz 2. Ez egy topológiai invariáns , vagyis minden , a gömbhöz homeomorf fajtának ugyanaz a jellemzője. A konvexitás végső soron csak egy sajátos hipotézis, amely biztosítja, hogy valóban létezzen ilyen homeomorfizmus. s-nál nél+f{\ displaystyle s-a + f \,}

Elmélkedés ennek a tételnek a fejlődéséről

Ez a tétel, pontosabban az a reflexió, amelyre az s - a + f = 2 egyenlőséget kielégítő poliéderek szolgálnak , a példa a Bizonyítások és cáfolatok  (en) című munkában  : esszé az episztemológus matematikai felfedezésének logikájáról. Lakatos Imre , matematikai heurisztikáját ily módon kitéve .

Ez a könyv nem célja a tétel felfedezésének valós körülményeit bemutató történelmi munka, de feltárja, hogy az ideális diákok osztálya, egy tanár vezetésével, megpróbálkozás útján és kollektív megbeszélés útján hogyan tudná megfogalmazni ezt a tételt, miközben megfigyeli, hogy egyes poliéderek nem elégítik ki a kapcsolatot.

Megjegyzések és hivatkozások

• Ez a cikk részben vagy egészben a „ Relation d'Euler  ” című cikkből származik  (lásd a szerzők felsorolását ) .
• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben a Wikipedia angol nyelvű cikkéből származik , „  Euler karakterisztika  ” címmel ( lásd a szerzők felsorolását ) .

1. Ernest de Jonquières , „  Megjegyzés Descartes régóta publikálatlan memoárjához és szerzőjének címeihez a felfedezés elsőbbségének a polyhedra elméletében   ”, CR Hebd. Acad Sessions. Sci. , vol.  110,1890, P.  261–266 ( online olvasás ).
2. Nem ez az első (majdnem) szigorú bizonyítás: vö. (en) Jeff Erickson, „  Számítási topológia, fej. 2: Planar Graphs, § Néhány zavaros történelem  ” ,2013, P.  19-20.
3. "  A Műszaki Iskola folyóirata, köt. 9., 16. füzet, bemutató o. 77–81  ” , a Google Könyvekben .
4. H. Poincaré, „A általánosítása Euler-tétel vonatkozó poliéder”, CR Hebd. Acad Sessions. Sci. , repülés. 117, 1893, p.  144-145 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Hámozás (topológia  )
• Euler reláció a háromszögben

Bibliográfia

(en) Jean-François Dufourd, „  Polyhedra nemzetség-tétel és Euler-formula: hipermap-formalizált intuitionistic proof  ” , TCS , vol.  403, n  2-3 csont ,2008, P.  133-159 ( DOI  10.1016 / j.tcs.2008.02.012 )

Külső hivatkozás

(en) David Eppstein , „  Euler képletének húsz bizonyítéka: V-E + F = 2  ” , The Geometry Junkyard

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">