A matematikában az előjel , amelyet először René Descartes írt le a Geometry című könyvében , olyan technika, amely részleges információt nyújt a polinom valódi pozitív vagy negatív gyökereinek számáról .
A szabályt úgy alkalmazzuk, hogy megszámoljuk a jelváltozások számát a polinom együtthatói által képzett sorrendben. Ha az együttható nulla, akkor ezt a kifejezést egyszerűen kihagyják a következőkből.
A szabály kimondja, hogy ha egyetlen változó valódi együtthatójú polinomjának tagjai a kitevők csökkenő sorrendjében vannak rendezve, akkor a polinom pozitív gyökeinek száma a nulla kivételével az egymást követő együtthatók közötti jelváltozások száma, esetleg csökkent páros számmal. Az azonos értékű több gyökért külön számoljuk.
A szabály következménye, hogy a negatív gyökök száma az előjelváltozások száma, miután megszoroztuk a páratlan teljesítmény-tényezők együtthatóit -1-gyel, vagy páros számmal csökkentettük. Ez az eljárás egyenértékű azzal, hogy a változó ellentéte helyettesíti magát a változót. Például a
,ekvivalensen megkérdezzük, hogy hány pozitív gyökér van benne
.Descartes' rule of jelzéseket ad számos pozitív gyökerei az , és ahogy ez adja a számos negatív gyökerek a f .
A polinom
előjelváltása van a második és a harmadik tag között (az egymást követő jelpárok sorozata + +, + -, - -). Ezért pontosan egy pozitív gyökere van. Ne feledje, hogy a vezető jelet figyelembe kell venni, bár ebben a konkrét példában ez nem befolyásolja a választ. A negatív gyökök számának megtalálásához változtassa meg a páratlan kitevőjű kifejezések együtthatóinak jeleit, vagyis alkalmazza a polinomra a jelek Descartes-szabályát egy második polinom megszerzéséhez.
.Ennek a polinomnak két előjelváltozása van (az egymást követő jelpárok szekvenciája - +, + +, + -), ami azt jelenti, hogy ennek a második polinomnak két pozitív gyöke van, vagy nincs pozitív; így az eredeti polinomnak két vagy egyáltalán nincs negatív gyöke.
Valójában az első polinom faktorizálása az
így a gyökerek −1 (kétszer) és 1.
A második polinom faktorizációja az
tehát itt a gyökerek 1 (kétszer) és −1, az eredeti polinom gyökereinek ellentétei.
Bármely n fokú polinomnak pontosan n gyöke van a komplex síkban , a multiplicitásukkal számolva. Tehát, ha f ( x ) olyan polinom, amelynek nincs gyöke nulla (ami ellenőrzéssel meghatározható), akkor a komplex gyökerek minimális száma megegyezik
ahol p a pozitív gyökerek maximális számát jelenti , q a negatív gyökök maximális számát (ez a kettő megtalálható Descartes-féle jelszabály alapján), n pedig az egyenlet mértékét.
A polinom
előjelváltozása van, tehát a pozitív valós gyökerek maximális száma 1.
,mondhatjuk, hogy a polinomnak nincs negatív valós gyöke. Tehát a komplex gyökerek minimális száma:
.Mivel a valós együtthatójú polinom komplex gyökei konjugált párok, láthatjuk, hogy x 3 - 1 pontosan 2 komplex gyökeret és 1 valós (pozitív) gyököt tartalmaz.
A pozitív gyökek maximális számából csak a 2-es többszörösének a kivonása következik be, mert a polinomnak összetett gyökerei lehetnek, amelyek mindig párban érkeznek, mivel a szabály azokra a polinomokra vonatkozik, amelyek együtthatói valósak. Így ha tudjuk, hogy a polinomnak valódi gyökerei vannak, ez a szabály lehetővé teszi a pozitív és negatív gyökek pontos számának megtalálását. Mivel könnyű meghatározni a lehetséges 0 gyök sokaságát, ebben az esetben az összes gyök előjele meghatározható.
Ha a valódi polinom f már k valódi pozitív gyökerek megszámoltuk multiplicitással, majd, az összes a > 0, van legalább k jele változások a szekvenciában az együtthatók a Taylor-sor a függvény e ax f ( x ). Mert egy elég nagy, van pontosan k jel változik.
Az 1970-es években Askold Georgevich Khovanskiǐ kidolgozta a néhány név elméletét, amely általánosítja Descartes uralmát. A jelek szabálya úgy tekinthető, hogy jelzi, hogy a polinom valódi gyökereinek száma függ a polinom összetettségétől, és hogy ez a komplexitás arányos a rendelkezésére álló monomálisok számával, és nem annak mértékével. Khovanskiǐ kimutatta, hogy ez nemcsak a polinomokra, hanem számos transzcendentális függvény algebrai kombinációjára, a Pfaff-függvényekre (in) is igaz .
Ez a cikk Descartes által a PlanetMath-en használt jelek szabályának anyagát tartalmazza, amely a Creative Commons Nevezd meg!