Kronecker tétele

A algebra és különösen a csoport elmélet , a szerkezet tétel a véges Abel-csoportok is nevezik Kronecker tétele . Azt állítja, hogy minden véges Abel-csoport van izomorf a közvetlen termék a ciklikus csoportok .

Ezt a tételt Leopold Kronecker bizonyította 1870-ben. 1868-ban Ernst Schering (de) bemutatta bizonyos „osztálycsoportok” számára. Kronecker tüntetése megismételte Scheringét, de absztraktabb és ezért általánosabb keretek között.

A tétel véges típusú abeli csoportokra is kiterjed . Ez az invariáns faktor tétel speciális esete .

A tétel állítása

Legyen G véges abeli csoport.

Létezik egy egyedi szekvenciát ( a 1 , a 2 , ..., a k ) az egész számok> 1, úgy, hogy a G izomorf a közvetlen termék a gyűrűs csoportok a kardinális a különböző elemek a szekvencia

{\ displaystyle G \ simeq \ mathbb {Z} / a_ {1} \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / a_ {2} \ mathbb {Z} \ times \ cdots \ times \ mathbb {Z} / a_ {k} \ mathbb {Z}}

és hogy a i +1 elosztja az i- t bármely i egész számra 1 és k - 1 között.

Ennek elemei Suite nevezzük invariáns tényezők a G .

Demonstráció

Ennek a tételnek számos módja van. Az egyik leggyorsabb módszer használja az elmélet a csoport ábrázolások . Vannak mások, akik például karaktereket használnak .

Az itt javasolt bizonyítás a csoportelmélet szigorú keretei között marad. A bontás megléte a következő 1. lemmán alapul, amely a 2. lemmát fogja használni:

Lemma 1 - For Abel véges csoport G a exponens e , bármely alcsoportja ciklikus a sorrendben e a G jelentése közvetlen faktor a G .

Az 1. Lemma igazolása

Legyen C egy ilyen alcsoport. Indukcióval érveljen azon elemek minimális száma k mellett, amelyeket hozzá kell adni a C-hez a G létrehozásához . Ha k = 0, akkor C = G , akkor közvetlen tényező önmagában. Tegyük fel, k > 0, C által generált g 0 és G által generált g 0 , ..., g K és (indukcióval hipotézis) C közvetlen tényező az alcsoportban G ' által generált g 0 , ..., g K -1 . Van tehát egy G-re állított φ ' projektor, amelynek képe egyenlő C-vel . Ahhoz, hogy kiterjesszük a G-n definiált projektorra , beállítjuk

{\ displaystyle \ forall x \ in G '\ quad \ forall y \ in \ langle g_ {k} \ rangle \ quad \ varphi (x + y) = \ varphi' (x) + \ varphi '' (y), }

egy megfelelően megválasztott morfizmushoz . Pontosabban, a feltétel φ „, hogy az a tényezőként az , hogy a térkép φ jól definiált G (φ ekkor egy kép projektor C , ezért G lesz direkt összege a C és a kernel φ). ${\ displaystyle \ varphi '': \ langle g_ {k} \ rangle \ to C}$ ${\ displaystyle \ psi: G '\ times \ langle g_ {k} \ rangle \ - C, (x, y) \ mapsto \ varphi' (x) + \ varphi '' (y)}$ ${\ displaystyle +: G '\ times \ langle g_ {k} \ rangle \ - G}$

A feltétele faktoring által + $\ psi$ , hogy eltűnik a kernel e morfizmus, azaz a párok halmaza ( h , - h ) ha h bejárja a alcsoport H : = g ' ∩ ⟨ g K ⟩, azaz: hogy a φ " egybeesik a H és φ”sorrendben ⟨. g k ⟩ elosztja a C , így például φ” továbbra is fennáll, az alábbi lemma.

Lemma 2 - Let e és m lehet két egész szám> 0, hogy m osztója e , és H egy alcsoportja a ciklusos csoport . Minden morfizmus kiterjed morfizmussá . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ rho: H \ to \ mathbb {Z} _ {e}}$ ${\ displaystyle \ rho ': \ mathbb {Z} _ {m} \ to \ mathbb {Z} _ {e}}$

A 2. Lemma igazolása

${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$ a (z) alcsoportjával azonosítva elegendő kiterjeszteni a következőre: (akkor ezt a kiterjesztést az alcsoportra szűkíthetjük ). Mi lehet tehát feltételezzük, az általánosság elvesztése nélkül , hogy m = e . Vagy az a sorrendben H . Tehát akkor , más szóval, egy endomorphism a ciklusos csoport H , jegyezni additív. Tehát egyszerűen egy egész számmal való szorzásról van szó. Ezután meghatározhatjuk tovább, mint szorzást ugyanezzel az egész számmal. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {e}}$ $\ rho$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {e}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$ ${\ displaystyle d \ rho (H) = \ rho (dH) = \ rho (0) = 0}$ ${\ displaystyle \ rho (H) \ H részhalmaz}$ $\ rho$ $\ rho '$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {e}}$

A tétel igazolása

Indukciójával a sorrendben n a G .

Bomlás létezése:

Ha n = 1, akkor az üres szekvencia megfelelő. Tegyük fel, hogy n > 1, és a létezés minden véges abeli rend esetében szigorúan kisebb, mint n . Legyen G az n rendű véges abeli csoport , és e annak kitevője. Ekkor G- nek van egy ciklikus C 1 e- sorrendje és (1. Lemma által) egy K- alcsoport G = C 1 × K- ként . Az indukciós hipotézis azt mutatja, hogy a K a közvetlen összege sorozata gyűrűs alcsoportok C 2 , ..., C k úgy, hogy minden egész szám I 2 és k - 1, a sorrendben a C i +1 elosztja a C i . Ezenkívül a C 2 rendje elosztja a C 1 rendjét e és C 1 meghatározása szerint .

A bontás egyedisége:

Az n = 1, a egyediségét azonnali. Tegyük fel, hogy n > 1 és az összes véges abeli csoport esetében kimutatott egyediség szigorúan kisebb, mint n . Legyen G egy véges n- rendű abeli csoport és két G - bontás ciklikus alcsoportok közvetlen összegében, amelyek rendjei ( a 1 ,…, a k ), ( b 1 ,…, b ℓ ) megfelelnek a tétel feltételeinek. Legyen x a C 1 és ( y 1 ,…, y ℓ ) komponenseinek generátora a második lebontásban. Az, hogy a X egyenlő a exponens e a G tehát létezik legalább egy indexet j 0 oly módon, hogy y j 0 jelentése a rend e (értesítést, hogy akkor, b 1 = ... = b J 0 = e ). Cseréjével C " j 0 által C 1 a második lebontási, az összeg akkor még közvetlen és a egyenlőség , vezetjük le, a quotienting szerint a C 1 : tehát (indukcióval hipotézis) ( a 2 , ..., a k ) = ( b 1 ,…, b j 0 –1 , b j 0 +1 ,…, b ℓ ), tehát ( a 1 ,…, a k ) = ( b 1 ,…, b ℓ ). ${\ displaystyle G = C_ {1} \ oplus \ dots \ oplus C_ {k} = C '_ {1} \ oplus \ dots C' _ {\ ell}}$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i} C_ {i} = C_ {1} \ oplus \ bigoplus _ {j \ neq j_ {0}} C '_ {j}}$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i> 1} C_ {i} \ simeq \ bigoplus _ {j \ neq j_ {0}} C '_ {j}}$

Alkalmazások

A fenti bomlás, a kitevő a G egyenlő egy 1 és a sorrendben a G , hogy egy 1 ... a k . Következésképpen egy véges abeli csoport ciklikus, amint annak rendje kisebb vagy egyenlő a kitevőjével. Különösen a kommutatív mező multiplikatív csoportjának bármely véges alcsoportja ciklikus.
Két véges abeli csoport izomorf, amint az egyes rendek elemeinek száma megegyezik e két csoport esetében. Ezekből az adatokból valóban megtalálhatjuk az invariáns tényezőket. A „Abel” állapota lényeges: létezik például bármilyen páratlan prímszám p , a két csoport a rend p 3 és exponens p : a Abel-csoport (ℤ p ) 3 , és a Heisenberg csoport F o .

Megjegyzések és hivatkozások

(De) L. Kronecker, " Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen " , Monatsber. K. Akad. Wissenschaft Berlin ,1870, P. 881-889 ( zbMATH 02721142 , olvassa el online ).
Thomas Hawkins, A Frobenius matematikája összefüggésben: utazás a 18. és 20. századi matematikán keresztül , Springer, 2013, p. 299. és azt követő cikkek, különösen a 300., 301. és 311. cikk, részben a Google Könyvekben kereshetők .
(in) EB Vinberg , Kurzus Algebrában , AMS , al. " GSM " ( n o 56)2003, 511 p. ( ISBN 978-0-8218-3413-8 , online olvasás ) , p. 336-337.
Ez a gyakorlat a Wikiverzitáson javítva megteszi . További bizonyítékokat lásd (en) Vipul Naik, „ Az azonos sorrendű statisztikákkal rendelkező véges abeli csoportok izomorfak ” , a groupprops.subwiki.org oldalon és (en) Ronald McHaffey, „ A véges abeli csoportok izomorfizmusa ” , Amer.Math. Havi , vol. 72, n o 1,1965, P. 48-50 ( JSTOR 2313001 ).
McHaffey 1965 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Tiszta alcsoport (en)
Jordan-Hölder-tétel (analóg tétel abban az esetben, ha a csoport nem abeli)

Bibliográfia

Serge Lang , Algebra [ a kiadások részlete ]
Jean-François Labarre, A csoportok elmélete , PUF , 1978
(en) Gabriel Navarro, „ A véges abeli csoportok alapvető tételéről ” , Amer. Math. Havi , vol. 110, n o 22003, P. 153-154 ( JSTOR 3647777 )