Dempster-Shafer elmélet

A Dempster-Shafer elmélet egy elmélet matematikailag koncepciója alapján a bizonyítékok segítségével hit funkciók és hihető érvelés . Ennek az elméletnek az a célja, hogy lehetővé tegye különféle bizonyítékok kombinálását az esemény valószínűségének kiszámításához . Ezt az elméletet Arthur P. Dempster  (en) és Glenn Shafer dolgozta ki . Hiedelemelméletnek vagy bizonyítékelméletnek is nevezik .

Matematikai formalizmus

Akár egy univerzum , vagyis olyan készlet, amely tartalmazza az összes elemet, amely érdekel minket. A részek összege , a készlet minden részhalmaza , beleértve az üres halmaz . Például, ha: x{\ displaystyle X \, \!}P(x){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X) \, \!}x{\ displaystyle X \, \!} ∅{\ displaystyle \ lakkozás}

x={nál nél,b}{\ displaystyle X = \ bal \ {a, b \ jobb \} \, \!}

így

P(x)={∅,{nál nél},{b},x}.{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X) = \ bal \ {\ lakkozás, \ bal \ {a \ jobb \}, \ bal \ {b \ jobb \}, X \ jobb \}. \, \ !}

A részhalmaz elemei tagmondatokként értelmezhetők, a benne lévő állapotokat képviselő elemként. Például, tudjuk értelmezni az elem , mint „állítás egy igazolt” vagy „vagyunk állapotban egy  ”, vagy akár a „vagyunk akár állapotban egy vagy állapotban b  ”. x{\ displaystyle X \, \!}{nál nél}{\ displaystyle \ left \ {a \ right \}}{nál nél,b}{\ displaystyle \ bal \ {a, b \ jobb \}}

Tömeg koncepció

A tömeget a következőképpen definiáljuk:

• az üres halmaz tömege 0:

m(∅)=0.{\ displaystyle m (\ lakolás) = 0. \, \!}

• a többi részhalmaz tömegének összege egyenlő 1-vel:

∑NÁL NÉL∈P(x)m(NÁL NÉL)=1.{\ displaystyle \ sum _ {A \ in {\ mathcal {P}} (X)} m (A) = 1. \, \!}

Az alkatrészkészlet adott elemének tömege kifejezi az összes rendelkezésre álló bizonyíték arányát, miszerint az aktuális állapot és nem egy másik állapot vagy annak alállapota . Az értéke ezért csak az államra vonatkozik, és nem ad hitelt azoknak a részhalmazainak , amelyek definíció szerint mindegyikének megvan a maga tömege. m(NÁL NÉL){\ displaystyle m (A) \, \!}NÁL NÉL{\ displaystyle A \, \!}NÁL NÉL{\ displaystyle A \, \!}NÁL NÉL{\ displaystyle A \, \!}m(NÁL NÉL){\ displaystyle m (A) \, \!}NÁL NÉL{\ displaystyle A \, \!}NÁL NÉL{\ displaystyle A \, \!}

Az állapot tömegének értékéből meghatározhatunk egy valószínűségi intervallumot. Ez az intervallum tartalmazza az állam valószínűségének pontos értékét, és két meggyőződésnek és hihetőségnek nevezett mérték határolja :

szép⁡(NÁL NÉL)≤P(NÁL NÉL)≤pl⁡(NÁL NÉL).{\ displaystyle \ kezelőnév {bel} (A) \ leq P (A) \ leq \ kezelőnév {pl} (A). \, \!}

A halmaz meggyőződése az összes részhalmaz tömegének összege (nem feltétlenül megfelelő): szép⁡(NÁL NÉL){\ displaystyle \ kezelőnév {bel} (A) \, \!}NÁL NÉL{\ displaystyle A \, \!}

szép⁡(NÁL NÉL)=∑B∣B⊆NÁL NÉLm(B).{\ displaystyle \ kezelőnév {bel} (A) = \ összeg _ {B \ közepes B \ subseteq A} m (B).}

A hitelességet az összes metsző halmaz tömegének összegeként definiáljuk : pl⁡(NÁL NÉL){\ displaystyle \ kezelőnév {pl} (A) \, \!}B{\ displaystyle B \, \!}NÁL NÉL{\ displaystyle A \, \!}

pl⁡(NÁL NÉL)=∑B∣B∩NÁL NÉL≠∅m(B){\ displaystyle \ kezelőnév {pl} (A) = \ összeg _ {B \ közepe B \ sapka A \ neq \ lakkozás} m (B)}

Ez a két intézkedés összekapcsolódik: pl⁡(NÁL NÉL)=1-szép⁡(NÁL NÉL¯).{\ displaystyle \ kezelőnév {pl} (A) = 1- \ kezelőnév {bel} ({\ overline {A}}). \, \!}

Ezért ezen értékek közül csak az egyik (tömeg, meggyőződés vagy valószínűség) ismerete elegendő a másik kettő levezetéséhez.

A bizonyítékok és a tömegek kombinációja

A most felmerülő probléma az, hogy tudjunk két független halmazt és azok tömegét kombinálni. Az eredeti kombinációs szabály, amelyet Dempster kombinációs szabályának neveznek, Bayes-tétel általánosítása . Ez a tétel egyértelműen hangsúlyozza a több forrás közötti megállapodást, és a normalizációs tényezőnek köszönhetően figyelmen kívül hagyja a konfliktusokat. Ennek a tételnek a használata tehát problémát jelent, ha jelentős konfliktusok lépnek fel a különböző információforrások között.

Itt a kombináció vagy az együttes tömeg kiszámítása a két tömegből és a következőképpen történik: m1{\ displaystyle m_ {1} \, \!}m2{\ displaystyle m_ {2} \, \!}

m1,2(∅)=0{\ displaystyle m_ {1,2} (\ lakkozás) = 0 \, \!}m1,2(NÁL NÉL)=11-K∑B∩VS=NÁL NÉL≠∅m1(B)m2(VS){\ displaystyle m_ {1,2} (A) = {\ frac {1} {1-K}} \ sum _ {B \ cap C = A \ neq \ varnothing} m_ {1} (B) m_ {2 } (VS) \, \!}

vagy

K=∑B∩VS=∅m1(B)m2(VS).{\ displaystyle K = \ sum _ {B \ cap C = \ lakkozás} m_ {1} (B) m_ {2} (C). \, \!}

K{\ displaystyle K \, \!}a két tömeg közötti konfliktus mértéke. A normalizálási tényező lehetővé teszi ezen konfliktusok figyelmen kívül hagyását, és a konfliktusban részt vevő bármely tömeg hozzárendelését a null készlethez. Ennek eredményeként ez a művelet ellentmondó eredményeket ad jelentős konfliktusok esetén, bizonyos összefüggésekben. 1-K{\ displaystyle 1-K \, \!}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Shafer, Glenn; A bizonyítás matematikai elmélete , Princeton University Press, 1976

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Információelmélet
• Valószínűségi elmélet
• Döntéselmélet
• Bayes-tétel és a Bayes-i következtetés
• Bayesi hálózat
• Átadható hiedelmek modellje (TCM)
• Episztemikus logika

Külső linkek

• (en) Mi a Dempster-Shafer modellje? , Philippe SMETS1, IRIDIA, Universiteé Libre de Bruxelles [PDF]