Ergódikus elmélet

Az ergodikus elmélet a matematika egyik ága, amely annak az ergodikus hipotézisnek a tanulmányából született, amelyet Ludwig Boltzmann fizikus fogalmazott meg 1871-ben a gázok kinetikai elmélete érdekében . Ergodicitás akkor van, ha ugyanazon témáról több különböző és különálló statisztikai elemzés eredményez kielégítően összehasonlítható eredményt. Az elmélet számos fejlesztésen ment keresztül, szoros kapcsolatban a dinamikai rendszerek elméletével és a káosz elméletével .

Jelölések

Diszkrét dinamika

Az ergodikai elmélet tanulmányozási tárgya egy hármas, ahol: $((X, B), \ mu, \ phi)$

$(X, B)$ egy mérhető tér (azaz egy törzs van ) $B$ $x$
$\ mu$ Egy mérés on , $(X, B)$
$\ phi: X \ -től X-ig$ a mérést megőrző alkalmazás , vagyis: $\ mu$

\ összes A \ B-ben, \ \ mu \ bal (\ phi ^ {{- 1}} (A) \ jobb) \ = \ \ mu (A)

Az alkalmazás létrehoz egy diszkrét dinamikus : kiindulási anyagként egy pont , megkapjuk egymás után , majd , és így tovább. $\ phi: X \ -től X-ig$ $x_ {0} \ X-ben$ $x_ {1} = \ phi (x_ {0})$ $x_ {2} = \ phi (x_ {1}) = \ phi ^ {2} (x_ {0})$

Folyamatos dinamika

Egy meghosszabbíthatja a tanulmány az esetben, ha a folytonos dinamikus helyett a megelőző alkalmazás egy áramlás a X , vagyis egy folytonos csoportot egy paraméterrel , például: $\ phi: X \ -től X-ig$ $\ phi _ {t}: X \ -től X-ig$

\ phi_0 \ = \ \ mathrm {Id}

;

\ forall \ (t, s) \, \ in \, \ mathbb {R} ^ 2 \, quad \ phi_t \ \ circ \ phi_s \ = \ \ phi_ {t + s}

Ez az eset különösen fontos, mivel ez tartalmazza a Hamilton-flow a klasszikus mechanika , valamint a geodéziai áramlását .

Áramlás vagy "vízesés"?

A folytonos eset magában foglalja a diszkrét esetet is, mert folytonos áramlásból mindig diszkrét térképet készíthetünk, például az időegységre való pózolással. Folytatva az analógiát a hidrodinamika szókincsével, a diszkrét alkalmazást egyes matematikusok néha „ kaszkádnak ” nevezik . $\ phi = \ phi _ {{t = 1}}$

Az ergodicitás meghatározása

Az alkalmazás akkor mondható el ergodikusnak egy adott mértéknél , ha és csak akkor, ha bármely mérhető halmaz invariáns értéke nulla, vagy nulla mértékű.

\ varphi: X \ jobbra nyíl X

\ varphi

Az ergodicitás megragadja az irreducibilitás fogalmát a méréselméletben: egy ergodikus dinamikus rendszer bármely invariáns alrendszerbe történő felosztása esetén a kettő egyike triviális vagy elhanyagolható abban az értelemben, hogy nulla mértékű halmazon él.

Ezt a tulajdonságot kielégítő alkalmazást korábban "metrikusan transzitív" -nek is nevezték.

Egyszerűsített triviális meghatározás

Ergodicitás akkor van, ha ugyanazon témáról több különböző és különálló statisztikai elemzés eredményez kielégítően összehasonlítható eredményt. Ezzel szemben nincs ergodicitás, ha a véletlenszerű effektusokat inkább statisztikai mérőszámokból fejezzük ki, és nem engedjük például megadni az azonos nagyságrendű értékeket. A minta, a populáció vagy a számítás során figyelembe vett terület nagysága, ha túl kicsi, az ergodicitás hiányához vezethet.

Birkhoff ergodikus tétele

Időbeli és mikrokanonikus átlag

Legyen f jó funkció X-en . Mi határozza meg az idő átlagos értéke a határérték (ha van ilyen):

\ overline {f (x_ {0})} \ = \ \ lim _ {{n \ rightarrow + \ infty}} \ {\ frac {1} {n}} \ \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} \ f \ balra (\ phi ^ {k} (x_ {0}) \ jobbra)

Ez eleve a kezdeti állapottól függ . Az f vagy mikrokanonikus átlag térbeli átlagát az alábbiak szerint is meghatározhatjuk : $x_ {0}$

\ langle \ f \ \ rangle \ = \ {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ \ int _ {X} f \, d \ mu

A térbeli átlagnak és az időbeli átlagnak eleve nincs oka az egyenlőségre.

Birkhoff-tétel (1931)

Ha az alkalmazás ergodikus, akkor a térbeli és az időbeli átlag szinte mindenhol azonos . Ez az eredmény képezi Birkhoff híres ergodikus tételét . $\ phi$

Átlagos tartózkodási idő

Legyen X mérhető részhalmaz . Hívjuk tartózkodási idő az egy teljes időt, amelyet a dinamikus rendszer A során evolúció. Az ergodikus tétel következménye, hogy az átlagos tartózkodási idő megegyezik az A mértékének X mértékével számított arányával : $Egy X részhalmaz$

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ {\ frac {1} {n}} \ \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} \ \ chi _ {A} \ balra (\ phi ^ {k} (x) \ jobbra) \ = \ {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int _ {X} \ chi _ {A} \, d \ mu \ = \ {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (X)}}

amely a indikátor függvénye az A . $\ chi _ {A}$

Ismétlődések

Poincaré indukciós tétel

Egy pont megismétlődése: Legyen mérhető részhalmaz. Egy pont azt mondják, hogy visszatérő tekintetében A akkor és csak akkor, ha létezik olyan végtelen egész számok , melyek: $Egy X részhalmaz$ $x \ A-ban$ $k \ geq 1$

\ phi ^ {k} (x) \ \ a \ A-ban

Poincaré indukciós tétele: Legyen mérhető részhalmaz. Tehát szinte minden pontján visszatérő felett A . $Egy X részhalmaz$ $x_ {0} \ A-ban$

Átlagos visszatérési idő

Egy pillanat k , mint a mérhető halmaz egy úgynevezett előfordulásának ideje az A . Ezek az előfordulás pillanatai növekvő sorrendbe sorolhatók egy megszámlálható halmazban: with . $\ phi ^ {k} (x)$ $\ {k_ {0}, k_ {1}, \ pontok, k_ {i}, \ pontok}$ $k _ {{i + 1}}> k_ {i}$
Pozitív különbség a két pillanat előfordulási egymást hívják időszakok visszatérésének az A . $r_ {i} = k_ {i} -k _ {{i-1}}$

A következménye az ergodikus tétel az, hogy az átlagos időtartama kiújulásának A fordítottan arányos az intézkedés A , feltételezve, hogy a kezdeti feltétel x tartozik egy , úgy, hogy k 0 = 0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} \ {\ frac {1} {n}} \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} \ = \ {\ frac {\ mu (X)} {\ mu (A)}} \ quad {\ mbox {(szinte mindenhol)}}}

Így a „kisebb” a beállított egy , annál hosszabb ideig tart átlagosan várni, mielőtt visszatért volna rá. Sajnos ez az eredmény nem árul el minket a kiújulási idők eloszlásának szórásáról. Például a modell urnák a Ehrenfest , Kac kimutatták, hogy ez a szórás tart végtelenbe, amikor a golyók számát a modell tart végtelenbe, hogy a nagy ingadozások körüli időben átlagos visszatérési egyre valószínűbb.

Ergódikus hierarchia

Keverő rendszer

Azt mondjuk, hogy a rendszer keveredik, függetlenül attól, hogy az események (beállítódnak) és be , a korreláció $(\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mu, T)$ $NÁL NÉL$ $B$ ${\ mathcal {F}}$

$\ mu (A \ cap T ^ {{- n}} (B)) - \ mu (A) \ mu (B)$ 0-ra hajlik, mint a végtelenbe. $nem$

A hiperbolicitás és az Anoszov-rendszer

Bernoulli rendszer

Az ergodikus hierarchia

Példa: az ergodikus áramlás egy elosztón

A negatív görbületű, véges térfogatú Riemann-féle gyűjtőcsatornán a geodéziai áramlás ergodicitását Hopf fedezte fel 1939-ben.
A geodéziai áramlás és az SL 2 ( R ) egyparaméteres alcsoportjai közötti kapcsolatot Fomin és Gelfand hozta létre 1952-ben.
A véges térfogatú , lokálisan szimmetrikus tereken a geodéziai áramlás ergodicitását Mautner állapította meg 1957-ben.
Egy egyszerű kritérium a ergodicitást homogén áramlás több mint egy homogén teret egy félig egyszerű Lie-csoport által létrehozott Moore 1966-ban.
Ezen a tanulmányi területen számos tétel és eredmény jellemző a merevségelméletre .
Az anoszov- áramlások példát mutatnak az ergodikus áramlásokra az SL 2 ( R ) -en és általánosabban egy negatív görbületű Riemann-felületen . A témával kapcsolatos fejlemények többsége állandó negatív görbületű hiperbolikus sokaságokra általánosít , ezek a hiperbolikus tér hányadosának tekinthetők, amelyet egyszerűen összeköt az SO ( n , 1) diszkrét csoportja .

Ergodikus elmélet és statisztikai mechanika

Annak ellenére , hogy az ergodikai elméletben Boltzmann az ergodikus hipotézis megfogalmazása óta jelentős előrelépés történt , annak felhasználása a mikrokanonikus együttes statisztikai mechanikában történő felhasználásának igazolására a mai napig ellentmondásos.

Nyitott kérdések

Sergiy Kolyada matematikus az ergodikai elmélet nyitott problémáinak listáját tartja fenn.

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Történelmi szempontok

(en) M. Mathieu, "Az ergodikus elmélet" eredetéről ", Expositions Mathematicae , vol. 1988. 6., p. 373
(en) Giovanni Gallavotti, Ergodicitás, együttesek, visszafordíthatatlanság Boltzmannban és azon túl , 1994, „ chao-dyn / 9403004 chao-dyn / 9403004 ” , szabad hozzáférésű szöveg, az arXiv- on .

Eredeti cikkek

(en) Eberhard Hopf, „Ergodikus elmélet és a geodéziai áramlás állandó negatív görbületű felületen”, Bull. Keserű. Math. Soc. , repülés. 77, n o 6, 1971, p. 863
(en) Eberhard Hopf, Differenciálgeometria a nagyban - 1956-os előadási jegyzetek , előadások a matematikában 1000 , Springer-Verlag, 1983
(en) GA Margulis, „Az ergodikus elmélet alkalmazása a negatív görbület sokaságának vizsgálatához”, Functional Analysis & Applications , vol. 1969. 3., p. 355
(en) Y. Pesin, „Jellemző Lyapounov-kitevők és sima ergodikus elmélet”, Russian Mathematical Surveys , vol. 32, n o 4, 1982, p. 54.
(en) Y. Pesin, „A geodéziai folyamatok a hozzájuk kapcsolódó pályák és tárgyak hiperbolikus viselkedésével”, Russian Mathematical Surveys , vol. 36, 1981, p. 1

Modern művek

Yves Coudène, Ergodikus elmélet és dinamikus rendszerek , EDP Sciences , 2013
(en) Vladimir I. Arnold és André Avez, A klasszikus mechanika ergodikus problémái , Haladó könyvklasszikusok, Pearson Addison Wesley,1989. május( ASIN 0201094061 )
(en) Ya G. Sinai, Bevezetés az ergodikus elméletbe , Princeton University Press , 1976
(en) IP Cornfeld, SV Fomin és YG Sinai, ergodikus elmélet , Springer-Verlag , 1982 ( ISBN 3-540-90580-4 )
(en) Karl Petersen, ergodikus elmélet , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , 1983 ( ISBN 0-521-38997-6 )
(en) Jakov Pesin és Luis Barreira, Lyapunov Exponents and Smooth ergodic Theory , Egyetemi előadássorozat 23 , AMS, Providence, 2001 ( ISBN 0-8218-2921-1 )
(en) Tim Bedford, Michael Keane és Caroline Series (szerk.), ergodikus elmélet, szimbolikus dinamika és hiperbolikus terek , Oxford University Press , 1991 ( ISBN 0-19-853390-X )
(en) Jean Moulin Ollagnier, Ergodikus elmélet és statisztikai mechanika , Matematikai előadások 1115 , Springer-Verlag, 1985
(en) Henk van Beijeren, Az "Ergódikus Hierarchia" , 2004, " cond-mat / 0407730 cond-mat / 0407730 " , nyílt szöveg, az arXiv oldalon néhány általános tévhitről .

Egyéb

(en) Joël Lebowitz és Oliver Penrose, „Modern ergodikus elmélet”, Physics Today , vol. 1973, 26. o. 155-175 , pdf
(en) David Ruelle , A differenciálható dinamikai rendszerek ergodikus elmélete , Publ. Math. IHES 50 , 1979, p. 27-58 , teljes szöveg pdf formátumban elérhető
(en) Mark Pollicott, Előadások az ergodikai elméletről, a geodéziai folyamatokról és a kapcsolódó témákról , Ulm, 2003, a tanfolyamjegyzeteket nem javították pdf formátumban
(en) Charles Pugh és Michael Shub (Alekszandr Starkov melléklete), „Stabil ergodicitás”, Bull. Keserű. Math. Soc. , repülés. 41, 2004, p. 1-41 , a szöveg online elérhető

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy teljesen kivenni a Wikipedia cikket angolul című „ ergodikus elmélet ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(a) George D. Birkhoff, " Proof a ergodikus tétel " , PNAS , vol. 17,1931, P. 656-660.
(in) Mark Kac, valószínűség és a kapcsolódó témákról Physical Science , AMS , al. "Előadások az alkalmazott matematika sorozatban" ( n o 1a),1957( ISBN 0-8218-0047-7 ).
(De) Eberhard Hopf, „Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung”, Lipcsében Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. , repülés. 9, 1939, p. 261-304.
(in) Szergej V. Fomin és Israel M. Gelfand: "A geodéziai áramlások állandó negatív görbületű sokaságok" Uspehi Mat. Nauk , vol. 7, n ° 1, 1952, p. 118-137 .
(in) FI Mautner, "A geodéziai folyamatok szimmetrikus Riemann-terek", Annals of Mathematics , vol. 65, 1957, p. 416-431
(in) CC Moore, "az áramlás ergodicitása homogén terek", Amer. J. Math. , repülés. 88, 1966, p. 154-178
Olvassa el például az elméleti fizika folyóiratcikkeit:
- (en) George W. Mackey, „Ergodikus elmélet és jelentősége a statisztikai mechanikában és a valószínűségelméletben”, Advances in Mathematics , vol. 12., n o 2., 1974. o. 178-268 ;
- (en) Oliver Penrose, „A statisztikai mechanika alapjai”, Jelentés a haladásról a fizikában , vol. 42, 1979, p. 1937-2006 ;
- (en) Szasz Domokos, „Botzmann ergodikus hipotézise, sejtés évszázadokig? », Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica (Budapest) , vol. 1996, 31. o. 299-322 , szöveg Postscript formátumban ;
valamint a filozófiai esszék:
- (en) Massimiliano Badino, Az ergodikus elmélet alapszerepe , 2005, szöveg Word formátumban ;
- (en) Jos Uffink, A klasszikus statisztikai fizika alapjainak összefoglalása , 2006, szöveg pdf formátumban .
(in) Nyitott problémák dinamikai rendszerek és ergodikus elmélet , Sergiy Kolyada oldalon.