Earnshaw-tétel
A fizika , a klasszikus elektromágnesesség , Earnshaw tétel kimondja, hogy egy sor ponton díjakat nem lehet fenntartani egy stabil egyensúlyi csak elektrosztatikus kölcsönhatások között díjakat.
A tétel volt bizonyult az első alkalommal 1842 által Samuel Earnshaw (a) . Általában mágneses mezőknél használják , de eredetileg elektrosztatikus esetekre tanulmányozták . Valójában az erők bármilyen kombinációjára vonatkozik, amelyek a törvényt követik : a mágneses, elektromos vagy gravitációs mezők hatásaiban .
1r2{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}}}
Magyarázatok
Ez a tétel Gauss tételének következménye . Intuitív módon, ha egy részecskét stabil egyensúlyban tartunk, akkor a kis zavaroknak nem szabad megtörniük ezt az egyensúlyt: vissza kell térnie korábbi helyzetébe. Ez abból következik, hogy az ezen a pont körüli erőtér összes mezővonala erre az egyensúlyi helyzetre mutat.
Tehát a mező divergenciája az egyensúlyi helyzet közelében szigorúan negatív, ha a mező nem azonos nulla. Gauss-tétel azonban azt állítja, hogy ilyesmi lehetetlen: a részecskére gyakorolt F ( r ) erőnek , amely a Laplace-egyenletet kielégítő potenciálból származik , nulla divergenciának kell lennie:
∇⋅F=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot F = 0 \,}az ürességben.
Így a terepi vonalak nem konvergálnak az üres tér egyetlen pontjára sem, így ott stabil egyensúly nem létezhet. Azt is mondják, hogy nincsenek helyi minimumok vagy maximumok a potenciálhoz.
A tétel továbbá megállapítja, hogy nincs olyan mágnesek statikus konfigurációja, amely lehetővé tenné egy tárgy stabil lebegését a gravitációval szemben, még akkor is, ha a mágneses erők nagymértékben meghaladják a gravitációs vonzerőt. A mágneses lebegés azonban akkor lehetséges, ha a mágneses tér idővel változtatható.
Earnshaw-tétel, valamint a részecskék instabilitása Bohr atommodelljében, a sugárzás miatt, az atom szerkezetének kvantummagyarázatát javasolta.
Mágneses dipólusok bemutatása
Bevezetés
Bár az általános esetben igazolható, három speciális esetet tekintünk itt.
Az első az, hogy a mágneses dipólus a mágneses nyomaték állandó bipoláris vezetékes irányban. A következő két eset egy változó orientációjú dipólus, amely a külső mágneses tér mezővonalainak irányába (vagy ellentétes irányába) igazodik . A paramágneses (illetve a diamágneses ) anyagokban a dipólusok a terepi vonalak irányába (illetve az ellenkező irányába) vannak igazítva.
Hasznos lemmák
Az ebben a szakaszban létrehozott lemák hasznosak lehetnek a következő speciális esetek tanulmányozásában.
Az energia U egy mágneses dipólus M egy külső mágneses mező B jelentése
U=-M⋅B=-(MxBx+MyBy+MzBz){\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - \ balra (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z} \ jobb) \,}A dipólus akkor és csak akkor lesz stabil, ha energiája eléri a minimumot, vagyis ha az energia laplakusa pozitív:
ΔU=∇2U=∂2U∂x2+∂2U∂y2+∂2U∂z2>0{\ displaystyle \ Delta U = \ nabla ^ {2} U = {\ részleges ^ {2} U \ át \ részleges x ^ {2}} + {\ részleges ^ {2} U \ át \ részleges y ^ {2 }} + {\ részleges ^ {2} U \ át \ részleges z ^ {2}}> 0}Végül, mivel a mágneses tér divergenciája és forgása egyaránt nulla az elektromos tér áramának és variációinak hiányában , a mágneses mező alkotóelemeinek laplakianusai nulla:
ΔBx=ΔBy=ΔBz=0{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = \ Delta B_ {y} = \ Delta B_ {z} = 0 \,}A cikk legvégén bemutatót tartanak.
Tüntetések
A rögzített irányú és állandó pillanatú dipólus energiája:
U=-M⋅B{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} \,}Ebben az esetben az energia laplakiai értéke mindig nulla:
ΔU=0{\ displaystyle \ Delta U = 0 \,}A dipólust tehát megfosztják a minimális (és a maximális) energiától: a térnek nincs olyan pontja, amely minden irányban stabil, vagy minden irányban instabil.
A közvetlen vagy közvetett irányban a külső térhez igazított dipólusok megfelelnek a paramágneses és a diamágneses anyagoknak. Az energiát ekkor adja:
U=-M⋅B=-kB⋅B{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B} \,}Ahol k pozitív paramágneses anyagok esetén állandó, és negatív a diamágneses anyagok esetében. Így :
Δ(Bx2+By2+Bz2)≥0{\ displaystyle \ Delta \ bal (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobbra) \ geq 0 \,}Így bebizonyosodik, hogy a paramágneses anyagok maximális (de nem minimális) energiával rendelkeznek, és fordítva a diamágneses anyagok esetében.
Végül a mezőhöz igazított mágnes mágneses momentuma a következő:
M=kB|B|{\ displaystyle \ mathbf {M} = k {\ mathbf {B} \ felett \ balra | \ mathbf {B} \ jobbra |} \,}Energiája:
U=-M⋅B=-kB|B|⋅B=-k(Bx2+By2+Bz2)(Bx2+By2+Bz2)1/2=-k(Bx2+By2+Bz2)1/2{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k {\ mathbf {B} \ over \ left | \ mathbf {B} \ right |} \ cdot \ mathbf {B} = - k {\ balra (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobbra) \ felett \ balra (B_ {x} ^ {2} + B_ { y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobbra) ^ {1/2}} = - k \ balra (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobbra) ^ {1/2}}Pontosan a fent tárgyalt paramágneses (vagy diamagnetikus) eset energiájának négyzetgyöke . Mivel a négyzetgyök függvény szigorúan növekszik, olyan bijekciót indukál, amely megőrzi a paramágneses vagy diamagnetikus esetekben kapott maximumokat és minimumokat.
A levitációt lehetővé tevő mágnesek stabil konfigurációját azonban nem ismerjük: más okoknak is fel kell lépniük, amelyek ellenzik az antiméteres dipólusok mezővel történő fenntartását (forgási mozgás nélkül, lásd: Levitron (en) ).
Rögzített kormánydipólus
Megmutatjuk, hogy a tér bármely pontján:
ΔU=∂2U∂x2+∂2U∂y2+∂2U∂z2=0{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges y ^ {2} }} + {\ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges z ^ {2}}} = 0}A külső mezőnek kitett M dipólus U energiája ismét:
U=-M⋅B{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B}}Az energia laplaciája ekkor:
ΔU=-[∂2(MxBx+MyBy+MzBz)∂x2+∂2(MxBx+MyBy+MzBz)∂y2+∂2(MxBx+MyBy+MzBz)∂z2]{\ displaystyle \ Delta U = - \ balra [{\ frac {\ részleges ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ részleges z ^ {2}}} \ jobbra]}Ha a M konstans, akkor a laplaci kifejezések kibővítésével, majd csökkentésével a következőket kapjuk:
ΔU=-(Mx(∂2Bx∂x2+∂2Bx∂y2+∂2Bx∂z2)+My(∂2By∂x2+∂2By∂y2+∂2By∂z2)+Mz(∂2Bz∂x2+∂2Bz∂y2+∂2Bz∂z2)){\ displaystyle \ Delta U = - \ bal (M_ {x} \ bal ({\ frac {\ partis ^ {2} B_ {x}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} B_ {x}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} B_ {x}} {\ részleges z ^ {2}}} \ jobbra) + M_ {y} \ balra ({\ frac {\ részleges ^ {2} B_ {y}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} B_ {y}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} B_ {y}} {\ részleges z ^ {2}}} \ jobbra) + M_ {z} \ balra ({\ frac {\ részleges ^ {2} B_ {z}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} B_ {z}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac { \ részleges ^ {2} B_ {z}} {\ részleges z ^ {2}}} \ jobb) \ jobb)}van
ΔU=-(MxΔBx+MyΔBy+MzΔBz){\ displaystyle \ Delta U = - \ bal (M_ {x} \ Delta B_ {x} + M_ {y} \ Delta B_ {y} + M_ {z} \ Delta B_ {z} \ jobb) \,}de a mágneses mező alkotóelemeinek laplakiak nullája vákuumban (sugárzás hiányában). A demonstráció tehát a következők megszerzésével zárul:
ΔU=-(Mx0+My0+Mz0)=0{\ displaystyle \ Delta U = - \ bal (M_ {x} 0 + M_ {y} 0 + M_ {z} 0 \ jobb) = 0 \,}
A dipólus egy külső mezőben igazodik
Először a paramágneses (vagy diamagnetikus ) dipólus esetét vesszük figyelembe. Energiáját a következő adja:
U=-k(Bx2+By2+Bz2){\ displaystyle U = -k \ bal (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobb) \,}A kifejezés kibővítésével, majd csökkentésével a következőket kapjuk:
Δ(Bx2+By2+Bz2)=2[|∇Bx|2+|∇By|2+|∇Bz|2+Bx∇2Bx+By∇2By+Bz∇2Bz]{\ displaystyle \ Delta \ bal (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobb) = 2 \ bal [\ bal | \ nabla B_ {x } \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {y} \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {z} \ right | ^ {2} + B_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + B_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + B_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z} \ right]}de mivel az egyes komponensek Laplac-értéke nulla a vákuumban:
Δ(Bx2+By2+Bz2)=2[|∇Bx|2+|∇By|2+|∇Bz|2]{\ displaystyle \ Delta \ bal (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobb) = 2 \ bal [\ bal | \ nabla B_ {x } \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {y} \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {z} \ right | ^ {2} \ right]}Végül, mivel a valós szám négyzete pozitív, így kapjuk:
∇2(Bx2+By2+Bz2)≥0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ balra (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ jobbra) \ geq 0}
A mágneses mező laplaciája
Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogy a mágneses tér minden egyes elemének laplakusa nulla. Fel kell hívnunk a figyelmet a mágneses mezők tulajdonságaira, például nulla divergenciára és nulla forgásra áram és sugárzás hiányában , amelyek Maxwell egyenleteiből következnek .
A mágneses mező x mentén lévő komponens laplaciája :
ΔBx=∂2Bx∂x2+∂2Bx∂y2+∂2Bx∂z2=∂∂x∂∂xBx+∂∂y∂∂yBx+∂∂z∂∂zBx{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ részleges ^ {2} B_ {x} \ felett \ részleges x ^ {2}} + {\ részleges ^ {2} B_ {x} \ át \ részleges y ^ { 2}} + {\ részleges ^ {2} B_ {x} \ felett \ részleges z ^ {2}} = {\ részleges \ felett \ részleges x} {\ részleges \ felett \ részleges x} B_ {x} + { \ részleges \ felett \ részleges y} {\ részleges \ túl \ részleges y} B_ {x} + {\ részleges \ felett \ részleges z} {\ részleges \ felett \ részleges z} B_ {x}}A forgási a B , hogy nulla,
∂Bx∂y=∂By∂x{\ displaystyle {\ részleges B_ {x} \ over \ részleges y} = {\ részleges B_ {y} \ át \ részleges x}}és
∂Bx∂z=∂Bz∂x{\ displaystyle {\ részleges B_ {x} \ over \ részleges z} = {\ részleges B_ {z} \ át \ részleges x}}Tehát:
ΔBx=∂∂x∂∂xBx+∂∂y∂∂xBy+∂∂z∂∂xBz{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ részleges \ felett \ részleges x} {\ részleges \ felett \ részleges x} B_ {x} + {\ részleges \ felett \ részleges y} {\ részleges \ felett \ részleges x } B_ {y} + {\ részleges \ felett \ részleges z} {\ részleges \ felett \ részleges x} B_ {z}}Azonban differenciálható (és feltételezzük, hogy végtelenül így van). Így :
Bx{\ displaystyle B_ {x}}
ΔBx=∂∂x(∂Bx∂x+∂By∂y+∂Bz∂z)=∂∂x(∇⋅B){\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ részleges \ felett \ részleges x} \ balra ({\ részleges B_ {x} \ át \ részleges x} + {\ részleges B_ {y} \ át \ részleges y} + {\ részleges B_ {z} \ át \ részleges z} \ jobbra) = {\ részleges \ át \ részleges x} \ balra (\ nabla \ cdot \ mathbf {B} \ jobbra)}B divergenciája nulla, ezért állandó:
ΔBx=∂∂x(∇⋅B=0)=0{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ részleges \ fölött \ részleges x} \ balra (\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ jobbra) = 0}Ugyanez vonatkozik a mágneses mező y és z mentén lévő komponenseire .
Megjegyzések és hivatkozások
-
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Earnshaw-tétel " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
(en) S. Earnshaw: „A világító éter alkatát szabályozó molekuláris erők természetéről”, a Trans. Camb. Phil. Soc. , repülés. 1842, 7. o. 97-112
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">