A algebrai topológia , a legegyszerűbb esetben a Hurewicz tétele - tulajdonítható Witold Hurewicz - a leírás az első szinguláris homológia csoport egy topologikus tér csatlakozik ívek felhasználásával annak alapvető csoport .
Az alapvető csoport, egy ponton x , egy tér X , úgy definiáljuk, mint a beállított homotopy osztályok a hurkok származó X az x , látva a törvény összefűzése hurkok. Ez jelöli π 1 ( X , X ). Ha X- et ívek kötik össze, és ha y az X másik pontja , akkor az π 1 ( X , x ) és π 1 ( X , y ) csoportok izomorfak: az izomorfizmusok az x- től az y- ig terjedő útvonal segítségével szerkeszthetők . Az ilyen izomorfizmusok azonban csak a konjugációig vannak meghatározva.
Ha G egy csoport , mi jelöljük [ G , G ] a normális részcsoport a G által generált kapcsolók a G , az úgynevezett a származtatott csoport . A csoport G AB : = G / [ G , G ] nevezzük abelianization a G . G legnagyobb abeli hányadosa, amelyet a következő univerzális tulajdonság jellemez :
A G- ből az abeli csoportba történő bármilyen morfizmust a G ab- on keresztül számolják el .Egy belső automor a G megőrzi a kommutátorok, illetve indukálja átvezetve a hányadost az identitás a abelianized G ab .
Minden természetes szám q , mi jelöljük H q ( X , ℤ) a Q -edik csoport szinguláris homológiát az X egész együtthatós. Ha megjegyezzük ( X k ) az X ívekkel összekötött komponensek családját , H q ( X , ℤ) a H q ( X k , ℤ) közvetlen összege , amely lehetővé teszi a H 1 ( X , ℤ) vizsgálatának csökkentését. ) abban az esetben, ha X- et ívek kötik össze. Hurewicz tétele megerősíti ebben az esetben, hogy létezik egy természetes izomorfizmus a π 1 ( X , X ) ab on H 1 ( X , ℤ):
Tétel - Legyen X ívekkel összekötött topológiai tér. A f : [0,1] → X egy láncként ciklus. Az Φ X csoportok morfizmusa : Hurewicz izomorfizmusnak nevezett izomorfizmust vált ki : π 1 ( X , x ) → H 1 ( X , ℤ) :
.Sőt, az a folyamatos térkép g : X → Y , a morfizmusok indukált csoportok g ✻ : π 1 ( X , X ) → π 1 ( Y , g ( x )) és a g ✻ : H 1 ( X , ℤ) → H 1 ( Y , ℤ) igazolja:
.Más szavakkal, H 1 ( X , ℤ) természetesen a π 1 ( X , x ) abelianizáltja . Pontosabban, az ívekkel összekapcsolt topológiai terek kategóriájába két kovariáns functor tartozik az abeli csoportok kategóriájában :
Hurewicz tétele a H 1 π 1 ab- ból származó ct functorok izomorfizmusának létezését adja .
Hurewicz tétele lehetővé teszi számunkra az első homológiai csoport kiszámítását az alapcsoport ismeretében:
Topológiai tér | Leírás | Alapvető csoport | H 1 (∙, ℤ) |
---|---|---|---|
Összehúzódó tér | Ha egy ponton deformációval visszahúzódik | Triviális csoport | 0 |
S 1 | Az egység kör | A relatív egész számok ℤ additív csoportja | ℤ |
P n (ℝ) | Az n dimenzió valódi projektív tere | ℤ 2 = ℤ / 2ℤ | ℤ 2 |
T n | A tórusz dimenzió n | A közvetlen termék ℤ n | ℤ n |
S 1 ∨ S 1 | A csokor két kör (a) | Az F 2 szabadcsoport | ℤ 2 |
Σ g | A felületét kompakt orientált , hogy nemzetségbe g | A csoport bemutatott által < a 1 , ..., a g , b 1 , ..., b g | [ a 1 , b 1 ] ... [ a g , b g ] = 1> |
ℤ 2 g |
Bármely , ívekkel összekötött X tér esetében a H 1 ( X , ℤ) akkor és csak akkor triviális, ha a π 1 ( X ) tökéletes . Ez természetesen az esetben, ha X jelentése egyszerűen csatlakoztatva , hanem, például, ha X jelentése egy gömb homológia dimenzió> 1.
Hurewicz tétele kimondja a csoportmorfizmus létezését és bijektivitását. Az injektivitás több munkát igényel, mint a szurzivitása. A bijektivitás itt egy inverz explicit felépítésével jön létre. Δ 0 -val jelöljük a pontot, Δ 1 = [0, 1] a standard 1- szimplexet , és Δ 2 a standard 2-szimplexet, ahol a pontokat baricentrikus koordinátákban ( s , t , u ) s + t jelöli. + u = 1.
A Hurewicz-morfizmus létezéseEgy hurok f az X egy ponton x folytonos térkép f : [0,1] → X olyan, hogy f (0) = f (1) = x . Egy ilyen térkép az X 1-egyszerûnek tekinthetõ ; definíciója szerint határa f (1) - f (0) = 0. Tehát f 1 ciklus. Két f és g hurok közötti homotópia 2-szimplexet eredményez, amelynek éle g - f . Ezért az f 1 ciklus csak modulálja az 1 éleket, az f szögetől függően . Ezért természetes alkalmazásunk van:
Ez a térkép egy olyan csoport, morfizmus: két hurok f és g a X az x , f * g egy 1-ciklus. A C 1 ( X , ℤ) elem ( f ∗ g ) - g - f a h szimplex széle, amelyet az alábbiak határoznak meg:
Mivel H 1 ( X , ℤ) abeli, ezt a morfizmust az abelianizálottakon keresztül veszik figyelembe, hogy a Hurewicz-morfizmust kapják:
A fordított felépítéseAmint X csatlakozik ívek, az y egy pont a X , bevezetünk egy utat λ y származási x és vége y (a Axiom of Choice használjuk itt). Bármely X szimplex f esetén meghatározzuk:
A aw λ ( f ) irányú eltérés a λ y utak megválasztásától függ ; ugyanez vonatkozik az alapcsoport abelianizált formájú osztályára is. A ψ λ térkép ℤ-lineáris térképet indukál:
Az alábbiakban részletezett technikai érvek a következő figyelemre méltó eredményeket mutatják:
Ezért Ψ λ korlátozással és a hányadoshoz való átjutással λ-tól független ph morfizmust vált ki:
Ezt a ph morfizmust a Hurewicz-féle erse = Φ X fordítottjának konstruálták :
Legyen h : Δ 2 → X 2-szimplex. Edge h széle három oldalának váltakozó f 0 - f 1 + f 2 összege , amelyet a következők határoznak meg:
A számítás azonban a következőket adja:
ahol használtuk
Mivel f 0 ∗ f 2 ∗ f 1 −1 határolja a h-t , ez a hurok kontraktilis, ezért a π 1 egységelemét ( X , f 0 (0)) képviseli. A c ↦ λ f 0 (0) ∗ c ∗ λ f 0 (1) −1 azonban meghatározza a π 1 ( X , f 0 (0)) → π 1 ( X , x ) csoportok morfizmusát és a fenti számítást azt mutatja, hogy elküldi az osztály az f 0 * f 2 * f 1 -1 a pszi lambda (∂ h ). Ennek eredményeként:
ezért a Ψ jól körülhatárolható .
Függetlenség a λ-banLegyen μ az eredeti x utak másik választása . Igen
egy X 1 ciklusa ( n i = ± 1), akkor:
Csak az utolsó egyenlőségben használták a kifejezések törléséhez azt a tényt, hogy σ 1 ciklus: figyelembe véve a jeleket, minden y esetében annyi i index van , hogy f i (0) = y, hogy az i indexekből úgy, hogy f i (1) = y .
A klasszikus Hurewicz-tétel általános megállapítása n > 1 esetén a következő (van egy relatív verzió is (in) ):
Tétel - Legyen X olyan tér, hogy i <n esetén π i ( X ) = 0 ; ekkor H i ( X ) = 0 értéke 0 < i <n , és π n ( X ) izomorf H n ( X ) -vel.
(A π n abelianizációja felesleges, mivel az 1 foknál nagyobb homotópiai csoportok abeli .)