König tétele (halmazelmélet)

A Kőnig tétele a halmazelmélet oka, hogy a matematikus magyar Julius Kőnig (1849-1913).

Kőnig tétele

Ezt a választott axióma segítségével mutatják be (amelynek valójában egyenértékű), és a következőképpen fogalmaznak meg:

Tétel - Let és két családok a bíboros által indexelt ugyanazon úgy, hogy minden elem a , . Ezután: $(a_ {i}) _ {{i \ I}} -ban$ $(b_ {i}) _ {{i \ I}} -ban$ $én$ $én$ $én$ $a_ {i} <b_ {i}$

\ qquad \ sum _ {{i \ in I}} a_ {i} <\ prod _ {{i \ in I}} b_ {i}

Demonstráció

Következmény

A következőképpen szól:

Következmény - A kontinuum ereje nem egy szigorúan kisebb bíborosok megszámlálható családjának összege.

Demonstráció

Az ekvipotencia-összefüggés figyelembevételével a következő három szempontot alkalmazzuk: $\ sim$

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N}}}$ (lásd ezt a bizonyítást a 2. alap használatával );
${\ displaystyle (\ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N}}) ^ {\ mathbb {N}} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N }}}$ ( Décurryfication : ); ${\ displaystyle f \ mapsto (\ varphi: (x, y) \ mapsto f (x) (y))}$
${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ sim \ mathbb {N}}$ (vö. indoklás ).

Következtethetünk: ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ sim (\ {0; 1 \} ^ {\ mathbb { N}}) ^ {\ mathbb {N}} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb { N}} \ sim \ mathbb {R}}$ . Ezután elegendő König tételének alkalmazása a és gombbal . ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ forall i \ in I, b_ {i} = \ mathbb {R}}$

A ZFC rendszerben (a Zermelo-Fraenkel cégtől a választott axiómával) ez a tétel a legfinomabb eredmény a kontinuum méretét tekintve.