Schwarz tétele

A Schwarz-tétel , Clairaut vagy Young egy tétel a elemzést a második részleges származékok egy függvénye számos változó . Úgy tűnik, az első alkalommal egy tanfolyamot differenciálszámításról adott Weierstrass 1861, amely Hermann Schwarz majd részt a berlini .

Államok

Tétel Schwarz - Legyen $E$ és $F$ két normált terek , $U$ egy nyitott az $e$ és $f : U \to F$ kétszeri alkalmazása differenciálható egy pontban $egy$ az $U$ . Ezután a bilineáris térkép $d 2 f egy : E \times E \to F$ jelentése szimmetrikus .

Következmény - Legyen $az f$ függvényt a valós értékek meghatározása nyílt halmaza $ℝ n$ . Ha $f$ kétszer differenciálható egy ponton, akkor a hesseni mátrixa ebben a pontban szimmetrikus .

A hesseni szimmetria azt jelenti, hogy a 2. sorrendben a két változóra vonatkozó részleges levezetés eredménye nem függ a levezetés sorrendjétől e két változó vonatkozásában:

{\ displaystyle {\ frac {\ partitális {{részleges x}} \ bal ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges y}} \ jobb) (a) = {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} \ bal ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} \ jobb) (a)}

Ezt a tételt néha az angol " Young's tétel " ( Young tétel ) hívja , amely név a magasabb rendű származékok kiterjesztését is jelenti.

Ellenpélda

A fenti eredmény kudarcot vallhat, ha a feltételezéseket nem igazoljuk. Az első , meglehetősen bonyolult ellenpéldát maga Schwarz adta 1873-ban. A második, egyszerűbb ellenpéldát Peano javasolta 1884-ben. Ezt a funkciót határozta meg:

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) = {\ begin {cases} {\ frac {xy \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right)} {x ^ {2} + y ^ {2}}} és {\ text {si}} \ bal (x, y \ jobb) \ neq \ bal (0,0 \ jobb) \\ 0 & {\ text {különben}}} \ end { esetek}}}

aki ellenőrzi

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges y \ részleges x}} \ bal (0,0 \ jobb) = - 1 \ quad {\ text {while}} \ quad {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x \ részleges y}} \ bal (0,0 \ jobb) = 1}

Alkalmazás differenciális formákra

Vegye figyelembe a 2. dimenzióban a következő pontos differenciálformát , ahol $f$ az C 2 osztályba tartozik :

{\ displaystyle \ mathrm {d} f = a (x, y) \, \ mathrm {d} x + b (x, y) \, \ mathrm {d} y.}

Így,

{\ displaystyle a (x, y) = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} (x, y) {\ text {et}} b (x, y) = {\ frac {\ részleges f } {\ részleges y}} (x, y).}

Schwarz-tétel alkalmazásával következtethetünk:

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges b} {\ részleges x}} (x, y) = {\ frac {\ részleges a} {\ részleges y}} (x, y).}

Ez tehát a differenciál forma helyességének szükséges feltétele. Ezt a szükséges feltételt kielégítő differenciálforma zárva van .

Általánosabban az n dimenzióban :

a C 1 osztály bármely pontos formája zárva van,

amelyet egy $ω$ 1-es alak konkrét esetben írunk:

{\ displaystyle {\ text {si}} \ omega = \ mathrm {d} f {\ text {akkor}} \ mathrm {d} \ omega: = \ sum _ {i <j} \ balra ({\ frac { \ részleges \ omega _ {j}} {\ részleges x_ {i}}} - {\ frac {\ részleges \ omega _ {i}} {\ részleges x_ {j}}} \ jobb) \ mathrm {d} x ^ {i} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {j} = 0.}

Bemutatás egy 1 alakra

Vegyünk egy pontos 1-formát

{\ displaystyle \ omega = \ mathrm {d} f = \ omega _ {1} \ mathrm {d} x_ {1} + \ omega _ {2} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + \ omega _ {n} \ mathrm {d} x_ {n}}

ahol az f függvény a $C 2$ osztályba tartozik . Ezt mi is tudjuk

{\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {1}}} \ matrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ { 2}}} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {n}}} \ mathrm {d} x_ {n}}

Tehát mindenre ${\ displaystyle i, j <n}$

{\ displaystyle \ omega _ {i} = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {i}}}}

és

{\ displaystyle \ omega _ {j} = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {j}}}}

A felmerülő és megfelelően rendre és , $\ omega _ {i}$ $\ omega _ {j}$ $x_ {j}$ $x_ {i}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ omega _ {i}} {\ részleges x_ {j}}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ {i} \ részleges x_ {j }}}}

és

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ omega _ {j}} {\ részleges x_ {i}}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ {j} \ részleges x_ {i }}}}

Schwarz-tétel alapján - amely itt érvényes, mert feltételezzük, hogy $C$ $1$ osztályba tartoznak - ez a két parciális derivált egyenlő, ezért $\ omega _ {i}$

{\ displaystyle \ forall i, j <n, \ quad {\ frac {\ részleges \ omega _ {i}} {\ részleges x_ {j}}} = {\ frac {\ részleges \ omega _ {j}} { \ részleges x_ {i}}}}

amely befejezi a demonstrációt.

Megjegyzések és hivatkozások

Franciaországban és Belgiumban is nevezik Clairaut féle tétel . Vö. James Stewart ( ford. Micheline Citta-Vanthemsche), Elemzés. Fogalmak és összefüggések , vol. 2: Több változó funkciói , De Boeck ,2006, 1064 p. ( ISBN 978-2-8041-5031-0 , online olvasás ) , p. 764.
Knut Sydsaeter , Peter Hammond ( ford . Angolból Micheline Citta-Vanthemsche), Matematika a gazdaság számára [" Matematika a gazdasági elemzéshez "], Pearson ,2014.
Sylvie Benzoni-Gavage , Differenciálszámítás és differenciálegyenletek: órák és korrigált gyakorlatok , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( online olvasható ) , p. 72.
Bemutató érhető el a Wikiverzióban ( lásd alább ).
A tétel Gyakran állítják, és igazolták a több korlátozó feltételezés, hogy $f$ jelentése C osztály 2 on $U$ .
Henri Cartan , Differenciálszámítás tanfolyama , Hermann , 1967, újranyomás. 1977, p. 65-69 .
(in) "Young-tétel" (2006. július 11-i kiadás az Internetes Archívumon ) , UC Berkeley , Agrár- és Erőforrás-gazdaságtan Tanszék .
(in) RGD Allen, Matematikai Analízis közgazdászok , New York, St. Martin Press,1964( online olvasható ) , p. 300-305.
Ernst Hairer és Gerhard Wanner ( ford . Angolul), Az elemzés a történelem során [" Analysis by History "], Springer ,2001( 1 st szerk. 1996) ( olvas online ) , p. 316-317.
Ez az ellenpélda a Wikiversitén található ( lásd alább ).

Lásd is

Poincaré lemma