Az elemi geometria , a média-tétel egy speciális esete a Thales tétele csatlakozott a kölcsönös .
Ha egy szegmens csatlakozik egy háromszög két oldalának középpontjához , akkor párhuzamos a harmadik oldallal, és hossza fele ennek a harmadik oldalnak.
A tétel grafikusan ábrázolható az alábbiak szerint:
Ezt a tulajdonságot a vektor definíciójának ismerete nélkül mutatjuk be. Az ábrán az (IJ) az ABC középpontjainak sora, amelyekkel (BC) párhuzamosan akarunk bizonyulni.
Legyen K szimmetrikus J I-hez képest, ekkor megvan a [JK] középpontja és IJ = KJ / 2.
Mivel hipotetikusan az [AB] középpontja vagyok, az AJBK átlói az I. közös középpontjukban keresztezik egymást, így az AJBK egy paralelogramma .
Oldalai [AJ] és [KB] párhuzamosak és azonos hosszúságúak, tehát azonosak a [JC] és a [KB] esetében is.
KBCJ nem keresztezett (B és C van a ugyanazt félsíkban képest (KJ), B szimmetrikus az A tekintetében I, C szimmetrikus az A tekintetében J).
Ha egy nem keresztezett négyszögnek két ellentétes oldala van, amelyek párhuzamosak és azonos hosszúságúak, akkor ez egy paralelogramma.Tehát a KBCJ egy paralelogramma.
A paralelogramma tulajdonságai alapján az ellentétes oldalak [KJ] és [BC] párhuzamosak, ezért az egyenes (IJ) párhuzamos a (BC) ponttal.
Mivel az ellentétes oldalak egyenlőek, KJ = BC-ből következtetünk: IJ = BC / 2.
Amikor a vektor fogalma már ismert - például egy vektortérrel társított euklideszi affin tér esetében - sokkal rövidebb vektorbizonyítás létezik.
Mivel én vagyok az ( A , B ) és J az ( A , C ) középpontja , megvan
, honnan .A vektorok és egy egyenesbe esik, így a vonalak ( IJ ) és ( ie ) párhuzamosak.
A normája megegyezik a felével, vagyis az IJ távolság egyenlő a BC / 2-vel.
Mi lehet rejteni a Chasles kapcsolatban fent használt asszimiláció révén affin tér a hozzá tartozó vektortér keresztül a választott A származás. Ezután az előző egyenleteket írjuk fel: B = 2 I és C = 2 J , ezért C - B = 2 ( J - I ) .
Ez Thales közvetlen tételének speciális esete .
Tétel - Ha egy vonal áthalad a háromszög egyik oldalának középpontján, és párhuzamos egy másik oldallal, akkor a harmadik oldalt a középpontjában metszik.
Bizonyíték van arra, hogy ez a kölcsönösség csak a terület fogalmát foglalja magában.
Feltételezzük, hogy az egyenes áthalad az [AB] oldal I középpontján, párhuzamos az [BC] oldallal, és hogy az [AC] oldalt egy J 'pontban keresztezi. A CBI háromszög csúcsa megegyezik a CBA háromszög csúcsaival, ezért alapfelülete van terület (CBI) = 1 / 2 terület (CBA). Az [IJ '] szakasz párhuzamos a bázissal [BC], ezért nyírással terület (CBI) = terület (CBJ '). A BCJ 'háromszög területe tehát a BCA háromszög területének fele, ezért a C, J' és A pontok egymáshoz igazodnak CJ „= 1 / 2 CA. A J 'pont tehát megegyezik a [CA] szakasz J középpontjával.Alternatív megoldásként az inverz tétel alapvetően igazolható a közvetlen tételhez hasonlóan : K 'J szimmetrikus I-vel való megjegyzésével az AJ'BK négyszög paralelogramma, ezért (BK') párhuzamos (J'A) = (CJ '), tehát a BK'J'C is paralelogramma; ezért CJ '= BK' = J'A.
Megjegyezzük, hogy az inverz tétel levezethető a közvetlen tétel első állításából, és fordítva: ugyanazokkal a jelölésekkel, mint fent, J akkor és csak akkor egyenlő J'-vel, ha (IJ) párhuzamos (IJ '), c vagyis Kr. e.