Potenciális örvény

A potenciális örvény (TP) a folyadékdinamika konzervatív fogalma, amely leírja az örvény értékét egy folyadéktestben (általában levegőben vagy óceánban), egy oszlopban, két szomszédos izentrópikus felület között . Az egyik tetszőleges standard szélességi fokról a másikra történő elmozdulás csökkenti vagy megnöveli az oszlop vastagságát a potenciális örvényesség megőrzése érdekében, és ez az érték lehetővé teszi a tömeg jellemzőinek azonosítását és elmozdulásának követését.

A potenciális örvényt a meteorológiában és az okeanográfiában használják a légkör és az óceán függőleges mozgásának leírására. Ez egy olyan koncepció, amelyet a cikllogenézis ( légköri mélyedések kialakulása a frontok mentén ) és az óceáni áramlások elemzésére használnak. Például Franciaország délkeleti részén a mistral fizikáját már régen félreértették, mert ellentmondásos, hogy Marseille- ben napos az idő, erős északnyugati széllel, míg Nizzában erős szél fúj eső. Ennek a jelenségnek a magyarázata a potenciális örvény megőrzésének tételéből és annak fizikai jelentőségéből következik.

Matematikai meghatározás

Carl-Gustaf Rossby határozta meg elsőként a potenciális örvényt 1936-ban. Ez a munka a Golf-áramlat mint sekély vízréteg vízszintes kiterjedéséhez viszonyított modellezésének elemzésén alapul . Néhány évvel később Hans Ertel kifejlesztette a koncepciót az egyenletbe:

TP=1ρ(2Ω→+∇→∧u→)⋅∇→θ=1ρζ→nál nél⋅∇→θ(ban ben m2K s-1kg-1és értéke 10.-6.m2K s-1kg-1TP egységnek hívják){\ displaystyle {\ rm {TP}} = {\ frac {1} {\ rho}} (2 {\ vec {\ Omega}} + {\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {u}} ) \ cdot \, {\ vec {\ nabla}} \ theta = {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ vec {\ zeta}} \, ^ {a} \ cdot \, {\ vec {\ nabla}} \ theta \ qquad \ scriptstyle ({\ text {en}} \ \ mathrm {m ^ {2} K \ s ^ {- 1} kg ^ {- 1}} {\ text {és egy érték }} \ 10 ^ {- 6} \ mathrm {m ^ {2} K \ s ^ {- 1} kg ^ {- 1}} {\ text {a TP egységének nevezzük}})}.

Vagy:

• ρ{\ displaystyle \ rho}a sűrűsége a folyadék (a kilogramm per köbméter);
• Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}} a Föld forgási szögsebessége a figyelembe vett szélességi fokon;
• u→{\ displaystyle {\ vec {u}}} egy légcsomag földhöz viszonyított mozgásának sebessége;
• ζ→nál nél{\ displaystyle {\ vec {\ zeta}} ^ {a}}a másodperc -1 abszolút örvénye . Két részre bontható : a folyadékoszlop relatív örvényére és a Coriolis-örvényre a figyelembe vett szélességi fokon (arányos az f Coriolis-paraméterrel );∇→∧u→=ζ→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {u}} = {\ vec {\ zeta}}}2Ω→{\ displaystyle 2 {\ vec {\ Omega}}}
• ∇→θ{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ theta}a gradiens a potenciális hőmérséklet (a Kelvin méterenként).

A termodinamika és a mozgásmegőrzés első törvényével bizonyítható, hogy a potenciális örvény izentrópikus. Egy adott PT-vel rendelkező folyadékoszlop csak diabéteszes változással (ahol a környezettel hőcsere zajlik) vagy súrlódással változtathatja meg. A potenciális örvény ezért az állandó potenciális hőmérsékletű légtömeg függőleges mozgásának követési módjává válik .

A potenciális örvény változatlanságának bemutatása

A demonstráció főleg a Hoskins-hivatkozásra épül. Ez a hivatkozás azonban feltételezi, hogy a légkör barotrop, ami nem szükséges. A bizonyítás érvényességi területének kiterjesztése (a barotrop atmoszférának nincs hipotézise) Malardelén alapszik.

Mi oka a galileai referenciakeret . Végtelenül kicsi hengernek tekintjük δ S alapot és δ h magasságot, amelynek alapja párhuzamos a potenciális hőmérséklet felszínével.

Az örvényt a δ S területű henger alapján integráljuk. Ezért:

∫δSζ→dNÁL NÉL→=∫δS[∇→∧u→]⋅dNÁL NÉL→{\ displaystyle \ int _ {\ delta S} {\ vec {\ zeta}} d {\ vec {A}} = \ int _ {\ delta S} [{\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {u}}] \ cdot d {\ vec {A}}}

Legyen az említett vektor pszeudo-vertikális komponense (merőleges az állandó felületre ). Tehát: ζθ{\ displaystyle \ zeta _ {\ theta}}θ{\ displaystyle \ theta}

ζθδS=∫δSζ→dNÁL NÉL→=∫δS[∇→∧u→]⋅dNÁL NÉL→{\ displaystyle \ zeta _ {\ theta} \ delta S = \ int _ {\ delta S} {\ vec {\ zeta}} d {\ vec {A}} = \ int _ {\ delta S} [{\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {u}}] \ cdot d {\ vec {A}}}

Az általunk használt Stokes tétele . Legyen a δ S felület kontúrja. ∂δS{\ displaystyle \ részleges \ delta S}

∫δS[∇→∧u→]⋅dNÁL NÉL→=∮∂δSu→⋅dl→{\ displaystyle \ int _ {\ delta S} [{\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {u}}] \ cdot d {\ vec {A}} = \ anint _ {\ részleges \ delta S } {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {l}}}

Meghatározzuk a keringést . (észrevesszük, hogy a vérkeringés végtelenül kicsi ). Tehát: Γ=ζθδS{\ displaystyle \ Gamma = \ zeta _ {\ theta} \ delta S}

Γ=∮∂δSu→⋅dl→{\ displaystyle \ Gamma = \ anint _ {\ részleges \ delta S} {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {l}}}

Kiszámoljuk a légcsomag keringésének Lagrangi-származékát (követjük):

dΓdt=∮∂δSdu→dt⋅dl→+∮∂δSu→⋅dl˙→{\ displaystyle {d \ Gamma \ over dt} = \ anint _ {\ részleges \ delta S} {d {\ vec {u}} \ over dt} \ cdot d {\ vec {l}} + \ anint _ { \ részleges \ delta S} {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {\ dot {l}}}}

Legyen a potenciális mező. Tudunk írni : Ψ{\ displaystyle \ Psi}du→dt=-1ρ∇→o+∇→Ψ{\ displaystyle {d {\ vec {u}} \ over dt} = - {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} p + {\ vec {\ nabla}} \ Psi}

Ezért megszerezzük:

dΓdt=∮∂δS(-1ρ∇→o+∇→Ψ)⋅dl→+∮∂δSu→⋅dl˙→{\ displaystyle {d \ Gamma \ over dt} = \ anint _ {\ részleges \ delta S} \ bal (- {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} p + {\ vec {\ nabla} } \ Psi \ right) \ cdot d {\ vec {l}} + \ anint _ {\ részleges \ delta S} {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {\ dot {l}}}}

A képlet tisztábbá tétele érdekében helyettesítjük a következővel :dl→{\ displaystyle d {\ vec {l}}}δl→{\ displaystyle \ delta {\ vec {l}}}

Tehát:

u→⋅dl˙→=u→⋅dδl→dt{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {\ dot {l}}} = {\ vec {u}} \ cdot {d \ delta {\ vec {l}} \ over dt}}

Ebből kifolyólag,

u→⋅dl˙→=u→⋅d[(x→+δl→)-x→]dt{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {\ dot {l}}} = {\ vec {u}} \ cdot {d [({\ vec {x}} + \ delta {\ vec {l}}) - {\ vec {x}}] \ over dt}}

Ebből kifolyólag,

u→⋅dl˙→=u→⋅[u→(x→+δl→)-u→(x→)]{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {\ dot {l}}} = {\ vec {u}} \ cdot [{\ vec {u}} ({\ vec {x}} + \ delta {\ vec {l}}) - {\ vec {u}} ({\ vec {x}})]}

Észrevesszük, hogy:

u→(x→+δl→)=u→(x→)+∂u→∂x→δl→{\ displaystyle {\ vec {u}} ({\ vec {x}} + \ delta {\ vec {l}}) = {\ vec {u}} ({\ vec {x}}) + {\ részleges {\ vec {u}} \ over \ részleges {\ vec {x}}} \ delta {\ vec {l}}}

Ebből kifolyólag,

u→(x→+δl→)-u→(x→)=u→⋅∂u→∂x→{\ displaystyle {\ vec {u}} ({\ vec {x}} + \ delta {\ vec {l}}) - {\ vec {u}} ({\ vec {x}}) = {\ vec {u}} \ cdot {\ részleges {\ vec {u}} \ felett \ részleges {\ vec {x}}}}

Azután:

u→⋅∂u→∂x→=12∇→u→2{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ részleges {\ vec {u}} \ over \ részleges {\ vec {x}}} = {1 \ több mint 2} {\ vec {\ nabla}} { \ vec {u}} ^ {2}}

és ezért végül

dΓdt=∮∂δS-1ρ∇→odl→+∮∂δS∇→Ψ⋅dl→+12∮∂δS(∇→u→2)⋅dl→{\ displaystyle {d \ Gamma \ over dt} = \ kenés _ {\ részleges \ delta S} - {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} pd {\ vec {l}} + \ kenés _ {\ részleges \ delta S} {\ vec {\ nabla}} \ Psi \ cdot d {\ vec {l}} + {1 \ több mint 2} \ anint _ {\ részleges \ delta S} ({\ vec {\ nabla}} {\ vec {u}} ^ {2}) \ cdot d {\ vec {l}}}

Újra használjuk Stokes tételét, és minden jól definiált f térképhez :

∮∂δS∇→f⋅dl→=∫δS∇→∧∇→fdS=∫δS0→dNÁL NÉL→=0{\ displaystyle \ ken _ {\ részleges \ delta S} {\ vec {\ nabla}} f \ cdot d {\ vec {l}} = \ int _ {\ delta S} {\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {\ nabla}} fdS = \ int _ {\ delta S} {\ vec {0}} d {\ vec {A}} = 0}. Ebből kifolyólag, dΓdt=∮∂δS-1ρ∇→odl→+0+0{\ displaystyle {d \ Gamma \ over dt} = \ anint _ {\ részleges \ delta S} - {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} pd {\ vec {l}} + 0 + 0 }

Még mindig használjuk Stokes tételét. Tehát van:

∮∂δS-1ρ∇→odl→=-∫δS∇→∧(1ρ∇→o)⋅dNÁL NÉL→{\ displaystyle \ kenés _ {\ részleges \ delta S} - {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} pd {\ vec {l}} = - \ int _ {\ delta S} {\ vec {\ nabla}} \ ék \ bal ({1 \ felett \ rho} {\ vec {\ nabla}} p \ jobb) \ cdot d {\ vec {A}}}

Észrevesszük, hogy:

∇→∧(1ρ∇→o)=1ρ∇→∧∇→o-1ρ2∇→ρ∧∇→o{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ ék balra ({1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} p \ right) = {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla} } \ wedge {\ vec {\ nabla}} p- {1 \ over \ rho ^ {2}} {\ vec {\ nabla}} \ rho \ wedge {\ vec {\ nabla}} p}

Az első kifejezés nulla, ezért: ∇→∧(1ρ∇→o)=-1ρ2∇→ρ∧∇→o{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ ék balra ({1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} p \ right) = - {1 \ over \ rho ^ {2}} {\ vec {\ nabla}} \ rho \ ék {\ vec {\ nabla}} p}

Így,

dΓdt=-∫δS(-1ρ2∇→ρ∧∇→o)⋅dNÁL NÉL→{\ displaystyle {d \ Gamma \ over dt} = - \ int _ {\ delta S} \ bal (- {1 \ over \ rho ^ {2}} {\ vec {\ nabla}} \ rho \ wedge {\ vec {\ nabla}} p \ right) \ cdot d {\ vec {A}}}.

Vegye figyelembe a következő kapcsolat áll fenn: . Cseréljük: dNÁL NÉL→=∇→θ‖∇→θ‖dNÁL NÉL{\ displaystyle d {\ vec {A}} = {{\ vec {\ nabla}} \ theta \ over \ | {\ vec {\ nabla}} \ theta \ |} dA}

dΓdt=-∫δS(-1ρ2∇→ρ∧∇→o)⋅∇→θ‖∇→θ‖dNÁL NÉL{\ displaystyle {d \ Gamma \ over dt} = - \ int _ {\ delta S} \ bal (- {1 \ over \ rho ^ {2}} {\ vec {\ nabla}} \ rho \ wedge {\ vec {\ nabla}} p \ right) \ cdot {{\ vec {\ nabla}} \ theta \ over \ | {\ vec {\ nabla}} \ theta \ |} dA}.

Bemutatjuk a hivatkozás trükkjét: megjegyezzük, hogy csak p és ρ függ . θ{\ displaystyle \ theta}

Nekünk van :

∂θ∂x=∂θ∂o∂o∂x+∂θ∂ρ∂ρ∂x{\ displaystyle {\ részleges \ theta \ over \ részleges x} = {\ részleges \ theta \ át \ részleges p} {\ részleges p \ át \ részleges x} + {\ részleges \ theta \ át \ részleges \ rho} { \ részleges \ rho \ át \ részleges x}}

Hasonlóképpen:

∂θ∂y=∂θ∂o∂o∂y+∂θ∂ρ∂ρ∂y{\ displaystyle {\ részleges \ theta \ over \ részleges y} = {\ részleges \ theta \ részben \ részleges p} {\ részleges p \ át \ részleges y} + {\ részleges \ theta \ át \ részleges \ rho} { \ részleges \ rho \ felett \ részleges y}}

Hasonlóképpen:

∂θ∂z=∂θ∂o∂o∂z+∂θ∂ρ∂ρ∂z{\ displaystyle {\ részleges \ theta \ over \ részleges z} = {\ részleges \ theta \ át \ részleges p} {\ részleges p \ át \ részleges z} + {\ részleges \ theta \ át \ részleges \ rho} { \ részleges \ rho \ át \ részleges z}}

Ezért megszerezzük:

∇→θ=∂θ∂o∇→o+∂θ∂ρ∇→ρ{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ theta = {\ részleges \ theta \ felett \ részleges p} {\ vec {\ nabla}} p + {\ részleges \ theta \ át \ részleges \ rho} {\ vec {\ nabla}} \ rho}

A fenti vegyes termék tehát nulla . Ebből kifolyólag,

dΓdt=-∫δS(-1ρ20‖∇→θ‖)dNÁL NÉL=0{\ displaystyle {d \ Gamma \ over dt} = - \ int _ {\ delta S} \ bal (- {1 \ over \ rho ^ {2}} {0 \ over \ | {\ vec {\ nabla}} \ theta \ |} \ right) dA = 0}

ami azt mutatja, hogy állandó. Γ=ζθδS{\ displaystyle \ Gamma = \ zeta _ {\ theta} \ delta S}

A levegő csomag tömegét végtelenül kis térfogatra írjuk fel δ S és δ h magasságra  :

δm=ρδSδh{\ displaystyle \ delta m = \ rho \ delta S \ delta h}

ahol ρ a levegő sűrűsége.

A légcsomag tömege az idő függvényében nem változik.

Tehát az arány

ζθδSρδhδS{\ displaystyle {\ zeta _ {\ theta} \ delta S \ over \ rho \ delta h \ delta S}} állandó.

Tehát, állandó. ζθρδh{\ displaystyle {\ zeta _ {\ theta} \ over \ rho \ delta h}}

Ezt észrevesszük: és ezt kiváló pontossággal. Ebből kifolyólag, ‖∇→θ‖≈∂θ∂z{\ displaystyle \ | {\ vec {\ nabla}} \ theta \ | \ kb {\ részleges \ theta \ felett \ részleges z}}

ζθ=ζ→⋅∇→θ‖∇→θ‖=ζ→⋅∇→θ∂θ∂z{\ displaystyle \ zeta _ {\ theta} = {{\ vec {\ zeta}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ theta \ over \ | {\ vec {\ nabla}} \ theta \ |} = {{\ vec {\ zeta}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ theta \ over {\ részleges \ theta \ over \ részleges z}}}

Ebből kifolyólag,

ζ→⋅∇→θ∂θ∂zρδh{\ displaystyle {{\ vec {\ zeta}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ theta \ over {\ részben \ theta \ over \ részleges z} \ rho \ delta h}} állandó.

Mivel a δ h végtelenül kicsi, megvan:

∂θ∂zδh=θ(z+δh)-θ(z){\ displaystyle {\ részleges \ theta \ over \ részleges z} \ delta h = \ theta (z + \ delta h) - \ theta (z)}

Mivel a folyamat adiabatikus, akkor is, ha a δ h idővel változik, és állandó marad. Ebből kifolyólag, θ(z+δh){\ displaystyle \ theta (z + \ delta h)}θ(z){\ displaystyle \ theta (z)}

ζ→⋅∇→θρ{\ displaystyle {{\ vec {\ zeta}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ theta \ over \ rho}} állandó.

Ezt az összeget potenciális örvénynek nevezzük (ami zavaró lehet).

Ne feledje , hogy nem kellett feltételezni, hogy a folyadék összenyomhatatlan vagy barotrop .  

Használat

A meteorológiában az egyik közelítés a barotrop légköré, ahol a légtömegben nincs hőmérséklet-változás. A barotrop örvényegyenlet tehát egyszerű módszer a hosszú hullámú vályúk és csúcsok elmozdulásának előrejelzésére 500  hPa magasságban . Az 1950-es években az első numerikus időjárás-előrejelző program ezt az egyenletet használta. Ugyanakkor egy baroklinikus rendszer pozitív örvény-advekciója hozza létre a cikllogenézist , a közepes szélességi mélypontok kialakulását és a negatív advekciót, amely magasságokat generál . Ez része a légköri primitív egyenleteknek , amelyeket a modern modellekben használnak.

Az okeanográfiában különösen az örvényeket vizsgálják, hogy képesek-e idővel megőrizni a sótartalom és a hőmérséklet tulajdonságait a néhány kilométer átmérőjű és néhány méter magas vízlencsén belül. Idézhetjük például azokat az örvényeket (angolul: „örvények”), amelyek a Földközi-tengert a Gibraltár csatornán keresztül elhagyják, és néhány hét / hónap múlva megérkeznek a Karib-tengerre . Ezeket az örvényeket a katonai tengeralattjárók keresik szonár aláírásuk elrejtése érdekében . Valóban, az örvény hőmérséklet- és sótartalmának különbsége átlátszatlan felületet hoz létre .

Ez magában foglalja a potenciális örvényesség megőrzését. A TP tehát a mechanika tehetetlenségi folyadékdinamikájában egyenértékű . Így egy nagy örvény, amely lassan fordul meg, megnöveli forgási sebességét, ha függőlegesen nyújtja a szél felszínének konvergenciája (a változás ) vagy a szélesség változása (változás ). A divergenciának ellentétes hatása lesz. ζ{\ displaystyle \ scriptstyle \ zeta}f{\ displaystyle \ scriptstyle f}

Intenzív hideg Dél-Franciaországban

Egy konkrét példa alkalmazásának potenciális örvény invariancia tétel a jelenség a Mistral , amely szinte mindig párosul a depresszió, a Genovai-öböl , amely egy dinamikus depresszió és amely képes létrehozni meglepő meteorológiai körülmények a Dél-Franciaországban. Ha nagyobb hideghullámok sújtották az országot, mint 1709-ben és különösen 1956-ban . Marseille- ben tiszta égbolt fordul elő rendkívüli mistrallal, míg a Côte d'Azur- on erősen havazik. A sztratoszféra a Rhone-völgyben és az Alpoktól északra süllyed (és jelentősen "melegebb"), ezért nagy. Az orte örvény nagyjából megfelel a Coriolis-örvénynek. Fent a Genovai-öböl , a tropopauza sokkal magasabb, és a sztratoszféra egy szokásos hőmérséklet, és ezen kívül, a tenger „melegebb”, és ezért kisebb lesz. Tehát ζ nagyobb lesz. Amint a ζ nagyobb lesz, ciklonikus keringés jön létre a Genovai-öböl felett, ami keleti visszatérést eredményez Nizzába és bőséges havazást okoz, miközben Marseille-ben "szép" az idő. ‖∇→θ‖{\ displaystyle \ | {\ vec {\ nabla}} \ theta \ |}‖∇→θ‖{\ displaystyle \ | {\ vec {\ nabla}} \ theta \ |}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Meteorológiai Világszervezet , „  Lehetséges Forgószél  ” , Eumetcal ,2016. május 15(megtekintve 2017. július 7-én ) .
2. (in) Carl-Gustaf Rossby , "  Dynamic Steady-óceán áramlatai a Light of Experimental Fluid Dynamic  " , Papers in Physical Oceanográfiai és Meteorológiai , MIT és Woods Hole Oceanográfiai, egyetemeken, vol.  V, n o  1,1936( olvasható online [PDF] , hozzáférés : 2016. május 15 ).
3. (in) "  Potenciális örvényesség  " , AMS Glossary , AMS (hozzáférés: 2016. május 16. ) .
4. Közép szélességi fok , p.  177-178
5. A meteorológia alapjai , p.  665-666
6. Guillaume Séchet , milyen időjárás! : Az időjárás krónikája 1900-tól napjainkig , Éditions Hermé,2005. augusztus, 255  p. ( ISBN  978-2-286-00897-0 , online olvasás ) , p.  113
7. A. Dugelay „  Általános megjegyzések a fagy február 1956 megyéiben Alpes-Maritimes és Var.  », Revue Forestière française , n o  1,1957. január, P.  4 ( olvassa el online [PDF] )

Bibliográfia

• [Midlatitudes] (en) Brian J. Hoskins és Ian N. James, Fluid Dynamics of the Midlatitude Atmosphere , John Wiley & Sons , coll.  "Az időjárás és az éghajlat-tudomány fejlődése",2014, 488  p. ( ISBN  978-0-470-83369-8 )
• [Meteorológiai alapok ] Sylvie Malardel, Meteorológiai alapok , második kiadás , Toulouse, Cépaduès,2009, 711  p. ( ISBN  978-2-85428-851-3 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">