Zitterbewegung

A Zitterbewegung (amely németül "remegő mozgással" lefordítható ) egy szoliton fizikai mikro-rezgése , amelyet Erwin Schrödinger fedeztek fel 1930-ban a kvantummechanika keretében .

A relativitáselmélet keretein belül vizsgálva a Klein-paradoxont kelti .

Állítólag megmagyarázza az elektron forgását és mágneses momentumát .

Tábornok

Ahhoz, hogy egy kvantum megfigyelhető a Schrödinger ábrázolása megfelel egy megfigyelhető a Heisenberg ábrázolás . Amikor a hamiltoni operátor független az időtől és mikor , akkor a megfigyelhetők és a következők: NÁL NÉL^S(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}NÁL NÉL^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}NÁL NÉL^H(t0)=NÁL NÉL^S(t0){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t_ {0}) = {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t_ {0})}NÁL NÉL^S(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}NÁL NÉL^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}

NÁL NÉL^H(t)=eén(t-t0)H^/ℏNÁL NÉL^S(t)e-én(t-t0)H^/ℏ{\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) = e ^ {i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar} {\ hat {A }} _ {\ rm {S}} (t) e ^ {- i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar}}

Az idő deriváltját a Heisenberg-egyenlet adja meg: NÁL NÉL^H(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}

dNÁL NÉL^H(t)dt=énℏ[H^,NÁL NÉL^H(t)]+(∂NÁL NÉL^S(t)∂t)H{\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} \ balra [{\ hat { H}}, {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) \ jobb] + \ bal ({\ frac {\ részleges {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)} {\ részleges t}} \ jobbra) _ {\ rm {H}}}

A zitterbewegung matematikai levezetése

Tekintsük egy szabad részecske Dirac-egyenletét :

énℏ∂ψ∂t(x,t)=(mvs.2α0-énℏvs.∑j=13αj∂∂xj)ψ(x,t){\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} (\ mathbf {x}, t) = \ balra (mc ^ {2} \ alpha _ {0} -i \ hbar c \ összeg _ {j = 1} ^ {3} \ alfa _ {j} {\ frac {\ részleges} {\ részleges x_ {j}}} \, \ jobb) \ psi (\ mathbf {x}, t) }

Ez felírható a Schrödinger-egyenlet  :

énℏ∂ψ∂t(x,t)=H^ψ(x,t){\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} (\ mathbf {x}, t) = {\ hat {H}} \ psi (\ mathbf {x}, t)}

hol van a Dirac-egyenlet hamiltoni operátora: H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

H^=mvs.2α0+vs.∑j=13αjo^j{\ displaystyle {\ hat {H}} = mc ^ {2} \ alpha _ {0} + c \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ hat {p}} _ {j}}

Az impulzus, a helyzet, a Hamilton-operátorok és az operátorok közötti kommutációs kapcsolatok a következők: αj{\ displaystyle \ alpha _ {j}}

[q^j,o^k]=énℏδjk{\ displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {p}} _ {k}] = i \ hbar \ delta _ {jk}} [H^,o^j]=0{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ {j}] = 0} [H^,q^j]=-énℏvs.αj{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ {j}] = - i \ hbar c \ alpha _ {j}} [H^,α^j]=2(vs.o^j-αjH^){\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {\ alpha}} _ {j}] = 2 (c {\ hat {p}} _ {j} - \ alpha _ {j} {\ hat {H}})} [q^j,α^k]=0{\ displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0} [o^j,α^k]=0{\ displaystyle [{\ hat {p}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0}

Most a heisenbergi képviseletre térünk át a következőkkel:

oj(t): =(o^j)H{\ displaystyle p_ {j} (t): = ({\ hat {p}} _ {j}) _ {\ rm {H}}} qj(t): =(q^j)H{\ displaystyle q_ {j} (t): = ({\ hat {q}} _ {j}) _ {\ rm {H}}} H(t): =(H^)H{\ displaystyle H (t): = ({\ hat {H}}) _ {\ rm {H}}} αj(t): =(αj)H{\ displaystyle \ alpha _ {j} (t): = (\ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}}}

Időbeli fejlődésüket a Heisenberg-egyenlet adja:

ddtoj(t)=énℏ[H^,o^j]H=0{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} p_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = 0} ddtqj(t)=énℏ[H^,q^j]H=(vs.αj)H=vs.αj(t){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = (c \ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}} = c \ alpha _ {j} (t)} ddtH(t)=0{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} H (t) = 0} ddtαj(t)=énℏ[H^,αj]H=2énℏ(vs.oj(t)-αj(t)H(t)){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, \ alpha _ {j}] _ {\ rm {H}} = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} (t) - \ alfa _ {j} (t) H (t))}

Mivel és állandóak, egyszerűbben írhatunk: oj=oj(t){\ displaystyle p_ {j} = p_ {j} (t)}H=H(t){\ displaystyle H = H (t)}

ddtαj(t)=2énℏ(vs.oj-αj(t)H){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} - \ alpha _ {j} (t) H )}

Az integrációval a következőket találjuk: αj(t){\ displaystyle \ alpha _ {j} (t)}

αj(t)=vs.ojH-1+(αj-vs.ojH-1)e-2én(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle \ alpha _ {j} (t) = cp_ {j} H ^ {- 1} + \ balra (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ jobbra) e ^ { -2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

hol . A sebességkezelő tehát: αj=αj(t0){\ displaystyle \ alpha _ {j} = \ alpha _ {j} (t_ {0})}

vj(t)=ddtqj(t)=vs.αj(t)=vs.2ojH-1+vs.(αj-vs.ojH-1)e-2én(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle v_ {j} (t) = {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = c \ alpha _ {j} (t) = c ^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + c \ bal (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ jobbra) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

Az integrációval a következőket találjuk: vj(t){\ displaystyle v_ {j} (t)}

qj(t)=qj(t0)+(t-t0)vs.2ojH-1+énℏvs.2(αj-vs.ojH-1)H-1(e-2én(t-t0)H/ℏ-1){\ displaystyle q_ {j} (t) = q_ {j} (t_ {0}) + (t-t_ {0}) c ​​^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + {\ frac {i \ hbar c} {2}} \ balra (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ jobbra) H ^ {- 1} \ balra (e ^ {- 2i (t -t_ {0}) H / \ hbar} -1 \ jobbra}}

Vita

Kezelő sebessége:

v→(t)=vs.2o→H-1+vs.(α→-vs.o→H-1)e-2én(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1} + c \ bal ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ jobbra) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

két részre bomlik: állandó komponens:

vs.2o→H-1{\ displaystyle c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1}}

és oszcillációs komponens:

vs.(α→-vs.o→H-1)e-2én(t-t0)H/ℏ{\ displaystyle c \ bal ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ jobb) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar }}

Ezt az oszcillációs mozgást Zitterbewegung- nak hívják . Ennek az oszcillációnak a szögfrekvenciája . Más szavakkal, megtaláljuk a kvantumharmonikus oszcillátor alapvető módjának tiszta energiáját  : ω=2E/ℏ{\ displaystyle \ omega = 2E / \ hbar}

E=ℏω2{\ displaystyle E = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}

Az egyenlőség használatával különösen egy hullámhosszat találunk: E=mvs.2{\ displaystyle E = mc ^ {2}}

λ=2πvs.ω=12hmvs.=λVS2{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {h} {mc}} = {\ frac {\ lambda _ { \ rm {C}}} {2}}}

hol van a Compton hullámhossza . λVS=h/mvs.{\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {C}} = h / mc}

Ennek az eredménynek az értelmezése számos jelenség magyarázatát eredményezte .

Megjegyzések és hivatkozások

1. (a) Kiyoshi Nishikawa, Kvantumrendszerek kémia és a fizika: Progress in Methods and Applications , Dordrecht, Springer,2012, 572  p. ( ISBN  978-94-007-5297-9 ) , p.  29-35
2. (in) David Hestenes, "  A kvantummechanika zitterbewegung értelmezése  " , a fizika alapjai ,1990. október, P.  1213–1232 ( ISSN  0015–9018 )

Külső linkek

• (en) Die Zitterbewegungs-Interpretation der Quanten-Mechanik , eine alternative Erklärung über die Interferenz der positiven und negativen Energiezustände hinaus.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">