Eloszlás a prímszámok között

A számelméletben az elsődleges rés (vagy résprémium ) két egymást követő prím közötti különbséget jelöli .

Sok eredmény és találgatás kapcsolódik ehhez az objektumhoz. Például az ikerprím sejtés azt mondja, hogy a prímszámok közötti hézagok sorrendje végtelen sokszor veszi fel a 2-es értéket.

Így az első 60 eltérés ( az OEIS A001223 folytatása ):

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ...

Meghatározás

Figyelembe véve az n- edik prímszámot, az n- edik különbség: $p_ {n}$

g_ {n} = p _ {{n + 1}} - p _ {{n}}

Ami írást is lehetővé tesz

p _ {{n + 1}} = 2+ \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} g_ {i}

Egyszerű megfigyelések

Hasonlóképpen $(p_ {n})$ , a szekvencia nincs korlátozva : ha q n- gyel jelöljük a p 1 … p n szorzatot , akkor a q n + 2 és q n + p n közötti egész számokból áll . $(g_ {n})$

Az első különbség, amely egyszerre a legkisebb és az egyetlen páratlan különbség 1, az egyetlen páros prímszám, 2 és az első páratlan prímszám, 3. Az összes többi különbség páros.

(3, 5, 7) az egymást követő prímszámok egyedi hármasa, amelynek különbsége 2.

Eredmények és sejtések

Szerint Bertrand posztulátum , . $g_ {n} <p_ {n}$

A prímszám tétel azt sugallja, hogy aszimptotikusan megegyezik a nagyságrenddel , Cramér sejtése pedig a logaritmus négyzetének viselkedését jósolja. Az iker-első sejtés szerint a 2-es értéket végtelenül sokszor elveszi. ${\ displaystyle g_ {n}}$ $\ log (n)$

A prímszámok között a leggyakoribb különbség először 2, majd 6, és feltételezzük, hogy ekkor 30, 210, 2310, ... azaz a p n ősei lesznek .

Megjegyzések és hivatkozások

GH Hardy és EM Wright ( angol fordítás : F. Sauvageot), Bevezetés a számok elméletébe [" Bevezetés a számok elméletébe "], Párizs / Heidelberg, Vuibert - Springer ,2007, 568 p. ( ISBN 978-2-7117-7168-4 ) , p. 6.és Édouard Lucas , A számok elmélete ,1891( online olvasható ) , p. 359-361(referencia: Hardy és Wright 2007 , 12. o. ).
Bruno Duchesne: „ Két nagy előrelépés a prímszámok körül ” , a matematika képeiről ,2013. július 12.
(in) Harald Cramer , " A nagyságrendi különbség entre egymást követő prímszám " , Acta Arithmetica , vol. 2,1936, P. 23-46.
Jean-Paul Delahaye : „ Első ikrek: ellenséges testvérek? " A tudomány számára : n o 260,1999. június, P. 7 ( online olvasható ).

Lásd is

Bonse egyenlőtlenség

Külső hivatkozás

(en) Terence Tao , „ Kis és nagy hiányosságok a prímekben (diák) ” ,2015. április