Abszorbens elem

A matematikában ( algebra ) egy belső kompozíciótörvény halmazának elnyelő eleme (vagy megengedett eleme ) ennek a halmaznak az eleme, amely az összes többi elemet elnyelő elemmé alakítja, amikor ez a törvény velük kombinálja.

Meghatározás

Vagy egy magma . Egy elem az azt mondta: (E,⋆){\ displaystyle (E, \ csillag)}nál nél{\ displaystyle a}E{\ displaystyle E}

• nedvszívó a bal oldalon, ha  ;∀x∈E, nál nél⋆x=nál nél{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, \ a \ csillag x = a}
• nedvszívó a jobb oldalon, ha  ;∀x∈E, x⋆nál nél=nál nél{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, \ x \ csillag a = a}
• abszorbens, ha abszorbens a jobb és a bal oldalon.

Tulajdonságok

Tócsában

• Magmában az abszorbens elem, ha van: (E,⋆){\ displaystyle (E, \ csillag)}
  • egyedi, ha és két abszorbens tag  ;nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nél1=nál nél1⋆nál nél2=nál nél2{\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ csillag a_ {2} = a_ {2}}
  • az idempotens  : ha nedvszívó .nál nél{\ displaystyle a}nál nél⋆nál nél=nál nél{\ displaystyle a \ csillag a = a}
• Ha a magmának van egy elnyelő eleme a bal oldalon, és egy elnyelő eleme a jobb oldalon, akkor ez a két elem egyenlő, és a magmának van egy elnyelő eleme. Valóban, ha bal oldalon nedvszívó, jobb oldalon nedvszívó, akkor .nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nél1=nál nél1⋆nál nél2=nál nél2{\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ csillag a_ {2} = a_ {2}}
• A bal vagy a jobb oldalon több abszorbens elem létezhet egy adott magmában, de ha egynél több abszorbens elem van a bal oldalon, a jobb oldalon nincs. Valóban, tegyük fel, és két abszorbens elemeket a bal oldalon, és egy nedvszívó elem jobbra . Szimmetria szerint, ha egynél több abszorbens elem van a jobb oldalon, akkor a bal oldalon nincs.nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}b{\ displaystyle b}nál nél1=nál nél1⋆b=b=nál nél2⋆b=nál nél2{\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ csillag b = b = a_ {2} \ csillag b = a_ {2}}

Gyűrűben

Egy gyűrűben ( A , +, ×) a + 0 semleges eleme abszorbens a × -ra.

Valójában minden x , y ∈ A esetén  :

• ( x × y ) + 0 = x × y = ( x + 0) × y (mert 0 + esetén semleges ), tehát
• ( x × y ) + 0 = ( x × y ) + (0 × y ) (mert × eloszlik a + -hoz képest), tehát
• 0 = 0 × y (mert a + szabályos , mint bármely csoporteloszlásban )

és (hasonlóan):

• 0 = y × 0.

Példák

• A nedvszívó elem a szorzás közötti valós számok jelentése nulla  : (ez is egy példa egy semleges eleme az első törvény a gyűrű, abszorbens a második). Hasonlóképpen, a nulla vektor egy abszorbeáló elem a kereszttermék számára , az üres halmaz pedig a halmazok metszéspontját elnyelő elem .nál nél⋅0=0⋅nál nél=0{\ displaystyle a \ cdot 0 = 0 \ cdot a = 0}
• A diszjunkció elnyelő eleme IGAZ, az együttállásé pedig HAMIS. Más szavakkal: 1 az OR függvény elnyelő eleme (vagy beleértve), a 0 pedig az ÉS függvény elnyelő eleme .
• A beállított P ( E ) a részek egy sor E , az elem E nedvszívó a találkozás .
• Az egyetlen csoport egy abszorbens eleme a triviális csoportot .
• A törvénnyel felruházott ℝ in ℝ térképkészletben a bal oldali elnyelő elemek állandó funkciók, a jobb oldalon pedig nincs elnyelő elem.(f,g)↦f∘g{\ displaystyle (f, g) \ mapsto f \ circ g}

Lásd is

• Semleges elem
• Szimmetrikus elem
• Megfordítható elem

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">