Boussinesq-egyenletek

A Boussinesq egyenletek a áramlástani jelölésére egyenletrendszert hullámosodás kapott közelítése Euler egyenletek összenyomhatatlan áramlások lehessen beállítani szabad felülete. Azt jósolják a gravitációs hullámok a hullámok cnoïdales , hullámok Stokes , hullámok , szökőárak , szolitonok , stb Ezeket az egyenleteket Joseph Boussinesq vezette be 1872-ben, és példák a diszperz parciális differenciálegyenletekre .

Euler egyenletei egy gravitációs mezőnek kitett irrotációs, összenyomhatatlan folyadékra

Mert egy lehessen beállítani a folyadékok áramlásának sebessége ered esetleges ψ. A tömöríthetetlenséget és a impulzusegyenleteket írjuk

∇2ψ=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0}ρ∂ψ∂t+12ρ(∇ψ)2+o+ρgz=0{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho \, (\ nabla \ psi) ^ {2} + p + \ rho gz = 0}

ahol ρ a sűrűség, p a nyomás, g a gravitáció és z a magasság.

Demonstráció

Az eredmények azt mutatják, hogy egy lehessen beállítani a folyadékok áramlásának sebessége ered esetleges ψ

V=∇ψ{\ displaystyle \ mathbf {V} = \ nabla \ psi}

A tömöríthetetlenség egyenletének halasztásával     azt látjuk, hogy ψ engedelmeskedik Laplace egyenletének∇⋅V=0{\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

∇2ψ=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0}

Ezután felírjuk a lendületegyenletet

ρ∂V∂t+ρ∇VV+∇o-ρg=0{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ részleges \ mathbf {V}} {\ részleges t}} + \ rho \ nabla V \, \ mathbf {V} + \ mathbf {\ nabla} p- \ rho \, \ mathbf {g} = 0}

Sőt, a gravitáció g potenciálból származik

g=-∇ϕ{\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi}

A probléma skáláján állandónak tekinthetjük g-t és írhatunk

ϕ=ϕ0+gz{\ displaystyle \ phi = \ phi _ {0} + gz}

Úgy, hogy észrevesszük,     hogy megkapjuk ∇VV=∇(V22){\ displaystyle \ nabla V \, \ mathbf {V} = \ nabla \ balra ({\ frac {V ^ {2}} {2}} \ jobbra)}

∇(ρ∂ψ∂t+12ρV2+o+ρϕ)=0{\ displaystyle \ nabla \ left (\ rho {\ frac {\ partis \ psi} {\ részleges t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} + p + \ rho \ phi \ right) = 0}

Akár az integráció állandójának ating 0-ba történő integrálásával

ρ∂ψ∂t+12ρ(∇ψ)2+o+ρgz=0{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho \, (\ nabla \ psi) ^ {2} + p + \ rho gz = 0}

A lendületegyenlet érdekes speciális eseteket tartalmaz:

• homogén közeg ψ = 0 hidrosztatikus egyensúlyhoz vezet ,
• álló közeg vezet a Bernoulli-egyenlethez .∂ψ∂t=0{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} = 0}

Ezt követően feltételezzük, hogy a sebesség elég alacsony ahhoz, hogy elhanyagoljuk a mozgási energiát. Így megkapjuk a nyomás kifejezését

o=-ρ∂ψ∂t-ρgz{\ displaystyle p = - \ rho {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} - \ rho gz}

Szabad felületű közeg

Vegyünk egy kétdimenziós problémát. S ( x ) -vel jelöljük a felület magasságát a nyugalmi értékéhez viszonyítva z = 0.

A folytonossági egyenlet mellett írhatunk egy második egyenletet a felületre a nyomás levezetésével. Figyelembe véve a hullám alacsony amplitúdójú közelítését, ezt az összefüggést z = 0-ban alkalmazzuk.

(∂2ψ∂t2+g∂ψ∂z)|z=0=0{\ displaystyle \ left. \ left ({\ frac {\ részleges ^ {2} \ psi} {\ részleges t ^ {2}}} + g {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges z}} \ jobbra) \ jobbra | _ {z = 0} = 0}

Dinamikus határfeltételt alkot .

Demonstráció

A felületet z = s határozza meg . Ellenőrzi

Vz(s,t)=∂ψ∂z|z=s=dsdt=∂s∂t+Vx∂s∂x≃∂s∂t{\ displaystyle V_ {z} (s, t) = \ balra. {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges z}} \ jobbra | _ {z = s} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}} + V_ {x} {\ frac {\ részleges s} {\ részleges x}} \ simeq {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}}}

kis amplitúdójú hullámokkal járó közelítés.

A p 0 felület nyomása igazolja

o0=-ρ∂ψ∂t|z=s-ρgs{\ displaystyle p_ {0} = - \ rho \ balra. {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} \ jobbra | _ {z = s} - \ rho gs}

akár az idő sodródásával

∂2ψ∂t2|z=s+g∂s∂t=0{\ displaystyle \ balra. {\ frac {\ részleges ^ {2} \ psi} {\ részleges t ^ {2}}} \ jobbra | _ {z = s} + g {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}} = 0}

A fent definiált egyenletet felhasználva a felületre

∂2ψ∂t2+g∂ψ∂z=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} \ psi} {\ részleges t ^ {2}}} + g {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges z}} = 0}

Ez az egyenlet a z = s felületen érvényes . Figyelembe véve a hullámok alacsony amplitúdójának hipotézisét, z = 0-nál alkalmazzák.

Ehhez a rendszerhez hozzá kell adni egy határfeltételt az aljához, ha létezik, vagy ha     másképp van. z→-∞{\ displaystyle \ textstyle z \ rightarrow - \ infty}

Az oldatot kérik formájában hullámok amplitúdója A felszínén pulzációs ω és hullámszám k

ψ(x,z,t)=B(z)ej(kx-ωt){\ displaystyle \ psi (x, z, t) = B (z) \, \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}s(x,t)=NÁL NÉLej(kx-ωt){\ displaystyle s (x, t) = A \, \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}

Az alábbiakban két konkrét esetet vizsgálunk, amelyek rávilágítanak a problémára.

Végtelenül mély környezet

Laplace egyenletének megoldása itt csökkenő exponenciális

ψ=-jgNÁL NÉLωekzej(kx-ωt){\ displaystyle \ psi = - {\ frac {jgA} {\ omega}} e ^ {kz} e ^ {j (kx- \ omega t)}}

a z = 0 egyenlet megadja a diszperziós összefüggést

ω=gk{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {gk}}}

A fázissebesség     kétszerese a csoportsebességnek   : a közeg diszperz. vo=ωk=gk{\ displaystyle \ textstyle v_ {p} = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ sqrt {\ frac {g} {k}}}}  vg=dωdk=12gk{\ displaystyle \ textstyle v_ {g} = {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} k}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {g } {k}}}}

A ψ első integrálásával megkapjuk a sebesség függőleges és vízszintes összetevőit. Egy új integráció ezután megadja a folyadék részecske azon komponenseit, amelyek igazolják

(x-nál nélNÁL NÉLekb)2+(z-bNÁL NÉLekb)2=1{\ displaystyle \ left ({\ frac {xa} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {zb} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ jobbra) ^ {2} = 1}

a és b <0 tetszőleges integrációs állandók.

Ez az egyenlet egy ( a , b ) középpontú kört ír le , amelynek A e kb sugara exponenciálisan csökken a b mélységgel (lásd az ábrát).

Demonstráció

A potenciálból kifejezzük a sebesség összetevőit

Vx=NÁL NÉLkgωekzej(kx-ωt){\ displaystyle V_ {x} = {\ frac {Akg} {\ omega}} \ mathrm {e} ^ {kz} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}Vz=-jNÁL NÉLkgωekzej(kx-ωt){\ displaystyle V_ {z} = - j {\ frac {Akg} {\ omega}} \ mathrm {e} ^ {kz} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}

Újra integrálódva, figyelembe véve a diszperziós összefüggést, megkapjuk a pályákat

x=nál nél+NÁL NÉLekbbűn⁡(ωt-kx){\ displaystyle x = a + A \ mathrm {e} ^ {kb} \ sin {(\ omega t-kx)}} z=b+NÁL NÉLekbkötözősaláta⁡(ωt-kx){\ displaystyle z = b + A \ mathrm {e} ^ {kb} \ cos {(\ omega t-kx)}}

A kifejezések átrendezésével és a két kifejezés négyzetének összegzésével jön

(x-nál nélNÁL NÉLekb)2+(z-bNÁL NÉLekb)2=1{\ displaystyle \ left ({\ frac {xa} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {zb} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ jobbra) ^ {2} = 1}

Lapos aljú

A z = -h magasságban elhelyezkedő fenék esetében Laplace egyenletének megoldása az

ψ=-jgNÁL NÉLωkényelmes⁡(kh)kényelmes⁡[k(h+z)]ej(kx-ωt){\ displaystyle \ psi = - {\ frac {jgA} {\ omega \ cosh {(kh)}}} \ cosh {[k (h + z)]} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}

és a diszperziós reláció

ω2=gktanh⁡(kh){\ displaystyle \ omega ^ {2} = gk \ tanh {(kh)}}

A sekély víz határában a hullámhosszunk előtt

kh<<1⇒tanh⁡(kh)≃kh{\ displaystyle kh << 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ tanh {(kh)} \ simeq kh}

honnan

ω=kgh{\ displaystyle \ omega = k {\ sqrt {gh}}}

amely a sebességgel történő terjedést írja le     : a közeg nem diszpergáló. vs.=gh{\ displaystyle c = {\ sqrt {gh}}}

Ebben az esetben a folyadékrészecskék pályái ellipszisek (lásd az ábrát), amelyeknek a két féltengely aránya     : mélységgel a mozgás szinte állandó magasságban gyorsan oda-vissza mozgássá válik. tanh⁡[k(b+h)]{\ displaystyle \ textstyle \ tanh {[k (b + h)]}}

Demonstráció

A potenciálból kifejezzük a sebesség összetevőit

Vx=NÁL NÉLkgωkényelmes⁡(kh)kényelmes⁡[k(h+z)]ej(kx-ωt){\ displaystyle V_ {x} = {\ frac {Akg} {\ omega \ cosh {(kh)}}} \ cosh {[k (h + z)]} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}} Vz=-jNÁL NÉLkgωsinh⁡(kh)kényelmes⁡[k(h+z)]ej(kx-ωt){\ displaystyle V_ {z} = - j {\ frac {Akg} {\ omega \ sinh {(kh)}}} \ cosh {[k (h + z)]} \ mathrm {e} ^ {j (kx - \ omega t)}}

Újra integrálódva, figyelembe véve a diszperziós összefüggést, megkapjuk a pályákat

x=nál nél-NÁL NÉLkényelmes⁡[k(h+b)]bűn⁡(ωt-kx)khkényelmes⁡(kh){\ displaystyle x = a - {\ frac {A \ cosh {[k (h + b)]} \ sin {(\ omega t-kx)}} {kh \ cosh {(kh)}}}}z=b+NÁL NÉLsinh⁡[k(h+b)]kötözősaláta⁡(ωt-kx)khkényelmes⁡(kh){\ displaystyle z = b + {\ frac {A \ sinh {[k (h + b)]} \ cos {(\ omega t-kx)}} {kh \ cosh {(kh)}}}}

A kifejezések átrendezésével és a két kifejezés négyzetének összegzésével jön

(x-nál nélBkényelmes⁡[k(h+b)])2+(z-bBsinh⁡[k(h+b)])2=1,B=NÁL NÉLkhkényelmes⁡(kh){\ displaystyle \ left ({\ frac {xa} {B \ cosh {[k (h + b)]}}}} jobbra) ^ {2} + \ left ({\ frac {zb} {B \ sinh { [k (h + b)]}}} \ jobbra) ^ {2} = 1 \ ,, \ qquad B = {\ frac {A} {kh \ cosh {(kh)}}}}

Meg kell jegyezni, hogy ez a rendszer olyan közegnek felel meg, amelyben a hidrosztatikai egyensúly legalább első rendben ellenőrizhető. A Barré de Saint-Venant egyenletek írják le .

Stokes sodródik

Linearizáltuk a határfeltételt a felületen, z = 0-ra csökkentve . A valóságban van egy Stokes-sodrási sebesség, amely a felülettel párhuzamos folyadékrészecskék alacsony átlagsebessége (lásd az ábrákat). Értéke nagyon általános szempontok alapján becsülhető meg

VS=1vs.T∫0T|∇ψ|2dt{\ displaystyle V_ {S} = {\ frac {1} {cT}} \ int _ {0} ^ {T} | \ nabla \ psi | ^ {2} \ mathrm {d} t}

ahol T a folyadékrészecske forgási periódusa.

A végtelenül mély közeg esetében

VS=kgNÁL NÉL2vs.e-2kb{\ displaystyle V_ {S} = {\ frac {kgA ^ {2}} {c}} e ^ {- 2kb}}

A sodródás az amplitúdó négyzetének és a hullámhossz inverzének függvényében változik. A mélységgel gyorsan csökken.

Demonstráció

A c sebességgel mozgó síkhullámot az egyenlet írja le

∂ψ∂t+vs.∇ψ=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} + c \, \ nabla \ psi = 0}

Legyen x ( t ) a folyékony részecske helyzete. Engedelmeskedik a Lagrang-egyenletnek

DxDt=V=∇ψ{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {x}} {Dt}} = \ mathbf {V} = \ nabla \ psi}

honnan

∂ψ∂t=DψDt-V⋅∇ψ=-vs.DxDt{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} = {\ frac {D \ psi} {Dt}} - \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ psi = -c \, {\ frac {D \ mathbf {x}} {Dt}}}

Végül

vs.DxDt=-DψDt+∇ψ⋅∇ψ{\ displaystyle c \, {\ frac {D \ mathbf {x}} {Dt}} = - {\ frac {D \ psi} {Dt}} + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ psi}

A T periódusnak megfelelő időszak integrálásával megkapjuk az elmozdulást

vs.[x(t+T)-x(t)]=-ψ(x,t+T)+ψ(x,t)+∫0T|∇ψ(x(t))|2dt{\ displaystyle c \ left [\ mathbf {x} (t ​​+ T) - \ mathbf {x} (t) \ right] = - \ psi (\ mathbf {x}, t + T) + \ psi ( \ mathbf {x}, t) + \ int _ {0} ^ {T} | \ nabla \ psi (\ mathbf {x} (t)) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t}

Terjedés

Általános esetben a hullámot az írja le

s(x,t)=∫-∞+∞ej(kx-ωt)F(k)dk{\ displaystyle s (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)} F (k) \ mathrm {d} k }

ahol F a kezdeti feltételt jelenti. Az integráció bonyolult, mivel ω k-tól függ, és az integrálandó funkció végtelenül oszcillál.

Demonstráció

A megoldás a lineáris rendszer ψ van kapunk Fourier integrál

s(x,t)=∫-∞+∞[ej(kx-ωt)F+(k)+ej(kx+ωt)F-(k)]dk{\ displaystyle s (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left [\ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)} F _ {+} (k ) + \ mathrm {e} ^ {j (kx + \ omega t)} F _ {-} (k) \ jobb] \ mathrm {d} k}

Az F ± függvényeket az s kezdeti feltételek és annak időderiváltja rögzítik (ne feledje, hogy ω k-tól függ )

s(x,0)=∫-∞+∞[F+(k)+F-(k)]ejkxdk{\ displaystyle s (x, 0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ bal [F _ {+} (k) + F _ {-} (k) \ right] \ mathrm { e} ^ {jkx} \ mathrm {d} k}∂s(x)∂t|t=0=-j∫-∞+∞[F+(k)-F-(k)]ωejkxdk{\ displaystyle \ bal. {\ frac {\ részleges s (x)} {\ részleges t}} \ jobb | _ {t = 0} = - j \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ balra [F _ {+} (k) -F _ {-} (k) \ jobbra] \ omega \ mathrm {e} ^ {jkx} \ mathrm {d} k}

Ha s ( x , 0) = s 0 ( x ) és egy nulla idő deriváltat veszünk , akkor     és F+=F-≡F{\ displaystyle F _ {+} = F _ {-} \ equiv F}

s0(x)=2∫-∞+∞Fejkxdk⇒F(k)=14π∫-∞+∞s0e-jkxdx{\ displaystyle s_ {0} (x) = 2 \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} F \ mathrm {e} ^ {jkx} \ mathrm {d} k \ qquad \ Rightarrow \ qquad F ( k) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s_ {0} \ mathrm {e} ^ {- jkx} \ mathrm {d} x}

és

s(x,t)=∫-∞+∞ej(kx-ωt)F(k)dk{\ displaystyle s (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)} F (k) \ mathrm {d} k }

Megtalálható azonban megoldás a hiperbolikus tangens kifejlesztésével kapott ω közelítéséből kiindulva. Mert k kicsi

ω=kvs.01-13(kh)2≃kvs.0-γk3,vs.0=gh,γ=h2vs.06.{\ displaystyle \ omega = kc_ {0} \, {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {3}} (kh) ^ {2}}} \ simeq kc_ {0} - \ gamma k ^ {3 } \ ,, \ quad c_ {0} = {\ sqrt {gh}} \ ,, \ quad \ gamma = {\ frac {h ^ {2} c_ {0}} {6}}}

Tehát, a stacionárius fázis módszer , hogy  x≃vs.0t{\ displaystyle x \ simeq c_ {0} t}

s(x,t)=F(k=0)∫-∞+∞ej[k(x-vs.0t)+γk3t]dk{\ displaystyle s (x, t) = F (k = 0) \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j [k (x-c_ {0} t) + \ gamma k ^ {3} t]} \ mathrm {d} k}

A megoldás egy Airy funkció, amelyet a

NÁL NÉLén(z)=12π∫-∞+∞ej(sz+13s3)ds=1π∫0∞kötözősaláta⁡(sz+13s3)ds{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j (sz + { \ frac {1} {3}} s ^ {3})} \ mathrm {d} s = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos {(sz + {\ frac {1} {3}} s ^ {3})} \ mathrm {d} s}

és így     jön s=kα,z=x-vs.0tα,α=(3γt)13{\ displaystyle \ textstyle s = k \ alpha \ ,, \ quad z = {\ frac {x-c_ {0} t} {\ alpha}} \ ,, \ quad \ alpha = \ bal (3 \ gamma t \ jobbra) ^ {\ frac {1} {3}}}

s(x,t)=2πF(0)αNÁL NÉLén(x-vs.0tα){\ displaystyle s (x, t) = {\ frac {2 \ pi F (0)} {\ alpha}} \ mathrm {Ai} \ bal ({\ frac {x-c_ {0} t} {\ alpha }} \ jobb)}

A hullámot egy csoportsebességgel terjedő front képezi, majd olyan hullámok következnek, amelyek amplitúdója aszerint csökken  (-z)14{\ displaystyle \ textstyle (-z) ^ {\ frac {1} {4}}}

Hivatkozások

1. J. Boussinesq , "A  vízszintes, téglalap alakú csatornán terjedő hullámok és örvények elmélete, amely a csatornában lévő folyadékkal lényegében azonos sebességgel kommunikál a felszíntől az aljáig  ", Journal of Pure and Applied Mathematics , repülés.  17,1872, P.  55–108 ( online olvasás )
2. (a) Lev Davidovich Landau és Jevgenyij Mihajlovics Lifshitz , kötet 6. pálya Elméleti Fizikai: Fluid Mechanics , Pergamon Press 1987 http://users-phys.au.dk/srf/hydro/landau+lifschitz.pdf
3. Michel Talon, „  Ondes de surface  ” , az LPTHE Párizs VI Egyetemen ,2006
4. G. Roullet, "  Hullámok geofizikai folyadékok  " , a University of Brest ,2012
5. (in) GB Whitham , lineáris és nemlineáris hullámok , Wiley ,1974, 636  p. ( ISBN  978-0-471-35942-5 , online olvasás )
6. "  Fourier-transzformáció  " , az INSA Toulouse-on

• (en) Graham W. Griffiths és William E. Schiesser, „  Lineáris és nemlineáris hullámok  ” , a Scholarpedia

Lásd is

• Korteweg és Vries egyenlet
• Whitham egyenlete
• Hullám
• Zsivány hullám

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">