Stokes hullám

A Stokes hullámok a tenger felszínén tapasztalt gravitációs hullámok, a hullámok . Megtalálták Euler-féle egyenletek megoldását egy gravitációs mezőnek kitett szabad felülettel rendelkező irrotációval összenyomhatatlan folyadékra, amelyeket George Gabriel Stokes kapott a perturbációk elmélete alapján 1847-ben egy végtelen mélységű közeg esetén.

Gravitációs hullámok

Euler egyenletei egy gravitációs mezőnek kitett irrotációs, összenyomhatatlan folyadékra

Mert egy lehessen beállítani a folyadékok áramlásának sebessége ered esetleges $ψ$ . A tömöríthetetlenséget és a impulzusegyenleteket írjuk

{\ displaystyle [1] \ quad \ nabla ^ {2} \ psi = 0}

{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho \, (\ nabla \ psi) ^ {2} + p + \ rho gz = 0}

ahol $ρ$ a sűrűség, $p$ a nyomás, $g$ a gravitáció és $z$ a magasság.

Demonstráció

Az eredmények azt mutatják, hogy egy lehessen beállítani a folyadékok áramlásának sebessége ered esetleges $ψ$

{\ displaystyle \ mathbf {V} = \ nabla \ psi}

A tömöríthetetlenség egyenletének halasztásával azt látjuk, hogy $ψ$ engedelmeskedik Laplace egyenletének ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0}

Ezután felírjuk a lendületegyenletet

{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ részleges \ mathbf {V}} {\ részleges t}} + \ rho \ nabla V \, \ mathbf {V} + \ mathbf {\ nabla} p- \ rho \, \ mathbf {g} = 0}

Sőt, a gravitáció $g$ potenciálból származik

{\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi}

A probléma skáláján állandónak tekinthetjük $g-t$ és írhatunk

{\ displaystyle \ phi = \ phi _ {0} + gz}

Úgy, hogy észrevesszük, hogy megkapjuk ${\ displaystyle \ nabla V \, \ mathbf {V} = \ nabla \ balra ({\ frac {V ^ {2}} {2}} \ jobbra)}$

{\ displaystyle \ nabla \ left (\ rho {\ frac {\ partis \ psi} {\ részleges t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} + p + \ rho \ phi \ right) = 0}

Akár az integráció állandójának $ϕ$ $0-ba$ történő integrálásával

{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho \, (\ nabla \ psi) ^ {2} + p + \ rho gz = 0}

Szabad felületű közeg

Kétdimenziós probléma összefüggésében $s ( x )$ jelöljük a felület magasságát a nyugalmi értékéhez viszonyítva $z = 0$ .

A fenti egyenlet a felszínre van írva

{\ displaystyle [2] \ quad \ rho {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho \, (\ nabla \ psi) ^ {2} + \ rho gs = -p_ {0} \ quad \ mathrm {en} \; z = s}

ahol $p 0$ a légköri nyomás.

Ezt a felületet a kinematikai egyenlet írja le

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}} + V_ {x} {\ frac {\ részleges s} {\ részleges x}} = V_ {z} \ quad \ Rightarrow [3] \ quad \ quad {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}} = {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges z}} - {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges x}} {\ frac {\ részleges s} {\ részleges x}}}

Ezenkívül felírjuk a kinematikai állapotot alul $z = - h ( x )$

{\ displaystyle V_ {z} + V_ {x} {\ frac {\ részleges h} {\ részleges x}} = {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges z}} + {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges x}} {\ frac {\ részleges h} {\ részleges x}} = 0}

Az utólagosan alkalmazott lapos aljzat esetében megvan

{\ displaystyle [4] \ quad {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges z}} = 0.}

Periodikus megoldások

Megoldást keresünk az [1], [2], [3], [4] egyenletek alkotta rendszerre progresszív periodikus hullámok formájában

{\ displaystyle s = s (\ theta) \ ,, \ quad \ psi = \ psi (z, \ theta) \ ,, \ quad \ theta = kx- \ omega t = k (x-ct)}

ahol $θ$ a fázisa a hullám, $k$ a hullámok száma , és $C$ a fázis sebességét .

A $s$ , használjuk a Fourier-sor tágulási körül a nyugalmi oldatot ( $s = 0$ )

{\ displaystyle s = a \ cos (\ theta) + \ mu _ {2} a ^ {2} \ cos (2 \ theta) + ...}

ahol $a$ az amplitúdó.

Ez megfelel az alábbi fejlesztés $ψ$ , által javasolt megoldás a linearizált probléma

{\ displaystyle \ psi = \ nu _ {0} \, a ^ {2} t + \ nu _ {1} \, a \ sin {\ theta} + \ nu _ {2} \, a ^ {2} \ sin {2 \ theta} \ cosh (2k (z + h_ {0}) + ...)}

Mert $ω$ , úgy döntünk, még formája az amplitúdó összeegyeztethető a periodicitás $s$ ( $ψ$ nem feltétlenül periodikus)

{\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} (k) + a ^ {2} \ omega _ {2} (k) + ...}

A rendszer másodrendűre korlátozott megoldása a következő eredményekhez vezet

diszperziós reláció

{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {gk \ tau}} = 1+ \ bal ({\ frac {9 \ tau ^ {4} -10 \ tau ^ {2} +9} {8 \ tau ^ {4}}} jobbra) k ^ {2} a ^ {2} + ... \ ,, \ qquad \ tau = \ tanh {kh_ {0}}}

fejlettségi együtthatók $s-hez$

{\ displaystyle \ mu _ {2} = ka {\ frac {3- \ tau ^ {2}} {4 \ tau ^ {3}}}}

μ 2

a hullám első két komponensének amplitúdója.

fejlesztési koefficiensek $ψ$

{\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {gk} {2 \ sinh (kh_ {0})}} \ ,, \ qquad \ nu _ {1} = {\ frac {\ omega _ {0} } {k \ sinh (kh_ {0})}} \ ,, \ qquad \ nu _ {2} = {\ frac {3 \ omega _ {0}} {\ sinh ^ {4} (kh_ {0}) }}}

Fázissebesség

{\ displaystyle c = {\ frac {g \ tau} {k}}}

A megoldások tulajdonságai

Különösen van

mély vízben ( $kh 0 \to \infty$

{\ displaystyle kh_ {0} \ rightarrow \ infty \ ,, \ quad \ omega ^ {2} \ simeq gk [1+ (ka) ^ {2}] \ ,, qquad \ qquad \ quad \ mu _ {2 } \ simeq {\ frac {1} {2}} ka}

A megközelítés alacsony amplitúdójú hullámmagasságokra érvényes a hullámhossz előtt

{\ displaystyle \ mu _ {2} << 1 \ quad \ Rightarrow \ quad a << \ lambda}

ahol

λ = 2π / k

a hullámhossz.

sekély vízben $kh 0 \to 0$

{\ displaystyle kh_ {0} \ rightarrow 0 \ ,, \; \; \ quad \ omega ^ {2} \ simeq gh_ {0} k ^ {2} \ left [1 + {\ frac {9 (ka) ^ {2}} {8 (kh) ^ {4}}} \ jobbra] \ ,, \ qquad \ mu _ {2} \ simeq {\ frac {3} {32 \ pi ^ {2}}} \, { \ mathcal {U}} \ ,, \ quad {\ mathcal {U}} = {\ frac {H \ lambda ^ {2}} {h_ {0} ^ {3}}}}

ahol U a száma Ursell . Sekély víz esetén a megközelítés akkor alkalmazható, amikor

{\ displaystyle \ mu _ {2} << 1 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ mathcal {U}} << {\ frac {32 \ pi ^ {2}} {3}} \ simeq 100}

Egyéb tulajdonságok

Az 5. megrendelésig vannak megoldások egy fejlesztésre.
A megközelítés használható álló vagy véletlenszerű hullámokra .
Tullio Levi-Civita demonstrálta az alacsony amplitúdójú és a végtelen mélységű közepes hullámokra alkalmazott fejlemények konvergenciáját. Ezt az eredményt Dirk Jan Struik véges mélységű médiára is kiterjesztette .
Thomas Brooke Benjamin és Jim E. Feir megmutatta a megoldás instabilitását nagy mélységekben. A Benjamin-Feir instabilitása furcsa hullám kialakulásához vezethet .

Hivatkozások

(in) GG Stokes , " Az oszcillációs hullámok elméletéről " , Cambridge Philosophical Society tranzakciói , vol. 8,1847, P. 441–455 ( online olvasás )
(in) GG Stokes , " Kiegészítés az oszcillációs hullámok elméletéről szóló tanulmányhoz " , Cambridge University Press ,1880, P. 314-326 ( online olvasás )
(en) Lev Davidovich Landau és Jevgenyij Mihajlovics Lifshitz , kötet 6. pálya Elméleti Fizikai: Fluid Mechanics , Pergamon Press , 1987 [1]
(en) Gerald B. Whitham , Lineáris és nemlineáris hullámok , John Wiley & Sons ,1974( ISBN 978-0-4713-5942-5 , online olvasás )
Michel Talon, „ Felszíni hullámok ” , az LPTHE Párizs VI Egyetemen ,2006
(in) SC From, " Hozzájárulások a Stokes hullámok elméletéhez " , Cambridge Philosophical Society Matematikai Proceedings , vol. 51, n o 4,1955, P. 713–736
(in) A. Grant, " Maximális magasságú álló Stokes hullámok " , Journal of Fluid Mechanics , vol. 60, n o 3,1973, P. 593–604
(a) Michel K. Ochi, " Hurricane-Generated Seas " , Elsevier ,2003, P. 119 ( ISBN 9780080443126 )
(in) MA Tayfun, " Keskeny sávú nemlineáris tengeri hullámok " , Journal of Geophysical Research , vol. 85, n ° C3,1980, P. 1548–1552
Tullio Levi-Civita , " Véges nagyságrendű állandó hullámok szigorú meghatározása ", Mathematische Annalen , vol. 93,1925, P. 264–314 ( online olvasás )
Dirk Jan Struik , „ A periodikus irrotációs hullámok szigorú meghatározása véges mélységű csatornában ”, Mathematische Annalen , vol. 95, n o 1,1926, P. 595–634 ( online olvasás )
(in) Brooke Benjamin és Jim E. Feir, " felbomlása Deep Water Wave-vonatokat. 1. rész Elmélet ” , Journal of Fluid Mechanics , vol. 27, n o 3,1967, P. 417-430 ( online olvasás )
(in) Kristian Dysthe Harald E. Krogstad és Peter Müller, " Oceanic Rogue Waves " , Fluid Mechanics Annual Review , vol. 40,2008, P. 287-310

(en) Graham W. Griffiths és William E. Schiesser, „ Lineáris és nemlineáris hullámok ” , a Scholarpedia

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Stokes hullám " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Lásd is