A halmazelméletben a halmaz részeinek halmaza , amely a metszés , az egyesülés és a komplementhez való áthaladás műveleteivel van felszerelve, logikai algebrai szerkezettel rendelkezik . Ebből más műveletek is levezethetők, például a beállított különbség és a szimmetrikus különbség ...
A halmazok algebra ezeknek a műveleteknek az aritmetikáját tanulmányozta (lásd azokat a műveleteket, amelyek nem hagyják állandónak az egész részeket, a " Műveleti összeállítási lista " c .
Az egész cikkben a készletek tekinthető mind kéne venni egy adott halmaz U . Az inklúzió egy „ ()” vagy „⊆” jellel jelölt (részleges) sorrend-reláció , amelyet az U részek halmazán határozunk meg , P ( U ):
A ⊂ B akkor és csak akkor, ha ∀ x ∈ U ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ).Az egyenlőséget az extenzivitás határozza meg, két halmaz egyenlő, ha ugyanazokkal az elemekkel rendelkeznek, vagyis:
A = B akkor és csak akkor, ha ∀ x ∈ U ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ).vagy
A = B , ha, és csak akkor, ha A ⊂ B és B ⊂ A .A következő tulajdonságok tehát megfelelnek az egyenlőségek vonatkozásában a propozíciós számítás egyenértékűségének, amelyből levezetik őket. Venn-diagramokkal vizualizálhatók , amely vázlatos módon leírható az összes lehetséges eset, amikor egy elem véges (és kellően csökkentett) halmazszámú tagsághoz tartozik, és amelyek emiatt lehetővé tehetik a demonstrációk egyenlőségének vagy befogadásának leírását is.
Hasonlóképpen, a zárványok következményekké válnak.
A Unió halmaza az A és B , amelyek jelölése " A U B " (helyesen: " A Union B "), a készlet tartozó elemek A vagy B :
ami azt jelenti :
x ∈ A ∪ B , ha, és csak akkor, ha x ∈ A vagy x ∈ B . TulajdonságokAz unióval ellátott U halmaz a következő tulajdonságokkal rendelkezik ( U összes A , B , C részhalmazára vonatkozóan ):
A készlet A ∪ B van a felső kötve a felvételét a két A és B , vagyis tartalmaz A és B , és ez tartalmazza bármely csoportja tartalmazó A és B :
Ezért az értekezleten meghatározzák a befogadást:
A ⊂ B akkor és csak akkor, ha A ∪ B = B .A metszéspontja halmaza az A és B , amelyek jelölése „ A ∩ B ” (helyesen: „ A inter B ”) a készlet elemei A amelyek szintén elemei B , nevezetesen:
ami azt jelenti :
x ∈ A ∩ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A és x ∈ B .Két halmazt, amelyeknek nincs közös elemük, azaz kereszteződésük üres, diszjunktnak mondják .
TulajdonságokA kereszteződés tulajdonságai hasonlóak az unióéhoz. Azt mondjuk, hogy ezek kettősek, mert úgy kapjuk meg őket, hogy az unió előjelét a metszés helyére cseréljük, és ha szükséges, ∅ és U cseréjével , a befogadással és annak kölcsönösségével. Minden részhalmaza A , B , C az U már a következő tulajdonságokkal:
A készlet A ∩ B jelentése az alsó korlát a felvételét a két A és B , vagyis tartalmazza A és B , és hogy tartalmaz-e a készlet tartalmaz ugyanabban az időben a A és B :
Ez lehetővé teszi, hogy a befogadást ezúttal a metszésponttól kezdve meghatározzuk:
A ⊂ B akkor és csak akkor, ha A ∩ B = A .Az egyesülés és a metszés két művelete disztributív az egyik a másikhoz viszonyítva, vagyis az A , B , C összes halmazra a következő két tulajdonságunk van :
Az első egyenlőség mindkét oldalán van egy halmaz, és meg akarjuk mutatni, hogy ezek a halmazok egyenlőek, vagyis azt mutatják, hogy bármely elem csak akkor tartozik az elsőhöz, ha a másodikhoz tartozik. Megjegyzés rendre egy , b , c javaslatok , , . Szerint a disztributivitás a tekintetében (ami tudjuk ellenőrizni egy igazság táblázatot ) van
amely pontosan a kívánt ekvivalenciát fordítja le:
A második egyenlőség bemutatása azonos, cserével és .
Lehetséges általánosítani az újraegyesítést véges számú halmazra: visszatérünk két halmaz esetéhez egymást követő bináris újraegyesítéssel, és az újraegyesítés asszociativitása biztosítja, hogy a sorrend nem számít. Ugyanígy a kereszteződéshez is.
De az is lehetséges, hogy általánosítani ezeket a műveleteket egy nem feltétlenül véges család készletek.
A szakszervezet egy családi készlet határozza meg:
.Ez a meghatározás nem függ U-tól . Egy üres család újraegyesítése az üres egész.
A kereszteződés egy családi készlet határozza meg:
.A fenti meghatározás nem függ az U halmazától, kivéve, ha a család üres. ez utóbbi esetben az üres család metszéspontja definíció szerint az U referenciahalmaz , amely továbbra is kompatibilis a metszés tulajdonságával. Nem definiálhatjuk „abszolútban” (referenciahalmaz nélkül) egy üres család metszéspontját.
Az egyesülés és a bináris kereszteződés néhány tulajdonsága a végtelen esetre általánosít. Most a predikátumok (és már nem csak a propozíciós) számításának tulajdonságai forognak kockán.
Referenciaként U adott, a komplementer a részhalmaza A , hogy U (azaz képest U ) van a beállított elemek U , amelyek nem tartoznak az A . Ez jelöli U - A , A , A c , vagy akár :
ami azt jelenti
x ∈ A c , ha, és csak akkor, ha x ∈ U és X ∉ A .A komplementere A függ a beállított referencia U . A két egyenlőség is jellemzi:
A ∩ A c = ∅ és A ∪ A c = U .A további passzálás művelet leépülési azaz ( A c ) C = A .
A komplementerre való váltás megfordítja az inklúziós viszonyt:
A ⊂ B akkor és csak akkor, ha B c ⊂ A cés ezért kicseréli a találkozást és a kereszteződést, amelyek a felső és az alsó határok, ezek De Morgan törvényei :
( A ∩ B ) c = A c ∪ B c ; ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c .Egy rendezett struktúrát, amely - hasonlóan U bináris újraegyesítési és metszési műveletekkel ellátott halmazához - , a komplementhez való átadás művelete, valamint a két megkülönböztetett elem ∅ és U kielégíti ezen műveletek mostanáig felsorolt tulajdonságait. Logikai algebra .
A beállított különbség az A és a B jelölt „ A \ B ” (helyesen: „ A mínusz B ”) a készlet elemeit Egy , amelyek nem tartoznak a B , nevezetesen:
.A különbség az A és B az U meghatározása a komplementer A ∩ B C , majd ( A ∩ B c ) C = A C ∪ B .
Ha B szerepel A , akkor A \ B is írva „ A - B ” (olvassa újra „ A mínusz B ”), és az úgynevezett komplementer a B az A (vagy relatíve az A ). Fent találjuk a komplementer fogalmát, amely az U-hoz képest komplementer :
. A különbség tulajdonságaiNekünk van :
x ∈ A \ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A és x ∉ B x ∉ A \ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A ⇒ x ∈ Bés aztán :
A \ B = ∅ akkor és csak akkor, ha A ⊂ B .A különbség tulajdonságai annak meghatározásából, valamint a metszéspont és a komplementer egyesüléséből származnak. Például az első, amely ezt követi, kereszteződések sorozata, míg a második egy De Morgan-törvényt és a kereszteződés unión való eloszlását használja.
.
A szimmetrikus különbség az A és B , amelyek jelölése „ A Δ B ” (helyesen: „ A delta B ”) a készlet elemek tartoznak, akár a A , vagy a B , de nem mindkettő ugyanabban az időben. Ez az A ∪ B és A ∩ B különbsége . Különböző formákban írható:
.Nekünk van :
x ∈ A Δ B csak akkor, ha x ∈ A vagy x ∈ B (vagy kizárólagos) x ∉ A Δ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A ⇔ x ∈ Bígy két halmaz szimmetrikus különbsége csak akkor üres, ha a két halmaz egyenlő:
A Δ B = ∅ akkor és csak akkor, ha A = B . A szimmetrikus különbség tulajdonságaiA készlet részeit U ellátva a szimmetrikus különbség művelet egy kommutatív csoport , a ∅ semleges elem, és ahol minden egyes részhalmaza U jelentése a saját ellentétes, azaz, hogy az összes alatti -sets A , B , C a U , megvan:
Ennek egyik következménye, a rendszeresség: ha A Δ B = A Δ C , akkor B = C .
Az U részek halmaza, a szimmetrikus különbség mellett, a metszéssel egy egységes kommutatív gyűrű , vagyis a metszés asszociativitási és kommutativitási tulajdonságai mellett, és hogy U semleges elem
A szimmetrikus különbség az unióval ellentétben nem disztributív a kereszteződés tekintetében.
A Boole-algebrák általános tulajdonsága, hogy a szimmetrikus különbségként definiált művelet (az unióval a metszéspont és a komplementerig való áthaladás) lehetővé teszi egy gyűrűszerkezet definiálását, amelyet néha logikai gyűrűnek is hívnak. Az összes logikai algebra közös tulajdonságait a következőképpen ellenőrizzük:
A c = U Δ A , és ezért A c Δ A = U .vagy ( A Δ B ) c = A c Δ B = A Δ B c .
Axiomatikus szempontból a halmazelméletben mindaz, ami megelőzi, az extenzivitás (két halmaz egyenlőségének) axiómájából fejlődik ki , amely különösen garantálja a bevezetett konstrukciók és a megértés axiómáinak egyediségét , amely garantálja létezésüket. , az összes bevezetett halmaz egy adott U halmaz részhalmazaként van meghatározva.