A matematika és a számelmélet , a adelic gyűrű , vagy Adele gyűrű , egy topológiai gyűrűt tartalmazó területén a racionális számok (vagy, általánosabban, a mező az algebrai számok ), épített felhasználásával az egész test kiegészítései.
Az "adele" szó az "additiiv idele" ("additiiv idele") rövidítése. Az a tény, hogy ez egy francia női keresztnév is, a burbakista szellemre jellemző . Az adeleket 1950 előtt nevezték értékelési vagy elosztási vektoroknak.
A profinite befejezése az egész számok a projektív határérték (vagy inverz határérték) a Z / n Z gyűrűk :
A kínai fennmaradó tétel szerint izomorf az összes p -adikus egész szám szorzatával :
a jobb oldalt ellátják a termék topológiájával.
Az egész számok adelikus gyűrűje a következő :
A racionális számok adelikus gyűrűje a skalároktól az összes racionális számig terjed , azaz a tenzor szorzata:
topologizálták, hogy a nyílt alárendelés. Pontosabban, a topológia alapját a forma halmazai adják
ahol U egy nyílt halmaza , S egy véges prímkészlet és egy nyitott halmaza . A adelic topológia finomabb, mint, hogy által indukált terméket topológia a .
Általánosabban véve egy tetszőleges K algebrai számmező adelikus gyűrűje a tenzor szorzat
topologizált a deg ( K ) példányainak szorzataként .
A racionális számok adelikus gyűrűje korlátozott szorzatként is definiálható ( fr )
az összes p- adikus befejezés és valós szám, vagy más szavakkal, az összes racionális befejezés korlátozott szorzata. Ebben az esetben a korlátozott termék azt jelenti, hogy egy Adele minden olyan p a p-adikus egészek , kivéve véges számú őket.
A függvénytest adele gyűrűje egy véges test felett hasonló módon határozható meg, mint a test összes kiteljesítésének korlátozott szorzata.
A racionális adélek lokálisan kompakt csoportot alkotnak , a racionális számok ℚ diszkrét, kompakt kompakt alcsoportot alkotnak. Az adelikus gyűrűk Fourier-transzformációkkal kapcsolatos használatát Tate dolgozatában kihasználták . Az adél additív csoport egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy izomorf a Pontryagin kettősével szemben .
Az adélek gyűrűjét sokat alkalmazzák a számelméletben , gyakran gyűrűs együtthatókként a sávokban Matrix : Az algebrai csoportok elméletével kombinálva segít az adelikus (in) (vagy az idele csoportok ) algebrai csoportok felépítésében . A csoport idels az osztály test elmélet jelenik meg, mint az a csoport, invertálható elemei a gyűrű a adeles. Ha ezt a csoportot azonosítjuk a zárt pontok halmazával úgy, hogy xy = 1, az indukált topológiával topológiai csoporttá tesszük. Meg kell jegyezni, hogy az imádók beillesztése az imádkozókba folyamatos alkalmazás, de nem merülés, és képe sem nyitott, sem zárt.
Az elmélet kidolgozásának fontos lépése a Tamagawa-szám (en) meghatározása volt egy lineáris adelikus algebrai csoport számára. Ez egy G ( A ) -val összekötő térfogatmérő , amely megmondja, hogy a G ( A ) diszkrét csoportja miként merül el az utóbbiban. A sejtés Andrew Weil (in) száma volt Tamagawa még 1 G algebrai csoport egyszerűen csatlakoztatva . Ez következett Weil által a másodfokú formák elméletének eredményeivel kapcsolatos modern kezelésből ; a demonstrációt végül Kottwitz fejezte be.
Eközben Tamagawa számának gondolata befolyásolta az abeli fajták elméletét . Úgy tűnt (és ma is látszik), hogy nem lehetséges közvetlen alkalmazkodás. A Birch és Swinnerton-Dyer sejtés kidolgozása során azonban az a megfontolás volt, hogy egy E elliptikus görbe esetében a racionális pontok csoportja összefüggésbe hozható, motiváció volt, és munkairányt adott a számszerű eredményekből a a sejtés megfogalmazása.
A legtöbb könyv a modern algebrai számelméletről, például:
en) JWS Cassels és A. Fröhlich , Algebrai számelmélet , Academic Press,1967, 366 p. ( ISBN 978-0-9502734-2-6 )