A gyűrű jellemzője

A algebra , a jellemző egy (egységes) gyűrű A meghatározás szerint a sorrendben a adalék törvény a semleges elem a multiplikatív törvény, ha ebben a sorrendben véges; ha ez a sorrend végtelen, akkor a gyűrű jellemzője definíció szerint nulla .

Az egységes gyűrű ( A , +, ×) esetében 0 A-t a "+" semleges elemének, 1 A-t pedig a "×" -nek jelöljük .

A jellemző egy gyűrű Egy tehát a legkisebb egész szám n > 0, hogy

 nem.1NÁL NÉL = 1NÁL NÉL+1NÁL NÉL+⋯+1NÁL NÉL⏟nemfeltételeket = 0NÁL NÉL {\ displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ alátét {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terms}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}

ha létezik ilyen egész szám. Ellenkező esetben (más szóval, ha 1 A végtelen sorrendű), a jellemző nulla.

Jegyzet. Ez a meghatározás összhangban áll a XXI .  Századi irodalommal . Bourbaki kifejezetten azt mondja, hogy csak akkor kell meghatározni a gyűrű jellemzőit, ha ez a gyűrű testet tartalmaz. Lang úgy véli az n által alkotott Z ideálját , hogy n .1 A = 0; Ha ez az ideális elsődleges, vagyis a forma a Z , ahol a nulla vagy egy prímszám , akkor meghatározza a jellemző A mint a szám egy . Nem határozza meg másként.

A homomorfizmus a Z a A

Van egy egyedülálló morfizmus az egységes gyűrűk származó in A ( valóban egy kezdeti tárgya a kategória gyűrűk). Definíció szerint, ha n szigorúan pozitív egész szám, akkor: f{\ displaystyle f}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

f(nem)=1NÁL NÉL+⋯+1NÁL NÉL{\ displaystyle f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,},

ahol 1 A- t n- szer megismételjük . Mivel egy euklideszi gyűrű , a kernel egy fő ideális és definíció szerint a jellegzetes az A jelentése pozitív generátor. Pontosabban kifejezve: ez az egyedi természetes természetes c szám, így a kernel az ideális . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}f{\ displaystyle f} f{\ displaystyle f}vs.Z{\ displaystyle c \ mathbb {Z}}

Tulajdonságok a gyűrűkön

• A jellemző A jelentése az egyedi egész szám, c nemnegatív, mint akár egy egységes al-gyűrű A .Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

Ez a fenti definícióból és a faktorizációs tételből következik . Különösen következtetünk:

• Ha B egy egységes al-gyűrű A , akkor A és B azonos jellemző.
• A nulla karakterisztikájú gyűrűk azok, amelyek egy egységes gyűrűt alkotnak. Ezért végtelenek.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Ez a helyzet a területen a komplex számok és az összes egység al-gyűrűk, mint például a mező a valós számok , illetve a területén a racionális számok . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Bármely teljesen rendezett gyűrűnek nulla jellemzője van.

A homomorfizmus valóban növekszik. Bármely szigorúan pozitív egész számot a gyűrű szigorúan pozitív elemére küldenek, még inkább 0-tól eltérően.Z→NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ - A} Ez például a (és egysége részgyűrűk) esetére vonatkozik . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• Az egyetlen gyűrű, amelynek karakterisztikája megegyezik 1-vel, a nullgyűrű .
• Az integrális gyűrű jellemzője nulla vagy prímszám.

Valóban, ha egy integrál gyűrű egység-algyűrűje, akkor maga is integrál, ezért c értéke nulla vagy prím.Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

• A g  : A → B morfizmusegység-egységek esetén a B jellemző elosztja az A-t .

Valójában az egységgyűrűk homomorfizmusa az összetett homomorfizmus g ∘ f . Ha p és q az A és B megfelelő jellemzői, akkor g ∘ f magja így van , vagy g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , tehát p-t tartalmaz , vagyis q osztja o . Z→B{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ - B}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}

• Ha A jelentése egy kommutatív gyűrű , és ha karakterisztikus prímszám p , akkor minden elem x, y in A , van ( x + y ) p = x p + y p . Az alkalmazás x társult x p jelentése endomorphism gyűrűt nevezett Frobenius endomorphism .

Az eredmény azonnal következik Newton binomiális képletéből és abból, hogy p osztja a kiterjesztésben megjelenő binomiális együtthatókat .

A testek tulajdonságai

Ami egy integrál gyűrűt illeti, a K mező karakterisztikája 0 vagy p prímszám . Ezen túlmenően, a második esetben, mint bármely gyűrű nem nulla jellemző p , K egy másolatát tartalmazza , amely (mivel itt p prím) egy mező: ez az egyedülálló véges mező F o és p elemekkel. Z/oZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}

• Bármely null tulajdonsággal rendelkező mező tartalmazza a .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Valóban, egy ilyen K mező már tartalmaz egy példányt (mint minden nulla karakterisztikájú gyűrűt) . Mivel K olyan terület, ezért tartalmazza a hányadostest a , azaz a mező a racionális ember. Ezért bármely testnek van egy minimális részteste , elsődleges teste , izomorf (jellemzője szerint) egy véges F p mezőre vagy a testre . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Bármely véges mező rendelkezik a karakterisztikával egy prímszámmal, a kardinális számára pedig ennek a számnak a hatványával.

Ha K véges mező, akkor annak, mint minden véges gyűrűnek, nem nulla karakterisztikája van. A fentiek alapján tehát jellemzője p prímszám, és K tartalmazza az F p mező másolatát . Valójában K egy vektortér az F p-n . Tehát annak számossága p , hogy a hatalom a dimenziója (amely tehát szükségszerűen véges, más szóval K egy véges kiterjesztése az F p ).

• Minden olyan prímszám p léteznek végtelen területeken jellemző p  :

például a területén racionális frakciók a F p vagy a algebrai lezárását az F p .

Megjegyzések és hivatkozások

1. Például (-ban) Joseph Gallian , Contemporary Abstract Albegra , Cengage Learning,2010, 656  p. ( ISBN  978-0-547-16509-7 , online olvasás ) , p.  252-253.
2. N. Bourbaki, Algebra, 4–7. Fejezet , Masson ,tizenkilenc nyolcvan egy, P.  V.2.
3. Serge Lang, Algebra , Dunod ,2004, P.  97.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">