A lényeg kinematikája
A pont kinematikája az anyagi pont mozgásának vizsgálata, függetlenül a mozgás okaitól. Lehetővé teszi a mozgás leírására használt paraméterek (helyzet, sebesség, gyorsulás stb.) És azok kifejezéseinek vagy transzformációinak összefüggéseinek tanulmányozását különböző koordinátarendszerekben vagy referenciakeret változása esetén.
A kinematika részterületét képezi , az egyetlen anyagi pontra korlátozva, amely maga a mechanika egyik ága. Ha egy test mozgásának okaitól független tanulmányozása mesterségesnek tűnhet, a pont-kinematika fogalmai és eszközei valójában elengedhetetlenek a mechanika más ágainak megközelítéséhez. Valójában ez a pontmechanikai kurzusok első fejezete, a dinamika vagy az energetika előtt .
Az anyagi pont kinematikájának alapfogalmai
A pont kinematikája lehetővé teszi az alapvető fogalmak bevezetését, amelyek lehetővé teszik az anyagi test mozgásának leírását, kezdve a legegyszerűbb esetben, az anyagi pont mozgásával.
Anyagi pont fogalma
Az anyagi pont (angolul point particle ) fogalma egy idealizációnak felel meg: úgy gondoljuk, hogy az az anyagi test, amelynek mozgását le akarjuk írni, geometriai ponttá ( M jelöléssel ) redukálódik , amelyhez e test m tömegét ( tehát mint a q elektromos töltése , ha van ilyen). Valójában ez a modell abból áll, hogy elvonja magát a test geometriai alakjától, a tömegének vagy elektromos töltésének stb. Eloszlásától. Az egyetlen megmaradt mechanikai paraméter a tömegé, amely valójában nem avatkozik be a kinematikába, amennyiben nem merül fel a mozgás okainak kérdése.
Ez a közelítés, amely nagyon összefoglalónak tűnhet, mindazonáltal a gyakorlatban két nagyon fontos esetben alkalmazható:
- ha az "igazi" anyagi test méretei nagyon kicsiek a mozgás során megtett távolsághoz képest: így a forradalom mozgása a Föld (vagy a többi bolygó) heliocentrikus vonatkoztatási rendszerében helyesen leírható a ez utóbbi egy pontanyagra, mivel a Föld átmérője ( kb. 12 000 km ) nagyon kicsi a mozgása során megtett távolsághoz (közel 1 milliárd km) képest.
- leírni egy "kiterjesztett" anyagi rendszer "átfogó" mozgását, mint egy szilárd anyag , amely nem asszimilálható anyagi ponthoz, de amelynek mozgása lebontható egy adott tárgyi pontra, a tehetetlenség középpontjára , amelyet a a szilárd anyag teljes tömege és a megfelelő mozgás a tehetetlenség középpontjához kapcsolt referenciakerethez viszonyítva. Például egy rögbi labda, amelyet gól céljára dobtak: tehetetlenségi központja meglehetősen egyszerű görbét ír le, közel a parabola ívéhez, míg a labda leggyakrabban bonyolult forgómozgással bír e mozgás során.
Referenciakeret, szóköz, időjel vagy óra
A mozgásnak relatív jellege van: mielőtt leírni tudnánk, meg kell határozni, hogy „mihez viszonyítva” tekintjük az anyagi pont elmozdulását, vagyis a tanulmány referenciakeretét . A meghatározás szerint a referenciakeret az adat egy anyagi test, vélt vagy valós, néha egy referencia szilárd , a hipotézis tekinthető mozdulatlan, és amellyel a space frame , azaz egy koordináta rendszerben mereven kapcsolódik a referencia-szilárd anyag, amely lehetővé teszi a vizsgált anyagi pont egymás utáni helyzetének és egy idő-referencia vagy óra meghatározását .
A newtoni mechanikában az időt abszolútnak tekintik, vagyis minden referenciakeretben azonos. A két különböző referenciakerethez társított két "óra" ugyanazt a műveletet fogja végezni, vagyis az idő "azonos sebességgel" telik el a két referenciakeret mindegyikében. Mindazonáltal minden óra képes változni a " dátumok kezdetének " megválasztása alapján , amely definíció szerint megfelel az időmérés kiindulópontjának választott t = 0 értéknek .
Például egy mozgó vonatban ülő személy mozgásának tanulmányozása során két referenciakeretet lehet figyelembe venni: a sínhez (vagy az állomás peronjához, a földhöz stb.) Kapcsolódó referenciakeretet. az utazó mozgásban van, és amely kapcsolódik ahhoz a kocsihoz, amelyben van, amelyben pihen.
A tárak fontos speciális esetei:
-
helyi földi referenciakeret (amelyet néha "laboratóriumnak" is neveznek) : ez egy referenciakeret, amely a Föld bármely pontjához kapcsolódik. A mindennapi életben általában a mozgásról beszélnek. Valójában végtelen számú ilyen referenciakeret létezik, és a nyelvvel való visszaéléssel beszélünk a "földi referenciakeretről", mert szigorúan véve célszerű lenne a földi referenciakeretről beszélni. ilyen és olyan pont a Földön. Ez a fajta referenciakeret mereven kapcsolódik a Földhöz, ezért a megfelelő körforgás és a Nap körüli mozgása során "megrajzolódik" vele.
-
geocentrikus referenciakeret : ez egy referenciakeret, amely a Föld tehetetlenségi középpontjához kapcsolódik, és amelyhez egy olyan űrkeretet társítunk, amelynek kezdete ezen a ponton van, és tengelyei három rögzítettnek tekintett csillagra mutatnak. Ez a referenciakeret nem kapcsolódik mereven a Földhöz: ahhoz viszonyítva a Föld forgási mozgása a pólusok tengelye körül 23 óra 56 perc 4 másodpercig tart (sziderális forgás).
-
heliocentrikus referenciakeret (az úgynevezett Kepler-féle) : ez egy referenciakeret, amely a Nap tehetetlenségi középpontjához kapcsolódik, a hozzá tartozó azonos eredetű űrkeret tengelyei szintén három állónak tekintett csillag felé mutatnak. E referenciakeret vonatkozásában a Földnek, amely asszimilálódik egy anyagi ponthoz, forradalmi mozgása van, amely nagyon nagy közelítéssel írja le az ellipszist , 365,26 napos periódussal.
-
Copernicus referenciakeret : ez a naprendszer tömegközéppontjához kapcsolt referenciakeret, amelynek űrkeretének tengelyei párhuzamosak a Kepler-referenciakerettel.
Az anyagi pont mozgásának leírása
Helyzet és pálya vektor
Adott referenciakeretet (R) jelölve , amelynek térkockájának eredete egy O pont , és amelyhez képest az M anyagi pont mozgását tanulmányozzuk , ennek a pontnak a helyzetét bármely t pillanatban a pozícióvektor :
r→=r→M/(R)(t)=OM→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {M / (R)} \ bal (t \ jobb) = {\ overrightarrow {OM}}}, (1).
A részletes jelölés csak akkor hasznos, ha a figyelembe vett tárgyi szempont és / vagy a tanulmány referenciakerete tekintetében kétértelműség merülhet fel, általában csak az egyszerűsített jelölést használják.
r→M/(R){\ displaystyle {\ vec {r}} _ {M / (R)}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
A vektor pozíciója függ a mozgás során, és a beállított egymást követő pozíciók során az időben a vége M képez görbe az úgynevezett utat az anyagi pont M . A pálya alakja a tanulmány referenciakeretétől függ.
A térbeli koordinátarendszer derékszögű koordinátáinak használatával , a hozzájuk tartozó ortonormális alapokkal, a helyzetvektor összetevőire bomlik . A függvények adatai alkotják a mozgás óránkénti egyenleteit . Ezeket a mozgásegyenletek integrálásával lehet elérni, akár analitikai, akár numerikus formában.
(e→x,e→y,e→z){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {x}, {\ vec {e}} _ {y}, {\ vec {e}} _ {z})}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}r→=xe→x+ye→y+ze→z{\ displaystyle {\ vec {r}} = x {\ vec {e}} _ {x} + y {\ vec {e}} _ {y} + z {\ vec {e}} _ {z}}x=f(t),y=g(t),z=h(t){\ displaystyle x = f (t), y = g (t), z = h (t)}
A pálya egyenletét a t kiküszöbölésével kapjuk a különböző óránkénti egyenletek között, ami a gyakorlatban nem mindig lehetséges.
Serret-Frenet trihedron - Belső leírás
Érdekes bevezetni egy speciális koordináta-rendszert, az úgynevezett Serret-Frenet trihedron (vagy Frenet- koordinátarendszer), amely lehetővé teszi az intrinsic módon történő kifejezést, vagyis egy adott koordináta-rendszertől függetlenül, a kinematikai mennyiségeket, amelyek sebesség és gyorsulás.
Ez egy mobil referenciakeretről szól , amelynek P pontja , M helyzete egy adott pillanatban, ortonormális alapvektorok , amelyeket a pálya geometriai szempontjai alapján határozunk meg. Valójában egy adott pálya orientált ívként leírt geometria szempontjából lehet , a tájolás iránya az anyagi pont elmozdulásának iránya.
(T→,NEM→,B→){\ displaystyle ({\ vec {T}}, {\ vec {N}}, {\ vec {B}})}
A pálya adott P pontján meghatározhatók a következő elemek (lásd a szemközti ábrát)
- az érintő ezen a ponton a pályára: definíció szerint ennek az érintőnek a P- nél elhelyezkedő egységvektora a mozgás irányába orientálva;T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}
- A simuló kör a P a pályára: ez a kör, amely a legközelebb áll (amely a legjobban mutatja) a görbe P , ez egyedülálló. A közepe C és sugár R rendre a görbületi középpontja , és görbületi sugara a pályán, hogy a pont a P . Definíció szerint az alapvektor vagy normális a P- ben szereplő pályára normális egységvektor , amely ezen a ponton merőleges és a C görbület középpontjára irányul ;NEM→{\ displaystyle {\ vec {N}}}T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}
- a bázis vektorban , vagy binormal , egységvektor a merőleges irány a sík a simuló kör P , által meghatározott , és az orientált oly módon, hogy egy közvetlen triéder , tehát . Ennek a vektornak a gyakorlatban kevés jelentősége van a kinematikában.B→=T→∧NEM→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {T}} \ ék {\ vec {N}}}(T→,NEM→){\ displaystyle ({\ vec {T}}, {\ vec {N}})}(T→,NEM→,B→){\ displaystyle ({\ vec {T}}, {\ vec {N}}, {\ vec {B}})}B→=T→∧NEM→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {T}} \ ék {\ vec {N}}}
Egyenes vonalú pályán a görbületi sugár ennek vége bármely pontján végtelen, és a Serret-Frenet trihedron nincs meghatározva. Ebben a triviális esetben azonban a pálya érintőjének iránya egybeesik vele, és meghatározható az érintő vektor .
T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}
Kör alakú út esetén a görbületi sugár állandó és egyenlő az út sugarával, a görbület középpontja az utat képviselő kör közepe.
Sebesség vektor
Az anyagi pont két egymást követő M és M pozíciója közötti átlagos sebességet az MM megtett távolság és a két pillanat közötti időtartam arányaként határozzuk meg . Skaláris mennyiségről van szó. Figyelembe véve az egymáshoz egyre közelebb eső időket, és ennélfogva a határig való túllépés révén lehetséges lenne meghatározni egy pillanatnyi sebességet az anyagi pont t pillanatában . Ugyanakkor ez a skaláris mennyiség, amely megfelel a mindennapi élet "sebességének" (angol sebesség ), nem elégséges kinematika, a legjobb, ha egy vektormennyiséget nevezünk, amelyet sebességvektornak (angolul sebességnek ) nevezünk .
Δt=t′-t{\ displaystyle \ Delta t = t'-t}Δt→0{\ displaystyle \ Delta t \ to 0}
Ez definíció szerint a vektor helyzetének időbeli deriváltja, amelyet a tanulmány referenciakeretében értékelünk:
v→=v→M/(R)=v→=limΔt→0MM′→Δt=(dr→dt)(R){\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v}} _ {M / (R)} = {\ vec {v}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac { \ overrightarrow {MM '}} {\ Delta t}} = \ balra ({\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} \ jobbra) _ {(R)}}.
Tehát a fizikában a sebességet egyaránt jellemzi v értéke (amely megfelel a sebesség aktuális fogalmának), és iránya (és iránya). Könnyű kimutatni, hogy ez utóbbi a pálya érintője az M pontban , mivel az előző meghatározás alapján, amikor Δt → 0 , a pálya íve a pályán lévő M érintő iránya felé mutat, és ugyanez igaz a vektorra is , a sebességvektor iránya a mozgás iránya.
MM′⌢{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ frown} {MM '}}}MM′→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {MM '}}}
A térbeli koordináta-rendszer derékszögű koordinátáinak felhasználásával a sebességvektor összetevőire bomlik , ahol stb.
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}v→=x˙e→x+y˙e→y+z˙e→z{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {x}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ dot {y}} {\ vec {e}} _ {y} + { \ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}x˙=dxdt{\ displaystyle {\ dot {x}} = {\ frac {dx} {dt}}}
Az az elképzelés, a görbe vonalú abszcissza lehet bevezetni ebben a szakaszban, így több fizikai fogalmának értelmezése a sebességvektor. Ez utóbbi definíciója szerint:
dr→=v→dt{\ displaystyle {\ vec {dr}} = {\ vec {v}} dt},
amely megfelel az infinitezimális elmozdulási vektornak dt során az anyagi pont által leírt pályán. Normája tehát megfelel annak a távolságnak, amelyet a mobil a dt alatt megtett a pálya mentén. A görbe vonalú abszcissza definíció szerint megfelel a mobil által megtett távolságnak az abszcissza eredetének választott dátum (és ezért egy pozíció) és a t dátum között , nevezetesen:
ds=‖dr→‖=‖v→‖dt=vdt{\ displaystyle ds = \ | {\ vec {dr}} \ | = \ | {\ vec {v}} \ | dt = vdt}s(t){\ displaystyle s (t)}t0{\ displaystyle t_ {0}}
s(t)=∫t0tvdt′=∫t0t(x˙2+y˙2+z˙2)dt{\ displaystyle s (t) = \ int \ korlátozza _ {t_ {0}} ^ {t} v \, \ mathrm {dt '} = \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t} {\ sqrt {\ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ right)}} \, \ mathrm { d} t}, ami azt jelenti ,
v=dsdt{\ displaystyle v = {\ frac {ds} {dt}}}így a sebesség értéke jól megfelel a sebesség aktuális elképzelésének, mint a megtett távolság pillanatnyi változása. Ez az érték nyilvánvalóan nem függ a görbe vonalú abszcisszák eredetének megválasztásától.
Következésképpen a Serret-Frenet trihedron használatával lehetséges az anyag pont sebességvektorának belső kifejezése, mivel ez szükségszerűen az érintő vektor szerint orientálódik :
T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}
v→=dsdtT→=vT→{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {ds} {dt}} {\ vec {T}} = v {\ vec {T}}}, a .
v=dsdt{\ displaystyle v = {\ frac {ds} {dt}}}
Gyorsulás vektor
A gyorsulás jelenlegi fogalma megfelel a sebességvektor értékének növekedésének. A mechanikában ez a fogalom általánosabb, mert nemcsak a sebesség értékének növekedésével felel meg, hanem ehhez hasonlóan vektoros formában is. Definíció szerint a gyorsulási vektor a sebességvektor származéka:
nál nél→=nál nél→M/(R)=dv→dt=d2r→dt2{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {M / (R)} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}}}.
Fizikailag a gyorsulási vektor leírja a sebességvektor variációit: ezek elvégezhetők értékben vagy irányban . Következésképpen lehetséges eleve egy tangenciális komponensre bomlani , ezért kollináris és leíró ennek a vektornak az értékváltozásai , valamint egy normális komponens , merőleges és leírja annak irányát.
nál nél→{\ displaystyle {\ vec {a}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
Valójában a sebességvektor belső kifejezéséből származik:
v→=dsdtT→=vT→{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {ds} {dt}} {\ vec {T}} = v {\ vec {T}}}
nál nél→=ddt(vT→)=dvdtT→+vdT→dt=dvdtT→+vdsdtdT→ds=dvdtT→+v2dT→ds{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d} {dt}} \ bal (v {\ vec {T}} \ jobb) = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec { T}} + v {\ frac {d {\ vec {T}}} {dt}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + v {\ frac {ds} {dt }} {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + v ^ {2} {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}},
azóta definíció szerint egységes , ami azt jelenti . Ezért jól irányított merőleges irányba . Lehetőség van mutatják, hogy tartalmazza a síkjában a simuló kör felé irányuló, és a görbületi középpontja a pályája a M , ezért szerint a normál az Serret-Frenet triéder, a , R pedig a görbületi sugara a pálya M-ben .
T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}T→2=1{\ displaystyle {\ vec {T}} ^ {2} = 1}dT→ds⋅T→=0{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} \ cdot {\ vec {T}} = 0}dT→ds{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}dT→ds{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}NEM→{\ displaystyle {\ vec {N}}}dT→ds=NEM→R{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} = {\ frac {\ vec {N}} {R}}}
Következésképpen a vektorgyorsulás a belső komponensekre vonatkozik:
nál nél→=dvdtT→+v2RNEM→=d2sdt2T→+1R(dsdt)2NEM→{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {N}} = {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} {\ vec {T}} + {\ frac {1} {R}} \ balra ({\ frac {ds} {dt} } \ right) ^ {2} {\ vec {N}}},
vagyis:
- a tangenciális gyorsulás , kollineáris , az értéke, amely megfelel a jelenlegi fogalma gyorsulás (vagy „lassítás”, ha ;nál nél→T=dvdtT→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {T} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}dvdt<0{\ displaystyle {\ frac {dv} {dt}} <0}
- Egy normál gyorsulás zérus esetén egy egyenes pályára, melyek , és ami annál is inkább fontos, mivel a görbe „fordulat” egy „szűk” út, amely akkor is fennáll, ha a mozgás egyenletes .nál nél→NEM=v2RNEM→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {N} = {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {N}}}R=∞{\ displaystyle R = \ infty}
Dinamikus szinten ez a normális komponens
inerciális erő létezését eredményezi az anyagi ponthoz kapcsolódó nem inerciális referenciakeretben. Ez megfelel például annak a "erőnek", amelyet a jármű utasai éreznek szorosan kanyarodva, főleg, hogy fontos a sebesség.
A derékszögű koordinátákban a gyorsulási vektor komponensekre vonatkozik .
nál nél→=x˙˙e→x+y˙˙e→y+z˙˙e→z{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ dot {x}}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ dot {\ dot {y}}} {\ vec {e }} _ {y} + {\ dot {\ dot {z}}} {\ vec {e}} _ {z}}
A mozgás leírása különböző koordinátarendszerekben
Hengeres-poláris koordináták
Hengeres-poláris koordinátákban be lehet vezetni a lokális ortonormális bázist , amelybe a pozícióvektor be van írva:
(ρ,θ,z){\ displaystyle (\ rho, \ theta, z)}(e→ρ,e→θ,e→z){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {\ rho}, {\ vec {e}} _ {\ theta}, {\ vec {e}} _ {z})}
r→=ρe→ρ+ze→z{\ displaystyle {\ vec {r}} = \ rho {\ vec {e}} _ {\ rho} + z {\ vec {e}} _ {z}}.
Következésképpen a sebességvektor meg van írva:
v→=dr→dt=ρ˙e→ρ+ρde→ρdt+z˙e→z{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ rho {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}},
most következik tehát a kifejezés
de→ρdt=θ˙e→θ{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}
v→=ρ˙e→ρ+ρθ˙e→θ+z˙e→z.{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ rho {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}.}A sebességvektor a következőkre bomlik:
- egy radiális komponens , amely megfelel a mozgás sebességvektorának a helyzetvektor poláris síkján lévő vetület irányában;ρ˙e→ρ{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho}}
- ortoradiális komponens , amely megfelel egy "kör alakú pillanatkép" mozgás sebességvektorának egy sugárral és középtengely-eredetű körben ;ρθ˙e→θ{\ displaystyle \ rho {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}ρ{\ displaystyle \ rho}
- axiális komponens , amely megfelel az elmozdulás sebességvektorának az irány mentén (Oz) .z˙e→z{\ displaystyle {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}
A vektorgyorsulás tekintetében a következő formában van kifejezve:
nál nél→=dv→dt=ρ¨e→ρ+ρ˙de→ρdt+ρ˙θ˙e→θ+ρθ¨e→θ+ρθ˙de→θdt+z¨e→z{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ ddot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + {\ dot {\ rho}} {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} + {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ rho {\ ddot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ rho {\ dot {\ theta}} {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ theta}} {dt}} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}Azonban , ennek eredményeként jön:
de→θdt=-θ˙e→ρ{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ theta}} {dt}} = - {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ rho}}
nál nél→=[ρ˙˙-ρθ˙2]e→ρ+[ρθ¨+2ρ˙θ˙]e→θ+z¨e→z{\ displaystyle {\ vec {a}} = \ balra [{\ dot {\ dot {\ rho}}} - \ rho {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right] {\ vec {e} } _ {\ rho} + \ balra [\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} \ right] {\ vec {e}} _ { \ theta} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}},
ami ismét három komponensre bontásnak felel meg:
-
sugárirányú , amelyet a sugárirányban felgyorsult, egyenes vonalú mozgáshoz kapcsolt gyorsulás összegeként értelmeznek, valamint a sugár és a szögsebesség "pillanatnyi" körmozgásának normál komponensét ;[ρ˙˙-ρθ˙2]e→ρ{\ displaystyle \ left [{\ dot {\ dot {\ rho}}} - \ rho {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right] {\ vec {e}} _ {\ rho}}ρ{\ displaystyle \ rho}θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}
-
ortoradiális , amelyet ugyanolyan sugárú és szögsebességű körmozgás tangenciális gyorsulásának és a gyorsulás Coriolis- komponensének az összegeként értelmezünk a forgó kerethez kapcsolt referenciakeretben (vö. a tároló bekezdés alatti változása alatt) .[ρθ¨+2ρ˙θ˙]e→θ{\ displaystyle \ left [\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} \ right] {\ vec {e}} _ {\ theta}}
-
tengelyirányú , ami egyszerűen megfelel az egyenes vonalú mozgás (Oz) irányú gyorsulásának .z¨e→z{\ displaystyle {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}
Figyelemre méltó, hogy az ortoradiális komponens is írható (és ez hasznos a szögmomentum tételhez):
- (ρθ¨+2ρ˙θ˙)e→θ=1ρd(ρ2θ˙)dte→θ{\ displaystyle (\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}}) {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac { 1} {\ rho}} {\ frac {d (\ rho ^ {2} {\ dot {\ theta}})} {dt}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}
Gömbös koordináták
A jegyezni gömbi koordináták , ahol θ a colatitude és φ az azimut, amellyel a ortonormáiis bázist mobil keret is társul , a pozíció vektor egy anyagi pont fejezzük formájában:
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}(e→r,e→θ,e→ϕ){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {r}, {\ vec {e}} _ {\ theta}, {\ vec {e}} _ {\ phi})}
r→=re→r{\ displaystyle {\ vec {r}} = r {\ vec {e}} _ {r}}.
A sebességvektort ekkor írjuk fel:
v→=drdte→r+rde→rdt{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {dr} {dt}} {\ vec {e}} _ {r} + r {\ frac {d {\ vec {e}} _ {r} } {dt}}}, most következésképpen jön a kifejezés .
de→rdt=θ˙e→θ+bűnθϕ˙e→ϕ{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {r}} {dt}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ sin \ theta {\ dot {\ phi}} {\ vec {e}} _ {\ phi}}v→=r˙e→r+rθ˙e→θ+rbűnθϕ˙e→ϕ{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {r}} {\ vec {e}} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta } + r \ sin \ theta {\ dot {\ phi}} {\ vec {e}} _ {\ phi}}Gömbös koordinátákban a sebességvektornak radiális komponense van ( ) és két ortoradiális komponense következik és . az xOy síkban történő mozgáshoz , vagyis ha a sebességvektor kifejezése megegyezik a hengerpoláris koordinátákban lévő síkmozgáséval .
r˙e→r{\ displaystyle {\ dot {r}} {\ vec {e}} _ {r}}e→θ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta}}e→ϕ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ phi}}θ=π/2{\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}
Újra sodródva a gyorsulást ugyanúgy érjük el, a három komponens szerint:
nál nélr=(r¨-rθ˙2+rφ˙2bűn2θ){\ displaystyle a_ {r} = \ balra ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta \ right)}nál nélθ=(rθ˙2+2r˙θ˙-rφ˙2bűnθkötözősalátaθ){\ displaystyle a _ {\ theta} = \ balra (r {\ dot {\ theta}} ^ {2} +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)}
nál nélφ=(rφ¨bűnθ+2r˙φ˙bűnθ+2rφ˙θ˙kötözősalátaθ){\ displaystyle a _ {\ varphi} = \ balra (r {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta + 2r { \ dot {\ varphi}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)}.
A feljegyzéshez megjegyezzük, hogy blokkolt hosszúságon a mozgás a meridián síkban megy végbe, és ebben a síkban megtaláljuk az előző bekezdésben kiszámított gyorsulást. Blokkolt színtelenség mellett az R = r.sin (theta) sugárú körmozgás gyorsulását találjuk meg (figyeljünk az alkotórészekre). Végül az a_phi kifejezés, amely magában foglalja a teátát '. A phi 'a Coriolis-kapcsolást jelenti (lásd alább).
Hármas ortogonális rendszer
Vagy ha figyelembe vesszük az u1, u2, u3 koordináták hármas ortogonális rendszer általi regisztrációját: u2 és u3 blokkolása, a pont az u1 változó vonal mentén mozog, amelynek egységvektorát e1-nek fogjuk hívni. Ugyanígy az u2 változó (az e2 egységvektorral) és az u3 változó (az e3 egységvektorral).
Azt mondjuk, hogy a rendszer háromszoros derékszögű, ha {e1, e2, e3} háromszög alakú triédert alkot.
Az u2 és u3 blokkolásakor úgy tűnik, hogy az anyagi pont M-től M'-ig végtelenül közel mozog az e1 irányába
dM=∂M∂u1du1: =h1du1e1{\ displaystyle \ mathbf {dM} = {\ frac {\ részleges \ mathbf {M}} {\ részleges u_ {1}}} du_ {1}: = h_ {1} du_ {1} \ mathbf {e} _ {1}}A h_1 paramétert Lamé paraméternek hívják. Ugyanígy definiálhatjuk a h2 és a h3 paramétereket is.
Ezután úgy tűnik, hogy az M pont sebessége, amikor {u1, u2, u3} változik, a következő:
v=h1u˙1e1+h2u˙2e2+h3u˙3e3{\ displaystyle \ mathbf {v} = h_ {1} {\ dot {u}} _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + h_ {2} {\ dot {u}} _ {2} \ mathbf {e} _ {2} + h_ {3} {\ dot {u}} _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}És mivel a rendszer ortogonális,
v2=h12u˙12+h22u˙22+h32u˙32=f(u1,u2,u2,u˙1,u˙2,u˙3){\ displaystyle v ^ {2} = h_ {1} ^ {2} {\ dot {u}} _ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2} {\ dot {u}} _ { 2} ^ {2} + h_ {3} ^ {2} {\ dot {u}} _ {3} ^ {2} = f (u_ {1}, u_ {2}, u_ {2}, {\ pont {u}} _ {1}, {\ dot {u}} _ {2}, {\ dot {u}} _ {3})}
Így könnyen megkapjuk a T egységnyi tömegű mozgási energiát.
Ezután Euler és Lagrange kimutatták, hogy a gyorsulás összetevőinek megszerzéséhez ebben a hármas koordináta-rendszerben elegendő a képletet alkalmazni:
2nál nél1=ddt∂T∂u˙1-∂T∂u1{\ displaystyle 2a_ {1} = {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {u}} _ {1}}} - {\ frac {\ részleges T } {\ részleges u_ {1}}}}és ugyanaz a másik két komponens esetében.
Szemléltető példák:
gömbös számítás
Gömbös koordinátákban, amelyek hármas ortogonális rendszert alkotnak, könnyű csak r-t változtatva megállapítani, hogy h_r = 1.
Ezután csak a színesség változtatásával: h_theta = r
És csak a hosszúság változtatásával, h_phi = r.sin (theta).
A sebesség négyzete tehát:
v2=r˙2+r2θ˙2+r2sénnemθϕ˙2{\ displaystyle v ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} sin \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2}}Az Euler-Lagrange képlet alkalmazásával a következőket kapjuk:
nál nélr=(r¨-rθ˙2+rφ˙2bűn2θ){\ displaystyle a_ {r} = \ balra ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta \ right)}nál nélθ=(rθ˙2+2r˙θ˙-rφ˙2bűnθkötözősalátaθ){\ displaystyle a _ {\ theta} = \ balra (r {\ dot {\ theta}} ^ {2} +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)}
nál nélφ=(rφ¨bűnθ+2r˙φ˙bűnθ+2rφ˙θ˙kötözősalátaθ){\ displaystyle a _ {\ varphi} = \ balra (r {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta + 2r { \ dot {\ varphi}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)}.
Ami gyorsabb, mint ha az egységvektorok időszármazékainak kiszámításán gondolkodunk (ez azt jelenti, hogy jó, ha mindkét módszert ismerjük).
Kipróbálhatjuk magunkat a hengeres koordináta-rendszerrel.
A módszer előnye, hogy hármas bifokális rendszereket tesz lehetővé, amelyek például nagyon hasznosak a csillagászatban.
A mozgások fontos speciális esetei
Az anyagi pont mozgása egy adott referenciakerethez képest két kritérium segítségével jellemezhető:
-
a pálya alakja : a legáltalánosabb esetben nincs megadva adott geometriai alakja, és a mozgást ekkor görbe vonalúnak mondják. Ha éppen ellenkezőleg, a pálya egy ismert görbeszakasz vagy szegmens, sík vagy bal oldali, akkor a mozgást ennek a görbének az alakja alapján határozzuk meg:
- egyenes vonal (szakasza): egyenes vonalú mozgás;
-
kör (vagy kör íve): körmozgás;
-
körhélix : spirális mozgás;
- cikloid: cikloid mozgás stb.
-
a sebesség vagy a pont gyorsulásának értéke : ha általában tetszőleges, akkor megtörténik:
- hogy a sebesség értéke állandó legyen: a mozgást egyenletesnek mondják ;
- hogy a gyorsulás értéke állandó: a mozgást állítólag egyenletesen gyorsítják .
Ez a két kritérium kumulatív: így egy adott referenciakeretben egy körnek megfelelő pálya szerint, és állandó értékű sebességgel mozgó anyagi pont e referenciakerethez képest kör alakú és egyenletes mozgásban lesz.
A mozgás jellege természetesen a vizsgálati referenciakeretnek tekintett anyagi ponttól függ, például egy állandó sebességcsúszás nélkül gördülő jármű kereke esetén:
- a kerék közepe egyenes vonalú és egyenletes mozgásban van az úthoz kapcsolódó referenciakerettel szemben, míg a kerék végén elhelyezkedő anyagi pont egyenletes cikloidális mozgást mutat ;
- a tengelyhez kapcsolt referenciakeret vonatkozásában a kerék közepe álló helyzetben lesz, és a végén lévő pont egyenletes körmozgással rendelkezik.
Egyenes vonalú mozgás
A mozgás azt mondják, hogy egyenes vonalú , ha a pálya az anyag pont egy egyenes vonal (egyenes szegmens minden rigor): ennek következtében az ilyen típusú mozgása az irányát a sebesség vektor nem változik, lehetőség van jelentenek például a tengely mentén történő mozgáshoz (Ox) :
v→M/(R){\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {M / (R)}}
v→M/(R)vMe→x{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M / (R)} v_ {M} \, {\ vec {e}} _ {x}}, a sebesség
algebrai értékévelvm=dxdt=x˙{\ displaystyle v_ {m} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ dot {x}}} A legegyszerűbb eset az egyenletes egyenes vonalú mozgás , amelyre ráadásul (és ezért . Következésképpen a mozgás óránkénti egyenletét nehézségek nélkül megkapjuk az integrációval:
vM=oldal=vx0{\ displaystyle v_ {M} = {\ text {cte}} = v_ {x0}}v→M=vs.te→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}}
x(t)=vx0t+x0{\ displaystyle x (t) = v_ {x0} t + x_ {0}}, amely az integráció állandóját jelöli (a kezdeti értéke ).
x0{\ displaystyle x_ {0}}x(t){\ displaystyle x (t)}A második adott esetben egyenes vonalú mozgás van a egyenletesen gyorsuló egyenes vonalú mozgás , melyek , például szerinti (Ox) , amely a konstans értéket a gyorsulás. ezután az integráció következik:
nál nél→M=vs.te→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}} nál nél→M=nál nélx0e→x{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M} = a_ {x0} \, {\ vec {e}} _ {x}}nál nélx0{\ displaystyle a_ {x0}}
vx(t)=nál nélx0t+vx0{\ displaystyle v_ {x} (t) = a_ {x0} t + v_ {x0}},
vx0{\ displaystyle v_ {x0}} - az integráció állandója, amely fizikailag megfelel a pont sebességének kezdeti értékének, és -
x(t)=12nál nélx0t2+v0t+x0{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {2}} a_ {x0} t ^ {2} + v_ {0} t + x_ {0}},
x0{\ displaystyle x_ {0}}a kezdeti értéknek megfelelő második integrációs állandó . Ez a fajta mozgás megfelel a szabad zuhanásban lévő anyagi pont mozgásának , vagyis függőleges értékű sebességgel szabadul fel a gravitációs mezőben, figyelmen kívül hagyva a súrlódási erők hatását.
x(t){\ displaystyle x (t)}vx0{\ displaystyle v_ {x0}}
Két mozgás, az egyik egyenletes egyenes és a másik egyenletesen gyorsított egyenes, két ortogonális irányban ( (Ox) és (Oy) jelölve ) teljes parabolikus és nem egyenletes mozgáshoz vezet . Ebben az esetben az óránkénti egyenletek a következők:
{x(t)=vx0t+x0y(t)=12nál nély0t2+vy0t+y0{\ displaystyle {\ begin {cases} x (t) = v_ {x0} t + x_ {0} \\ y (t) = {\ frac {1} {2}} a_ {y0} t ^ {2} + v_ {y0} t + y_ {0} \ end {esetek}}},
és kiküszöbölhető a t dátum a két óránkénti egyenlet között:
t=x-x0vx0{\ displaystyle t = {\ frac {x-x_ {0}} {v_ {x0}}}}sem ,
y=12nál nély0(x-x0)2vx02+vy0vx0(x-x0)+y0{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} a_ {y0} {\ frac {\ bal (x-x_ {0} \ jobb) ^ {2}} {v_ {x0} ^ {2}} } + {\ frac {v_ {y0}} {v_ {x0}}} \ bal (x-x_ {0} \ jobb) + y_ {0}}amely egy parabola (fizikailag ez egy parabola íve lesz) derékszögű egyenlete .
S(-vx0vy0nál nély0,y0-vy022nál nély0){\ displaystyle S \ bal (- {\ frac {v_ {x0} v_ {y0}} {a_ {y0}}}, y_ {0} - {\ frac {v_ {y0} ^ {2}} {2a_ { y0}}} \ jobbra)}
Ez a pálya megfelel az anyagi pont ballisztikus mozgásának a földi referenciakeretben (vagy általában "bolygón"), vagyis a gravitációs mező kizárólagos hatása alatt történő mozgásnak , tehát a anyagi pontot indítanak kiinduló sebességgel a kezdeti koordináta helyzetből .
g→=ge→y{\ displaystyle {\ vec {g}} = g {\ vec {e}} _ {y}}nál nély0=g=oldal{\ displaystyle a_ {y0} = g = {\ text {cte}}}v→0=vx0e→x+vy0e→y{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0} = v_ {x0} {\ vec {e}} _ {x} + v_ {y0} {\ vec {e}} _ {y}}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
Körmozgás
Az anyagi pont mozgását akkor mondjuk körkörösnek, ha az adott referenciakeretben az út O névleges középpontú és R sugarú kör (vagy ív) . A körmozgás lehet egyenletes vagy nem egyenletes.
Az ilyen típusú mozgások leírására a pálya síkjában található polárkoordináták a legalkalmasabbak. Az anyagi pont helyzetvektorát az adja meg , ezért a sebesség- és gyorsulási vektorok korábbi kifejezéseiből származik:
r→=Re→ρ{\ displaystyle {\ vec {r}} = R {\ vec {e}} _ {\ rho}}
v→=Rθ˙e→θ=Rω(t)e→θ{\ displaystyle {\ vec {v}} = R {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} = R \ omega (t) {\ vec {e}} _ {\ theta }}, Hol van az M pont szögsebessége . Tehát , a mozgás egyenletes kör alakú.
ω(t)=θ˙{\ displaystyle \ omega (t) = {\ pont {\ theta}}}ω(t)=oldal{\ displaystyle \ omega (t) = {\ text {cte}}}
nál nél→=-Rω2e→ρ+Rω˙e→θ{\ displaystyle {\ vec {a}} = - R \ omega ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho} + R {\ dot {\ omega}} {\ vec {e}} _ { \ theta}}, Vagy egy kör alakú nyomvonal R jelentése (definíció szerint) egyenlő a görbületi sugár bármely ponton, és a , jön a tangenciális és a normál komponensek a gyorsulás, amelyek összetéveszteni a ortonormális és (a legközelebbi jele) sugárirányú alkatrészek, a következő kifejezéseket:
T→=e→θ{\ displaystyle {\ vec {T}} = {\ vec {e}} _ {\ theta}}NEM→=-e→ρ{\ displaystyle {\ vec {N}} = - {\ vec {e}} _ {\ rho}}
nál nél→T=Rω˙T→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {T} = R {\ dot {\ omega}} {\ vec {T}}}, ha a mozgás egyenletesebb , és ez az összetevő nulla;
ω˙=0{\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = 0}
nál nél→NEM=Rω2NEM→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {N} = R \ omega ^ {2} {\ vec {N}}}, a normál gyorsulás centripetális , és egyenletes mozgás esetén a gyorsulás pusztán normális.
Spirális mozgás
Az anyagi pont spirális mozgása megfelel annak az esetnek, amikor az út spirális . Általában ez egy kör alakú légcsavar . Ez a fajta mozgás egy körmozgás és egy egyenes vonalú mozgás kombinációjából adódik, amely a pálya síkjára merőleges ( leggyakrabban megjegyzett (Oz) ) irányba mutat. Ha a két mozgás egyenletes , a propeller állandó dőlésszögű.
Figyelembe véve a légcsavar tengelyének sajátos szerepét, lehetőség van a hengeres-poláris koordináták használatára az ilyen típusú mozgások leírására. A spirál R sugara állandó, következésképpen a gyorsulási vektort ilyen típusú mozgások esetén írják fel:
nál nél→=-Rθ˙2e→ρ+Rθ¨e→θ+z¨e→z,{\ displaystyle {\ vec {a}} = - R {\ dot {\ theta}} ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho} + R {\ ddot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z},}a sebességvektort írják neki:
v→=Rθ˙e→θ+z˙e→z.{\ displaystyle {\ vec {v}} = R {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z }.}A fontos konkrét esetben, amikor a mozgás egyenletes , és ennek következtében az előző kifejezések egyszerűsödnek:
θ˙=ω0 = cste{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ omega _ {0} {\ text {= cste}}}z˙=v0 = cste{\ displaystyle {\ dot {z}} = v_ {0} {\ text {= cste}}}
nál nél→=-Rω02e→ρ,{\ displaystyle {\ vec {a}} = - R \ omega _ {0} ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho},}és
v→=Rω0e→θ+v0e→z,{\ displaystyle {\ vec {v}} = R \ omega _ {0} {\ vec {e}} _ {\ theta} + v_ {0} {\ vec {e}} _ {z},}Az integrációval a pozícióvektor:
r→(t)=Re→ρ+[z0+v0t]e→z,{\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = R {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ balra [z_ {0} + v_ {0} t \ jobbra] {\ vec {e} } _ {z},}megjegyezve z 0 kezdeti értékét z .
Az óránkénti mozgásegyenletek könnyen megszerezhetők, ha kifejezzük a vizsgálati referenciakerethez kapcsolt Oxy koordinátarendszerhez társított ortonormális bázisban , vagy itt .
e→ρ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho}}e→ρ=kötözősalátaθe→x+bűnθe→y{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho} = \ cos \ theta {\ vec {e}} _ {x} + \ sin \ theta {\ vec {e}} _ {y}}θ(t)=ω0t{\ displaystyle \ theta (t) = \ omega _ {0} t}
Megjegyezve x 0 és y 0 a megfelelő kiindulási értékeit x és y jön:
{x(t)=x0+R(kötözősaláta(ω0t)-1)y(t)=y0+Rbűn(ω0t)z(t)=z0+v0t{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} x (t) = x_ {0} + R \ left (\ cos (\ omega _ {0} t) -1 \ right) \\ y (t) = y_ {0} + R \ sin (\ omega _ {0} t) \\ z (t) = z_ {0} + v_ {0} t \ end {mátrix}} \ right.}Mivel a spirális mozgás itt egyenletes, az Oxy síkban a körmozgás periodikus , és a teljes mozgásnak ugyanaz az periodicitása. A T periódus alatt a tengely mentén megtett távolságot a spirál magasságának nevezzük , vagyis ebben az esetben:
2πω0{\ displaystyle {\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}}
o=2πv0ω0.{\ displaystyle p = 2 \ pi {\ frac {v_ {0}} {\ omega _ {0}}}.}Kúpos pályák
Adattár megváltoztatása
Az anyagi pont mozgásának jellege és az út alakja a választott referenciakerettől függ. A mozgás egy adott referenciakeret (R) vonatkozásában ismeretes, meg lehet határozni annak jellegét egy másik referenciakeret (R ') vonatkozásában . Ehhez meg kell adni az anyagi pont (R ') -hez viszonyított sebességének és gyorsulásának kifejezéseit az (R) -ben ismertek szerint , valamint a referenciakeret mozgását meghatározó paramétereket. (R ') az (R) vonatkozásában .
A tér koordinátarendszer a kerethez társított referencia (R) jelöli Oxyz , az egyik a kerethez társított referencia (R „) , mozgásban képest (R) , jelöli O'x'y'z” . Ha M az anyagi pont helyzete, és megfelel az M helyzetvektorainak az (R) és (R ') vonatkozásában . A klasszikus mechanikában az időnek abszolút jellege van, vagyis az a két referenciakerethez tartozó óra, amelyre a közös dátum eredetét választják, ugyanazt a dátumot jelöli (R) és (R ') ) , függetlenül attól, hogy milyen a relatív mozgásuk .
r→=OM→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OM}}}r→′=OM→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '= {\ overrightarrow {OM}}'}t=t′{\ displaystyle t = t '}
A referenciakeret (R ') legáltalánosabb mozgása a referenciakerettel (R) szemben a kombináció:
- a mozgása annak eredetét O ' képest (R) ;
- a társított térkeret tengelyeinek orientációjának variációja, amelyet a pillanatnyi forgásvektor jellemez , amely (és a megfelelő képletek és ).ω→R′/R{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R}}de→x′dt=ω→R′/R∧e→x′{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {x '}} {dt}} = {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ ék {\ vec {e}} _ {x '}}e→y′{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {y '}}e→z′{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z '}}
Sebesség összetétele
M helyzetvektorát (R) -ben az adja meg , tehát az (R) -ben lévő anyagi pont sebességvektorára vonatkozik :
r→=OM→=OO′→+O′M→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {OO '}} + {\ overrightarrow {O'M}}}
v→M/R=(dOM→dt)(R)=(dOO′→dt)(R)+(dO′M→dt)(R){\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M / R} = \ balra ({\ frac {d {\ overrightarrow {OM}}} {dt}} \ jobbra) _ {(R)} = \ balra ( {\ frac {d {\ overrightarrow {OO '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} + \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {O'M}}} {dt}} \ jobbra) _ {(R)}}, arany .
(dOO′→dt)(R)=v→O′/R{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {OO '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {v}} _ {O' / R}}Továbbá , az a hely vektor M a (R „) , amely meg van írva a bázis terület a marker társított adattár: ennek eredményeként: .
O′M→{\ displaystyle {\ overrightarrow {O'M}}}O′M→=x′e→x′+y′e→y′+z′e→z′{\ displaystyle {\ overrightarrow {O'M}} = x '{\ vec {e}} _ {x'} + y '{\ vec {e}} _ {y'} + z '{\ vec {e }} _ {z '}}(dO′M→dt)(R)=x′˙e→x′+y′˙e→y′+z′˙e→z′+x′ω→R′/R∧e→x′+y′ω→R′/R∧e→y′+z′ω→R′/R∧e→z′=v→M/R′+ω→R′/R∧r′→{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {O'M}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ dot {x '}} {\ vec {e}} _ {x '} + {\ dot {y'}} {\ vec {e}} _ {y '} + {\ dot {z'}} {\ vec {e}} _ {z '} + x' {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ ék {\ vec {e}} _ {x'} + y '{\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ ék { \ vec {e}} _ {y '} + z' {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ ék {\ vec {e}} _ {z'} = {\ vec {v} } _ {M / R '} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ ék {\ vec {r '}}}
Végül a sebességek összetételének képlete a következő:
v→M/R=v→e+v→M/R′{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M / R} = {\ vec {v}} _ {e} + {\ vec {v}} _ {M / R '}}
ahol a sebesség képzés az M képest (R) , amely az összeg a kifejezést, amely kapcsolódik az elmozdulás a eredetét a tér referencia társított (R „) , és egy olyan kifejezés változását tükröző orientációját ez a hivatkozás.
v→e=v→O′/R+ω→R′/R∧r′→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {e} = {\ vec {v}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ ék {\ vec {r '}}}
A gyorsulások összetétele
A gyorsulási vektor M a (R) van kapjuk differenciálásával a sebesség vektor adott időben, ebben a referenciakeret:
v→M/R{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {M / R}}
nál nél→M/R=(dv→M/Rdt)(R=(ddt[v→O′/R+ω→R′/R∧r′→+v→M/R′])(R){\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M / R} = \ balra ({\ frac {d {\ vec {v}} _ {M / R}} {dt}} \ jobbra) _ {(R } = \ balra ({\ frac {d} {dt}} \ balra [{\ vec {v}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ ék {\ vec {r '}} + {\ vec {v}} _ {M / R'} \ right] \ right) _ {(R)}},
de azonnal jön:
(dv→M/R′dt)(R)=nál nél→M/R′+ω→R′/R∧v→M/R′{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ vec {v}} _ {M / R '}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {a}} _ {M / R '} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ ék {\ vec {v}} _ {M / R '}},
és
(dr′→dt)(R)=v→M/R′+ω→R′/R∧r′→{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ vec {r '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {v}} _ {M / R'} + { \ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ ék {\ vec {r'}}}.
Végül a gyorsulások összetételének törvénye a következő:
nál nél→M/R=nál nél→M/R′+nál nél→e+nál nél→vs.{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M / R} = {\ vec {a}} _ {M / R '} + {\ vec {a}} _ {e} + {\ vec {a} } _ {vs}}
val vel:
- edzésgyorsulás ,nál nél→e=nál nél→O′/R+ω→R′/R∧(ω→R′/R∧r′→)+dω→R′/Rdt∧r′→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {e} = {\ vec {a}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ ék \ bal ( {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ ék {\ vec {r'}} \ jobbra) + {\ frac {d {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R}} {dt}} \ ék {\ vec {r '}}}
- a Coriolis gyorsulása .nál nél→vs.=2ω→R′/R∧v→M/R′{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {c} = 2 {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ ék {\ vec {v}} _ {M / R'}}
Megjegyzések és hivatkozások
-
Általános esetben ez egy bal ív .
-
Ez a vektorszármazék meghatározása, mivel az "átlagos sebesség" vektor határa a Δt időtartam alatt, amikor ez az időtartam nulla felé fordul.
-
Célszerű megkülönböztetni a paraméteres típusú óránkénti egyenleteket a pálya egyenleteitől egy adott koordinátarendszerben (itt a derékszögű koordináták), amelyek megfelelnek a közöttük lévő koordinátákat összekötő egyenletnek a t paraméter beavatkozása nélkül .
-
Szabad is nevezik "kezdeti sebességgel": egyértelmű, hogy az egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás példaként említett szabad esés csak a nulla kezdeti sebességgel rendelkező ballisztikus mozgás speciális esete.
-
Figyelembe kell venni, ami időtől és ettől függ .e→θ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta}}e→˙ρ=θ˙e→θ{\ displaystyle {\ dot {\ vec {e}}} _ {\ rho} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}
Bibliográfia
- Philip José Pérez, fizika kurzusok: mechanikus , 6 th kiadás, Masson , Párizs, 2001.
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">