A láncfeltételek ( felfelé és lefelé ) két tulajdonság matematika azokra a megrendelésekre, amelyeket Emmy Noether kezdetben azonosított a kommutatív algebra összefüggésében .
Egy részben rendezett halmaz ( V , ≤), a növekvő lánc állapotát jelöli a következő tulajdonsággal:
vagy a tulajdonság is (egyenértékű, mert ez egy rendelési reláció)
A ( V , ≤) növekvő láncfeltétele egyenértékű a következő tulajdonsággal:
Valójában egyrészt ennek a feltételnek, amelyet néha maximális feltételnek ( en) maximális feltételnek vagy maximális feltételnek hívnak , ellentmondana az egyre növekvő végtelen szekvencia megléte. Másrészt, ha nem ellenőrizzük, akkor egy szigorúan növekvő végtelen szekvenciát építünk úgy, hogy egy nem üres részben, maximális elem nélküli egymás után választunk egy x 0 elemet , majd ennek szigorú felső x 1-et stb. Az így felépített ( x n ) szekvencia ( indukcióval és a választott axiómával - pontosabban: a függő választás axiómájával , mivel a választások megszámlálhatatlan végtelensége van, és mindegyik az előző választásoktól függ) végtelenül növekszik.
( V , ≤) kielégíti az ereszkedő láncfeltételt, ha bármely csökkenő szekvencia stacioner, vagyis az ellenkező sorrend ( V , ≥) kielégíti a felmenő láncfeltételt. Az egyenértékű minimumfeltétel - minden nem üres résznek van minimális eleme - nem más, mint a szokásos megalapozott meghatározás .
Emmy Noether az Idealtheorie in Ringbereichen című 1921-es cikkében mutatja be . Lábjegyzetben hangsúlyozza, hogy ezt a koncepciót már korábban bevezette Dedekind (számmezők esetén) és Lasker (polinomok esetében). Elsőként vezeti be cikkének általános keretrendszerébe azokat a kommutatív gyűrűket, amelyek mindegyik ideálját végérvényesen generálják.
Ezért egy kommutatív gyűrűről azt mondják, hogy Noetherian, ha az eszméinek halmaza , részben inklúzióval rendezve, kielégíti ezt a feltételt. Amikor ez a parciális sorrend igazolja a leszálló lánc állapotát, a gyűrűt artinikusnak mondják . A Hopkins-Levitzki-tétel (in) következménye , hogy bármelyik gyűrűs művész Noetherian. ℤ noetherian, de nem artinian: a 2 n ℤ az ideálok szigorúan csökkenő végtelen sorrendjét alkotja.
Az ideálok kommutatív gyűrű Egy egyszerűen annak almodult, A hogy felruházva annak természetes szerkezetét A -module. Egy Egy -module akkor mondjuk, hogy Noetherian (ill. Artinian ), ha a készlet a almodulok kielégíti a felszálló (ill. Csökkenő) láncot állapotban. A korábbi következtetés (minden artinián gyűrű noetheriánus) nem terjed ki a modulokra:
Példa Artinianra, de nem Noetherian modulra.Hadd p lesz egy prímszám . A p - Prüfer csoport ℤ [1 / p ] / ℤ egy alcsoportja az az Abel-csoport ℚ / ℤ , ezáltal ℤ-modulusa. Ez egy artini modul, mivel megfelelő alcsoportjai végesek. De ez nem Noetherian lehetségesek, mert szigorúan monoton növekvő végtelen sorozata részmodulokat figyelembe véve, bármely természetes szám n , az alcsoport alkotja az elemek, amelyeknek érdekében egy osztó a p n .