Rugalmas sugárzás szóródása

A rugalmas szóró sugárzás az egyik olyan anyag sugárzására gyakorolt ​​hatás, amelyen áthalad. Ez egy fizikai mérési technika, amely hozzáférést biztosít a sűrített anyagok (folyadékok, szilárd anyagok) bizonyos szerkezeti tulajdonságaihoz: statikus (vagy rugalmas) fényszórás (SLS).

Általános elvek

Síkhullám rugalmas szórása, szórási hossza

Közben sugárzás szóródása kísérletben egy síkhullám beeső hogy a hullám vektor (például, egy fénysugár monokromatikus a fény , az X-ray vagy neutron ) megvilágítja a mintát. Találkozva egy atom, része ennek a hullám diffundál minden irányban: a szórt hullám ,, egy gömb alakú hullám és annak amplitúdója változik, mint az inverze a távolság a szórási centrum. A szórt hullám amplitúdója ezért meg van írva: ψén{\ displaystyle \ psi _ {i}} kén{\ displaystyle \ mathbf {k_ {i}}}ψd{\ displaystyle \ psi _ {d}}D{\ displaystyle D}

‖ψd‖=bD‖ψén‖.{\ displaystyle \ | \ psi _ {d} \ | = {\ frac {b} {D}} \ | \ psi _ {i} \ |.}

A nagyságot "szórási hossznak" nevezzük, és ez a sugárzás által látható atom méretét képviseli. b{\ displaystyle b}

A rugalmas szóródás feltételezése szerint a beeső hullámnak (hullámvektor ) és a szórt hullámnak (hullámvektor ) azonos hullámhossza van . A két hullámvektornak ugyanaz a normája: kén{\ displaystyle \ mathbf {k_ {i}}}kd{\ displaystyle \ mathbf {k_ {d}}}λ{\ displaystyle \ lambda}

kD=kén=2πλ.{\ displaystyle k_ {D} = k_ {i} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}.}

Interferencia

A több atom által szétszórt hullámok zavarják . Ezekből az interferenciákból származik egy olyan szögben mért hullám , amelynek hullámvektor felel meg . Ezeket a hullámok útkülönbségei alapján számítják ki, és a szórásvektor függvényében fejezik ki: θ{\ displaystyle \ theta}kd{\ displaystyle \ mathbf {k_ {d}}}

q=kd-kén{\ displaystyle \ mathbf {q} = {\ mathbf {k_ {d}}} - {\ mathbf {k_ {i}}}}

alapfelszereltséggel:

q=4πλbűn⁡(θ2).{\ displaystyle q = {\ frac {4 \ pi} {\ lambda}} \ sin \ bal ({\ frac {\ theta} {2}} \ jobb).}

Ha a hullámot egy atom szétszórta származásnak, akkor a helyén elhelyezkedő atom szórt hullámát a skaláris szorzat tolja el (fáziseltolással)  : ψ(0){\ displaystyle \ psi (0)}r{\ displaystyle \ mathbf {r}} q⋅r{\ displaystyle \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}}

ψ(q,r)=ψ(0)⋅eénq⋅r.{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {q}, \ mathbf {r}) = \ psi (0) \ cdot e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}}.}

A mintában szereplő összes atom szétszóródásából származó hullám az egyes szórt hullámok összege : ψd{\ displaystyle \ psi _ {d}}nál nél{\ displaystyle a}ψnál nél{\ displaystyle \ psi _ {a}}

ψd(q)=∑nál nélψ(q,rnál nél)=ψénD×∑nál nélbnál nél⋅eénq⋅rnál nél.{\ displaystyle \ psi _ {d} (\ mathbf {q}) = \ összeg \ korlátozza _ {a} \ psi (\ mathbf {q}, \ mathbf {r} _ {a}) = {\ frac {\ psi _ {i}} {D}} \ szor \ összeg \ korlátok _ {a} {b_ {a} \ cdot e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r} _ {a}}}. }

Az atomok figyelembevétele helyett ugyanazt a kifejezést lehet írni a teljes térfogatminta térfogat-elemeire . A diffúziós hossza egy elemének feltételezhető nagyon kicsi mennyiség található benne az összege a diffúziós hosszak valamennyi atom: V{\ displaystyle V}b(r){\ displaystyle b (\ mathbf {r})} v{\ displaystyle v}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

b(r)=v×b~(r).{\ displaystyle b (\ mathbf {r}) = v \ -szeres {\ tilde {b}} (\ mathbf {r}).}

A nagyság a szórási hosszúság sűrűsége (szórási hossz térfogategységre vonatkoztatva), vagyis ennek a térfogat elemnek a sugárzás által "látott" sűrűsége. Az előző egyenlet: b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}

ψd(q)=ψénD×∑V/vb(r)⋅eénq⋅r.{\ displaystyle \ psi _ {d} (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ psi _ {i}} {D}} \ szor \ összeg \ korlátok ^ {V / v} {{b} (\ mathbf {r}) \ cdot e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}}}.}

ψd{\ displaystyle \ psi _ {d}}ezért a minta diffúziós hosszának Fourier-sorozatbeli bontásaként jelenik meg . b(r){\ displaystyle {b} (\ mathbf {r})}

Diffúz intenzitás

A detektor nem közvetlenül a szórt hullámot méri, hanem annak intenzitását, amely a normája négyzete:

én(q)=ψ(q)ψ∗(q)=‖ψ(q)‖2.{\ displaystyle I (\ mathbf {q}) = \ psi (\ mathbf {q}) \ psi ^ {*} (\ mathbf {q}) = \ | \ psi (\ mathbf {q}) \ | ^ { 2}.}

Cseréjével a diszkrét összege egyenletének egy egybeépített, azt kapjuk, hogy a szórási intenzitás egyenlő a tér a modulusa a Fourier transzformációs (jegyezni ) A (vagy teljesítmény spektrális sűrűség ): ψd(q){\ displaystyle \ psi _ {d} (\ mathbf {q})}TF{\ displaystyle TF}b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}

én(q)=ψén2D2×S(q){\ displaystyle I (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ psi _ {i} ^ {2}} {D ^ {2}}} \ szor {S} (\ mathbf {q})}

val vel

S(q)=‖TF(b~(r))‖2.{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = \ bal \ | {TF \ bal ({{\ tilde {b}} (\ mathbf {r})} \ jobb)} \ jobb \ | ^ {2 }.}

A területre homogén nagyságot a minta szórásának „differenciális keresztmetszetének” nevezzük. Ez lehet kifejezni az autokorrelációs függvény a  : S(q){\ displaystyle {S} (\ mathbf {q})}b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}

S(q)=V×TF(<b~(0)⋅b~(r)>){\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = V \ -szerese a TF (<{\ tilde {b}} (0) \ cdot {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})>)}

hol van a minta térfogata. Ebben a kifejezésben a zárójelek az összes O eredetet és az összes lehetséges mikroszkopikus állapot átlagát jelentik, amelyeken keresztül a minta áthalad. V{\ displaystyle V}

A vektor, amely lehetővé teszi a különböző szögben vagy különböző hullámhosszakon kapott interferencia-ábrák egymásra helyezését, ezért a . Normája homogén, ellentétben azzal a hosszúsággal, amely a minta megfigyelési skáláját képviseli. q{\ displaystyle \ mathbf {q}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

A homogén közeg nem diffundál

Homogén közeg felel meg . A Fourier-transzformáció végrehajtásával megmutatjuk, hogy az ilyen közeg által diffundált intenzitás nulla kivételével nulla . Ez nulla szórási szögnek felel meg, amelynél a szórt hullám és a mintán keresztül továbbított hullám anélkül, hogy kölcsönhatásba lépett volna az atomjaival, összeolvad és megkülönböztethetetlen. A gyakorlatban a homogén közeg nem diffundál. b~(r)=VSst{\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r}) = Cst}q=0{\ displaystyle \ mathbf {q} = 0}

Különbség a szórás és a diffrakció között

A homogén környezet az elme nézete, mindig van olyan térbeli skála, amelyen heterogenitások léteznek. Például az atomskálán megfigyelt tökéletes kristály (nagy ) már nem homogén. Hagyományosan a sugárzás e skálán történő szóródását diffrakciónak nevezik (lásd a röntgendiffrakciót , a neutrondiffrakciót és az elektrondiffrakciót ). q{\ displaystyle \ mathbf {q}}

A „diffúzió” kifejezés az interatomikus távolság közötti és az inverz nagyobb skálára vonatkozik (tipikusan 1 Å -1 ). Viszonylag rövid hullámhosszú sugárzás esetén (röntgensugarak, hő- és forró neutronok) ezek a megfigyelési skálák kis szórási szögeknek felelnek meg (néhány fok). Ezért gyakran használják a kis szögű szórás (in) kifejezést (lásd például a kis szögű röntgenszórás című cikket ). q=0{\ displaystyle q = 0} 

A diffúzióért felelős heterogenitások

A minta által szórt intenzitás csak a szórási hosszúság sűrűségének időbeli vagy térbeli változásainak tudható be.

Diffúzió és ingadozások: példa az ideális gázra

Egyfajta elemi diffúzorból (például egyetlen atomfajtából) álló mintát veszünk figyelembe. Az ötletek rögzítéséhez elképzelhetünk egy gázt, de az érv folyékony vagy szilárd anyagra továbbra is érvényes.

Egy gáz esetében a termikus keverés következtében minden térfogatelem valószínűleg tartalmaz egy atomot egy adott pillanatban, majd a következő pillanatban egy sem. Egy adott térfogatelem szóráshossz-sűrűsége egy megadott átlagérték körül ingadozik . Ha a gáz atomjainak diffúziós hosszúság-sűrűsége van, és átlagosan a térfogatfrakciót foglalják el a teljes mintán , akkor . A diffúziós hosszúság sűrűségének autokorrelációs függvénye fel van írva: <b~>{\ displaystyle <{\ tilde {b}}>}b~{\ displaystyle {\ tilde {b}}} <ϕ>{\ displaystyle <\ phi>}<b~> =b~<ϕ>{\ displaystyle <{\ tilde {b}}> = {\ tilde {b}} <\ phi>}

<b~(0)⋅b~(r)> =b~<ϕ(0)⋅ϕ(r)>{\ displaystyle <{\ tilde {b}} (0) \ cdot {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})> = {\ tilde {b}} <\ phi (0) \ cdot \ phi ( \ mathbf {r})>}

ahol egyenlő 1, ha az objektum jelen van, és különben 0. ϕ(r){\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r})}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

A térben található térfogatelemek esetében az átlagos sűrűségtől való eltérés átlagosan nulla. Így a termékben a keresztfeltételek átlagosan nulla. A függvény tehát két kifejezés összegeként írható fel: r{\ displaystyle \ mathbf {r}}Δϕ(r)=ϕ(r)-<ϕ>{\ displaystyle \ Delta \ phi (\ mathbf {r}) = \ phi (\ mathbf {r}) - <\ phi>}ϕ(0)⋅ϕ(r){\ displaystyle \ phi (0) \ cdot \ phi (\ mathbf {r})}<ϕ>⋅Δϕ{\ displaystyle <\ phi> \ cdot \ Delta \ phi}<ϕ(0)⋅ϕ(r)>{\ displaystyle <\ phi (0) \ cdot \ phi (\ mathbf {r})>}

<ϕ(0)⋅ϕ(r)> = <ϕ>2+<Δϕ(0)⋅Δϕ(r)>{\ displaystyle <\ phi (0) \ cdot \ phi (\ mathbf {r})> = <\ phi> ^ {2} + <\ Delta \ phi (0) \ cdot \ Delta \ phi (\ mathbf {r })>}

Az első kifejezés megfelel a diffúziós hosszúságú homogén sűrűségű közegben történő diffúziónak . Hozzájárulása nulla. Végül a mérés csak az átlag körüli ingadozásokra érzékeny: b~<ϕ>{\ displaystyle {\ tilde {b}} <\ phi>}

S(q)=b~2V×TF(<Δϕ(0)⋅Δϕ(r)>).{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} V \ -szeres TF (<\ Delta \ phi (0) \ cdot \ Delta \ phi (\ mathbf {r})>> ).}

Egy ideális gáz , autokorrelációs függvény a sűrűség ingadozása nulla kivételével . Ha az atomok a megfigyelési skálához ( ) képest nagyon kicsiek , akkor a fluktuációk autokorrelációs függvénye felírható r=0{\ displaystyle r = 0}q→0{\ displaystyle q \ to 0}

<Δϕ(0)⋅Δϕ(r)> = <Δϕ2>δ(r/nál nél){\ displaystyle <\ Delta \ phi (0) \ cdot \ Delta \ phi (\ mathbf {r})> = <\ Delta \ phi ^ {2}> \ delta (r / a)}

hol van a térfogat elem sűrűségingadozásainak és a gáz atomjának vagy molekulájának méretének szórása . a Dirac delta függvény . Fourier-transzformációval kapjuk: <Δϕ2>{\ displaystyle <\ Delta \ phi ^ {2}>}v=nál nél3{\ displaystyle v = a ^ {3}}nál nél{\ displaystyle a}δ{\ displaystyle \ delta}

S(q)=b~2Vv<Δϕ2>.{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} Vv <\ Delta \ phi ^ {2}>.}

A szórás közvetlenül összefügg a gáz izotermikus összenyomhatóságával : <Δϕ2>{\ displaystyle <\ Delta \ phi ^ {2}>}χT{\ displaystyle \ chi _ {T}}

χT=vkT×<Δϕ2><ϕ>2.{\ displaystyle \ chi _ {T} = {\ frac {v} {kT}} \ szor {\ frac {<\ Delta \ phi ^ {2}>} {<\ phi> ^ {2}}}.}

Megkapjuk az általános eredményt:

S(q)=b~2V<ϕ>2kTχT{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} V <\ phi> ^ {2} kT \ chi _ {T}}

hol van a hőenergia . Tökéletes gázért . Ezenkívül és definíció szerint tehát: kT{\ displaystyle kT}kTχT=kT/P=V/nem{\ displaystyle kT \ chi _ {T} = kT / P = V / n}ϕ=nemv/V{\ displaystyle \ phi = nv / V}

S(q)=b~2v2nem=b2nem.{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} v ^ {2} n = b ^ {2} n.}

A differenciális szórási keresztmetszet független a szórásvektortól (a sűrűségingadozások egyenértékűek a fehér zajjal ), és megfelel a mintatérfogatban lévő atomok keresztmetszetének összegének . ϕ{\ displaystyle \ phi}nem{\ displaystyle n}

Következetlen és következetes terjesztés

Ideális gáz esetében nincs összefüggés a gáz egy helyen lévő sűrűségének ingadozásai és a kiindulási hely között. Pontosabban ezek az összefüggések elhanyagolhatók, amint nagyobbak, mint a diffúziós hosszúság sűrűségének ingadozásai (ami nagyon kicsi és ideális gáz esetén egyenlő az atom méretével) korrelációs hossza . A két, egymástól távol eső térfogatelem által szórt hullámok függetlenek, és nincsenek fáziskoherenciájuk . Az intenzitásuk összeadódik. Inkoherens diffúzióról beszélünk . r{\ displaystyle \ mathbf {r}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}ξ{\ displaystyle \ xi}b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}nál nél{\ displaystyle a}r>ξ{\ displaystyle \ mathbf {r}> \ xi}

Ezzel szemben, ha az ingadozások korrelálnak ( ), a hullámok egy fázis koherenciával vannak szétszórva, ami összeadódást okoz. Ezután koherens diffúzióról beszélünk . Ilyen például a kristály által történő diffrakció. r<ξ{\ displaystyle \ mathbf {r} <\ xi}

Oldószer-oldott anyag keverék

Vegyünk egy oldatot, amely diffúziós hosszúság-sűrűségű oldott anyagot tartalmaz diffúziós hosszúságú oldószerben . b~1{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {1}}b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {0}}

Ha az oldott anyag átlagos térfogatfrakciót , az oldószer pedig a komplementer frakciót foglal el , akkor az átlagos diffúziós hosszúság-sűrűség az . ϕ{\ displaystyle \ phi}(1-ϕ){\ displaystyle (1- \ phi)}b~=ϕb~1+(1-ϕ)b~0=(b~1-b~0)ϕ+b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} = \ phi {\ tilde {b}} _ {1} + (1- \ phi) {\ tilde {b}} _ {0} = ({\ tilde {b} } _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) \ phi + {\ tilde {b}} _ {0}}

Másrészt egy adott helyen eltérhet, de mindig az alábbiak szerint írható, ha az oldószer összenyomhatatlan  : r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

b~(r)=(b~1-b~0)ϕ(r)+b~0.{\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r}) = ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) \ phi (\ mathbf {r }) + {\ tilde {b}} _ {0}.}

A Fourier-transzformáció tehát két kifejezés összege. Az egyenlő állandó kifejezés nem járul hozzá a szórt intenzitáshoz. Megszerezzük a hatékony szakaszhoz: b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {0}}

S(q)=(b~1-b~0)2×‖TF(ϕ(r))‖2.{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2} \ szer \ bal \ | { TF \ bal ({\ phi (\ mathbf {r})} \ jobbra}} jobbra \ | ^ {2}.}

Ha az oldat a megfigyelési skálához képest kis molekulákból áll, akkor az előző bekezdésben szereplő számítást meg lehet ismételni, hogy megkapjuk a . Ez magában foglalja a megoldás ozmotikus összenyomhatóságát . Csak az a tényező változik, amelyet az oldott anyag és az oldószer között "kontrasztnak" neveznek. ϕ(r){\ displaystyle \ phi (r)}(b~1-b~0)2{\ displaystyle ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2}}

Tárgyak, alaki tényező

A sugárzási szórás szempontjából az objektum meghatározható egy adott szóráshossz-sűrűségű összekapcsolt térfogatként egy másik sűrűségű közegben . Ez például egy makromolekula , egy polimer vagy egy nanorészecske egy oldószerben, de ez a meghatározás magában foglalja a porózus anyag lyukának esetét (anyag hiánya) . b~1{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {1}}b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {0}}

Amikor az objektumok koncentrációja elég alacsony ahhoz, hogy átlagos interdistanciájuk nagyobb legyen, mint a megfigyelési skála ( ), a különböző tárgyak által szétszórt hullámok miatti interferencia elhanyagolhatóvá válik: a végén elképzelhetjük, hogy csak 'egyetlen tárgy van . Az objektumok így hígított populációja esetében mindegyik sajátos módon járul hozzá a diffúz intenzitáshoz, amely azonos kifejezések összege : 1/q{\ displaystyle 1 / q}nem{\ displaystyle n}nem{\ displaystyle n}

S(q)=nem×(b~1-b~0)2×‖TF(ϕ1(r))‖2{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = n \ szer ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2} \ szor \ bal \ | {TF \ balra ({\ phi _ {1} (\ mathbf {r})} \ jobbra)} \ jobbra \ | ^ {2}}

ahol az objektum térfogati hányadát jelöli. ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}

A ,, hol van egy tárgy térfogata. Az egyik a formált tényezőt a standardizált mennyiségnek nevezi: q=0{\ displaystyle q = 0}TF(ϕ1(r))=v1{\ displaystyle TF \ bal ({\ phi _ {1} (\ mathbf {r})} \ jobb) = v_ {1}}v1{\ displaystyle v_ {1}}

P(q)=‖TF(ϕ1(r))‖2v12{\ displaystyle P (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ left \ | {TF \ left ({\ phi _ {1} (\ mathbf {r})} \ right)} \ right \ | ^ { 2}} {v_ {1} ^ {2}}}}

mint például . egyetlen tárgyat jellemez. A diffundált intenzitást írják: P(0)=1{\ displaystyle P (0) = 1}P(q){\ displaystyle P (\ mathbf {q})}

S(q)=nem×(b~1-b~0)2×v12×P(q).{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = n \ szer ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2} \ szoros v_ { 1} ^ {2} \ P-szer (\ mathbf {q}).}

Alaktényező

Nagyon gyakran a legfontosabb információ, amelyhez a kísérletező hozzáférni kíván, a vizsgált mintát alkotó tárgyak szerkezetére vagy konformációjára vonatkozik. Ezeket az információkat az alaki tényező tartalmazza.

Gömbszimmetrikus tárgyak

A függvény , amely leírja az anyag eloszlását az objektumban, csak a tömegközponttól való távolság függvénye . Ezen túlmenően, minden egyes vektor megfelelő átellenes, a Fourier-transzformáció a ezért magában csak a valós rész . ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}r{\ displaystyle r}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}ϕ(r){\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r})}kötözősaláta⁡(q⋅r){\ displaystyle \ cos (\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r})}

TF(ϕ1(r))=∫Vdrϕ1(r)eénq⋅r=∫Vdrϕ1(r)kötözősaláta⁡(q⋅r) =∫0∞dr4πr2ϕ1(r)∫0π/2kötözősaláta⁡(qrkötözősaláta⁡(φ))bűn⁡(φ)dφ =∫0∞dr4πr2ϕ1(r)bűn⁡(qr)qr{\ displaystyle {\ begin {tömb} {rcl} TF (\ phi _ {1} (\ mathbf {r})) & = & \ displaystyle {\ int _ {V} d \ mathbf {r} \ phi _ { 1} (\ mathbf {r}) e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}} = \ int _ {V} d \ mathbf {r} \ phi _ {1} (\ mathbf {r }) \ cos (\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r})} \\ [2ex] ~ & = & \ displaystyle {\ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos (qr \ cos (\ varphi)) \ sin (\ varphi) d \ varphi} \\ [2ex] ~ & = & \ displaystyle {\ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r) {\ frac {\ sin (qr)} {qr}}} \ end {sor}}}

ezért az alaki tényező esetében:

P(q)=(∫0∞dr4πr2ϕ1(r)bűn⁡(qr)qr∫0∞dr4πr2ϕ1(r))2.{\ displaystyle P (q) = \ left ({\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r) {\ frac {\ sin (qr)} {qr}}} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r)}} \ right) ^ {2} .}

Ne feledje, hogy a vektorok szabványainak eredménye, és nem a belső termékük . qr{\ displaystyle qr}q{\ displaystyle \ mathbf {q}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Egy gömb sugara , kapjuk: R{\ displaystyle R}

P(q)=(bűn⁡(qR)qR)2.{\ displaystyle P (q) = \ balra ({\ frac {\ sin (qR)} {qR}} \ jobbra) ^ {2}.}

Véletlenszerű tájolású objektumok

Bizonyos esetekben, például makromolekulák oldatához, az objektumok szabadon foroghatnak tömegközéppontjuk körül. A mért alaki tényező egy objektum összes lehetséges orientációjának átlaga a vektorhoz viszonyítva . Ez az átlag megadja a gömbszimmetria függvénytulajdonságait, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy a tömegközponttól mért távolság függvényében kifejezzük . Az alaki tényező ekkor megegyezik az előző egyenletével. q{\ displaystyle \ mathbf {q}}ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}r{\ displaystyle r}

Forgás sugara

Abban az esetben, ha az objektumok átlagosan gömbszimmetriával rendelkeznek (vö. Az előző két esetet), a korlátozott fejlődés

bűn⁡(qr)qr|qr≪1=1-(qr)2/6.+⋯{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ sin (qr)} {qr}} \ right | _ {qr \ ll 1} = 1- (qr) ^ {2} / 6 + \ cdots}

az alakfaktor kifejezésében használt:

P(q)=1-q23Rg2+⋯val velRg2=∫0∞4πr2ϕ(r)r2dr∫0∞4πr2ϕ(r)dr.{\ displaystyle {\ begin {tömb} {rcl} \ displaystyle P (q) = 1 - {\ frac {q ^ {2}} {3}} R_ {g} ^ {2} + \ cdots & {\ textrm {with}} & \ quad R_ {g} ^ {2} = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 4 \ pi r ^ {2} \ phi (r) r ^ {2 } dr} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 4 \ pi r ^ {2} \ phi (r) dr}} \ end {tömb}}.}

A diffúziós vektor domént, amelynek a feltétele teljesül az objektum összes pontjára, " Guinier- tartománynak  " nevezzük . qr≪1{\ displaystyle qr \ ll 1}

A nagyságnak megvan a hossza. Ez az objektum tömegközéppontjától számított távolságok középértékének négyzete . Ez az a gömb sugara, amelynek tehetetlenségi nyomatéka megegyezik az objektuméval. Ezt az "átlagos" sugarat nevezzük a tárgy forgási sugárának. Rg{\ displaystyle R_ {g}}

Egy egyenletes sugarú és sűrűségű labda esetén megkapjuk . Egy gömbhöz , . R{\ displaystyle R}Rg=35.R{\ displaystyle R_ {g} = {\ sqrt {\ frac {3} {5}}} R}Rg=R{\ displaystyle R_ {g} = R}

Néhány klasszikus példa

Hozzáférés az alak tényezőhöz

Tárgyak közötti kölcsönhatások, szerkezeti tényező

Diffúzió interfésszel, Porod törvénye