Monokromatikus hullám

A monokromatikus vagy harmonikus hullám olyan hullám , amelyet az idő szinuszfüggvényével lehet leírni. A spektrális energiasűrűség csak egy frekvenciát , csak egy hullámhosszon . Mi is beszélünk szinuszhullám , és ha ez egy elektromágneses hullám , az egy monoenergiás hullám .

A szinusz hullámok tanulmányozása nagy jelentőséggel bír a hullámok és azok terjedésének különféle területein, a matematikai megközelítés egyszerűsége és azért, mert minden hullám szinusz hullámok összegévé bontható harmonikus elemzéssel .

A monokromatikus kifejezés az optika területéről származik: a látható tartományban lévő monokromatikus elektromágneses sugárzás esetén tiszta színről beszélünk . A harmonikus kifejezés az akusztika területéről származik  : szinuszos hangnyomáshullám esetén tiszta hangról beszélünk ; egy periodikus hangot harmonikusai jellemzik . Ezeket a kifejezéseket kiterjesztve a villamos energia és a mechanika területén is használják.

A gyakorlatban nincs tökéletesen monokromatikus hullám, már csak azért is, mert soha egyetlen forrás sem bocsát ki állandóan: a frekvencia vagy a hullámhossz körül sugárzási erőmű mindig szóródik. Tehát legjobb esetben kvázi monokromatikus hullámokat mérhetünk, előállíthatunk, felhasználhatunk: spektrumaik csak nagyon keskeny frekvenciasávot foglalnak el ( Dic. Phys. ).

Analitikai modellezés

Szinuszos rezgés

A harmonikus rezgés egy fizikai mennyiség variációja egy átlagos érték körül az idő szinuszos függvényét követve. Ez a fogalom különösen alkalmas mechanikus oszcillátorok (amelyeknél nincs terjedés) és elektromos áramkörök (amelyeknél a terjedést az áramkör méreteit és az érintett frekvenciákat figyelembe véve pillanatnyinak tekintjük) tanulmányozására alkalmas. Tudunk írni : ψ{\ displaystyle \ psi}

ψ(t)=NÁL NÉL⋅kötözősaláta⁡(ωt+ϕ){\ displaystyle \ psi (t) = A \ cdot \ cos (\ omega t + \ phi)}.

• NÁL NÉL{\ displaystyle A}az amplitúdó, és megfelel a maximális értéknek ,ψ{\ displaystyle \ psi}
• ω{\ displaystyle \ omega}a pulzus radian / másodpercben ( rad s −1 ),
• ϕ{\ displaystyle \ phi}a fáziskésés radiánban .

Az impulzus összefügg a frekvencia vagy időszakot idő szerint . f{\ displaystyle f}T{\ displaystyle T}ω=2πf=2πT{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

A komplex ábrázolás, más néven analitikus ábrázolás, gyakran leegyszerűsítheti a számításokat. Az alkalmazott konvenciók szerint megjegyezzük:

• sem ,ψ_(t)=NÁL NÉL⋅ej(ωt+ϕ)=NÁL NÉL⋅ejϕ⋅ejωt{\ displaystyle {\ aláhúzás {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j (\ omega t + \ phi)} = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ omega t}}
• sem .ψ_(t)=NÁL NÉL⋅e-j(ωt+ϕ)=NÁL NÉL⋅e-jϕ⋅e-jωt{\ displaystyle {\ aláhúzás {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j (\ omega t + \ phi)} = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j \ phi} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j \ omega t}}

Minden esetben: . ψ(t)=Re(ψ_(t)){\ displaystyle \ psi (t) = \ mathrm {Re} ({\ aláhúzás {\ psi}} (t))}

Utazó szinusz hullám

Progresszív szinusz hullám esetén a rezgés sebességgel terjed , írhatunk: vs.{\ displaystyle c}

ψ(r→,t)=NÁL NÉL(r→)⋅kötözősaláta⁡(ωt-k→⋅r→+φ){\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = A ({\ vec {r}}) \ cdot \ cos (\ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r }} + \ varphi)}.

• r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} a vizsgált pont helyzetvektora.
• Az amplitúdó a csillapítás, a forrás irányíthatósága stb. Miatti pozíciótól függ.NÁL NÉL(r→){\ displaystyle A ({\ vec {r}})}
• φ{\ displaystyle \ varphi}az origó fázisa (for és nulla).t{\ displaystyle t}x{\ displaystyle x}
• A vektor a hullámvektor . Normáját hullámszámnak nevezzük, és rad m –1-ben fejezzük ki  ; a hullámhosszhoz (téridőszakhoz) kapcsolódik .k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}k{\ displaystyle k}k=‖k→‖=2πλ{\ displaystyle k = \ | {\ vec {k}} \ | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

A hullám sebessége (terjedési sebessége) lehetővé teszi az időbeli és a térbeli mennyiségek összekapcsolását egymással:

vs.=λT=ωk{\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}.

Szinuszos állóhullám

A harmonikus állóhullám legalább két harmonikus haladó hullám interferenciájának következménye. Különleges harmonikus rezgésről van szó. Az ilyen típusú jelenségeket különösen a mechanikában, az akusztikában vagy az átviteli területeken vizsgálják.

A legegyszerűbb példa két ellenkező irányban terjedő síkhullámra:

ψ1(x,t)=NÁL NÉLkötözősaláta⁡(ωt-kx){\ displaystyle \ psi _ {1} (x, t) = A \ cos (\ omega t-kx)}

ψ2(x,t)=NÁL NÉLkötözősaláta⁡(ωt+kx){\ displaystyle \ psi _ {2} (x, t) = A \ cos (\ omega t + kx)}

ψ(x,t)=ψ1(x,t)+ψ2(x,t)=2NÁL NÉL⋅kötözősaláta⁡(ωt)⋅kötözősaláta⁡(kx){\ displaystyle \ psi (x, t) = \ psi _ {1} (x, t) + \ psi _ {2} (x, t) = 2A \ cdot \ cos {(\ omega t)} \ cdot \ cos (kx)}

A fizikai mennyiség szinuszosan vibrál a pulzálás minden pontján . Amplitúdója a helyzetétől függ: csomók és has alakul ki. ω{\ displaystyle \ omega}

Kvázi szinuszos rezgés

A rezgést vagy a hullámot kvázi szinuszosnak tekinthetjük, ha teljesítmény-spektrális sűrűsége nagyon keskeny frekvenciasávot foglal el.

Példa csonka szinuszos jelre:

{ψ_(t)=NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅ej.2π.f0.t ha t∈[0;τ]ψ_(t)=0 ha nem{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ aláhúzás {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. 2 \ pi .f_ {0} .t} \ {\ text {si}} \ t \ in \ balra [0; \ tau \ right] \\ {\ aláhúzás {\ psi}} (t) = 0 \ { \ text {különben}} \ end {esetek}}}

Meg kell határoznunk a Fourier-transzformációt:

ψ^_(f)=∫-∞+∞ψ_(t)⋅e-j.2π.f.t⋅dt{\ displaystyle {\ aláhúzás {\ hat {\ psi}}} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ aláhúzás {\ psi}} (t) \ cdot \ mathrm {e } ^ {- j.2 \ pi .ft} \ cdot \ mathrm {d} t},

spektrális energiasűrűségének ismerete:

|ψ^_(f)|2=τ2⋅NÁL NÉL2⋅(bűn⁡(π.(f-f0).τ)π.(f-f0).τ)2{\ displaystyle \ left | {\ aláhúzás {\ hat {\ psi}}} (f) \ right | ^ {2} = \ tau ^ {2} \ cdot A ^ {2} \ cdot \ left ({\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ {0}). \ tau)} {\ pi. (f-f_ {0}). \ tau}} \ jobbra) ^ {2}}

Kvázi monokromatikusnak tekinthetjük a rezgést, ha ez azt jelenti, hogy a szinuszos jel időszaka, ha1τ≪f0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} \ ll f_ {0}}T0{\ displaystyle T_ {0}}τ≫T0{\ displaystyle \ tau \ gg T_ {0}}

Demonstráció

ψ^_(f)=∫-∞+∞ψ_(t)⋅e-j.2π.f.t⋅dt =NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅∫0τej.2π.f0.t⋅e-j.2π.f.t⋅dt =NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅∫0τej.2π.(f0-f).t⋅dt =NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅[ej.2π.(f0-f).tj.2π.(f0-f)]0τ =NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅ej.2π.(f0-f).τ-1j.2π.(f0-f) =NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅ej.π.(f0-f).τ⋅ej.π.(f0-f).τ-e-j.π.(f0-f).τj.2π.(f0-f) =NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅ej.π.(f0-f).τ⋅2.j.bűn⁡(π.(f0-f).τ)j.2π.(f0-f) =τ⋅NÁL NÉL⋅ejϕ0⋅ej.π.(f0-f).τ⋅bűn⁡(π.(f0-f).τ)π.(f0-f).τ =τ⋅NÁL NÉL⋅bűn⁡(π.(f-f0).τ)π.(f-f0).τ⋅ej.(π.(f0-f).τ+ϕ0){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ aláhúzás {\ hat {\ psi}}} (f) & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ aláhúzás {\ psi}} (t ) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j.2 \ pi .ft} \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ int _ {0} ^ {\ tau} \ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi .f_ {0} .t} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j.2 \ pi .ft } \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ int _ {0} ^ {\ tau} \ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi. (f_ {0} -f) .t} \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ left [{\ frac {\ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi. (f_ {0} -f) .t}} {j.2 \ pi. (f_ {0} -f)} } \ right] _ {0} ^ {\ tau} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {e} ^ {j .2 \ pi. (F_ {0} -f). \ Tau} -1} {j.2 \ pi. (F_ {0} -f)}} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ {0} -f). \ tau} \ cdot {\ frac {\ mathrm {e} ^ {j . \ pi. (f_ {0} -f). \ tau} - \ mathrm {e} ^ {- j. \ pi. (f_ {0} -f). \ tau}} {j.2 \ pi. (f_ {0} -f)}} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ { 0} -f). \ Tau} \ cdot {\ frac {2.j. \ sin (\ pi. (F_ {0} -f). \ Tau)} {j.2 \ pi. (F_ {0} -f )}} \\\ & = \ tau \ cdot A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ {0} - f). \ tau} \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi. (f_ {0} -f). \ tau)} {\ pi. (f_ {0} -f). \ tau}} \\ \ & = \ tau \ cdot A \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ {0}). \ tau)} {\ pi. (f-f_ {0}). \ tau}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ balra (\ pi. \ balra (f_ {0} -f \ jobbra). \ tau + \ phi _ {0} \ jobbra}} \ end {igazítva}}}

|ψ^_(f)|=τ⋅NÁL NÉL⋅(bűn⁡(π.(f-f0).τ)π.(f-f0).τ){\ displaystyle \ left | {\ aláhúzás {\ hat {\ psi}}} (f) \ right | = \ tau \ cdot A \ cdot \ left ({\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ { {0}). \ Tau)} {\ pi. (F-f_ {0}). \ Tau}} \ jobbra}}

nál nélrg(ψ^_(f))=π.(f0-f).τ+ϕ0{\ displaystyle \ mathrm {arg} \ bal ({\ aláhúzás {\ hat {\ psi}}} (f) \ jobb) = \ pi. \ bal (f_ {0} -f \ jobb). \ tau + \ phi _ {0}}

Alkalmazási területek

Optikai

Az optika az elektromágneses hullámok terjedésével foglalkozik . Ebben az összefüggésben egy monokromatikus hullám olyan elektromágneses hullámot jelöl, amelynek elektromos mezője és mágneses tere az idő szinuszos függvényétől függően változik. Ez a név ugyanolyan jól használható a látható tartomány sugárzására, mint a láthatatlan domének, különösen az infravörös és az ultraibolya .

A fotometria és a kolorimetria területén , amely az elektromágneses spektrum látható részére korlátozódik, tiszta vagy spektrális szín az az érzés, amelyet az emberi látórendszeren a látható tartomány monokromatikus elektromágneses hulláma hoz létre. Az észlelt színek azok, amelyeket az ember a fény diszpergálása során megfigyel egy prizma vagy egy diffrakciós rács segítségével egy sötét helyiségben , vagyis a szivárvány színei. A kvázi monokromatikus hullámok kísérleti előállításához általában monokromátort használnak .

Látható spektrum és árnyalatok megnevezése

Észlelt szín		Hullámhossz vákuumban ( nm ) λ{\ displaystyle \ lambda}	Frekvencia ( THz ) f{\ displaystyle f}
infravörös		> 780	<385
piros		622 - 780	482 - 385
Narancsvörös		605 - 622	482 - 496
narancsvörös		593–605	496 - 506
narancs		588 - 593	506 - 510
narancssárga		584 - 588	510 - 514
sárga narancssárga		579 - 584	514 - 518
sárga		575 - 579	518 - 522
sárga zöld		573 - 575	522 - 524
Zöld sárga		541 - 573	524 - 555
zöld		510–541	555 - 588
zöldes-kék		490 - 510	588 - 612
Kékeszöld		483 - 490	612 - 621
kék		478 - 483	621 - 628
kék-lila		466 - 478	628 - 644
lila-kék		449 - 466	644 - 668
lila		380 - 449	668 - 789
ultraibolya		<380	> 789

A monokromatikus kifejezést nem szabad összetéveszteni a monokróm kifejezéssel, ami azt a kifejezést jelenti, hogy egyetlen színt és gyakran tágabb értelemben egyetlen színmezőt egy teljes felületen érzékelünk. Ez a szín általában nem felel meg a monokromatikus hullámnak.

Akusztikus

Az akusztikus hullámok a hang okozta hangnyomás változásából származnak. Tiszta hang egy szinuszos változása hangnyomás területén a hallható frekvenciákat.

Példa - Mindenirányú pontforrás által kibocsátott tiszta hang terjedése:

Gömbhullám esetén, mivel a forrástól való távolság és a tényleges hangnyomás a forrástól 1 m-re, a hangnyomásmezőt a következők határozzák meg: r{\ displaystyle r}P(1 m){\ displaystyle P (1 \ \ mathrm {m})}

o(r,t)=P(1 m).2r⋅kötözősaláta⁡(ω.t-k.r+φ){\ displaystyle p (r, t) = {\ frac {P (1 \ \ mathrm {m}). {\ sqrt {2}}} {r}} \ cdot \ cos (\ omega .tk.r + \ varphi)}.

Függelékek

Bibliográfia

• Eugène Hecht , Optique , Párizs, Pearson Education France,2005, 4 th  ed. , 724  p. ( ISBN  2-7440-7063-7 )
• José-Philippe Pérez , optika. Alapítványok és alkalmazások , Párizs, Dunod ,2004, 7 -én  ed. [ a kiadások részlete ] ( ISBN  2-10-048497-4 )
• Richard Taillet , Loïc Villain és Pascal Febvre , Fizikai szótár , Brüsszel, De Boeck ,2013, P.  450 "monokromatikus"

Kapcsolódó cikkek

• Monokróm
• Harmonikus (zene)
• Interferometria
• Diffrakció
• Polikromatikus fény

Megjegyzések és hivatkozások

1. Csak az elektromágneses hullámokra a frekvencia, a hullámhossz vagy a fotonenergia jellemző.
2. tól ókori görög μόνος , Mónos , "csak" és χρῶμα , khrôma , "színes".
3. A színek megnevezése és a hullámhossz-intervallumok határai az AFNOR X 08-010 „Általános módszertani színosztályozás” szabványból származnak (törölték 2014. augusztus 30-án). A monokromatikus hullámoknak (lila vonal) nem megfelelő színtartományok nevét itt nem adjuk meg.
4. a számítógép képernyője nem képes monokromatikus fényt előállítani, a színes keretek hozzávetőlegesen utalnak. A CIE XYZ kolorimetrikus függvénytáblázatok megadják a monokromatikus fények trikromatikus helyzetét. (1) az sRGB konverziós mátrix lineáris (pozitív és negatív) koordinátákká alakítja át , (2) az éppen megfelelő elegendő mennyiségű achromatikus fény hozzáadásával (a szürke színének megegyező színével) visszahozza pozitív értékekre. , kivéve a piros-narancssárga (3) komponens komponensenként szorzót együtthatóval, hogy a spektrális fényhatásfok- mutatóval arányos fényerőt kapjuk, és (4) nem lineáris kódgá alakítsuk az sRGB előírások szerint. Két szín korrekciót igényelt, az sRGB primerek jellemzői miatt. A piros-narancs maximális tisztasága, a vörös primer régiója a fényviszonyok miatt csökken, és a szomszédos színek között egy közbenső értéket ér el. A kék-ibolya tisztaságát a szomszédos színekhez hasonlóan csökkentették, hogy ne tűnjenek ezeknél színesebbnek.

1. José-Philippe Pérez 2005 , p.  214-216
2. Eugène Hecht 2005 , p.  16-18
3. Mario Rossi , Audio , Lausanne, Press politechnics and universitaire romandes,2007, 1 st  ed. , 782  p. ( ISBN  978-2-88074-653-7 , online olvasás ) , p.  5-6
4. Robert Sève , a színtudomány : fizikai és észlelési szempontok , Marseille, Chalagam,2009, 374  p. ( ISBN  978-2-9519607-5-6 és 2-9519607-5-1 ) , p.  246-251

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">