Cournot duopóliuma
A Cournot duopólium egy olyan gazdasági modell , amelyet egy olyan ipari szerkezet leírására használnak, amelyben a cégek versenyeznek termelési volumenük felett. Ezekről a kötetekről egyszerre, egymástól függetlenül döntenek. A neve Antoine-Augustin Cournot (1801-1877) matematikustól származik, aki elméletét úgy állította be, hogy megfigyelte a forrásvizet árusító duopóliumon belüli vállalatok viselkedését .
Ez az elmélet a következő feltételezéseken alapszik:
- Több vállalat van, és minden vállalat homogén terméket állít elő , így nincs különbség .
- A cégek nem működnek együtt, nincs összefogás.
- A vállalatok piaci erővel bírnak , ezért ruhakészítők ( Price maker ).
- A cégek száma rögzített, így akadálya van a belépésnek .
- A cégek a mennyiség, nem az ár alapján versenyeznek, és egyidejűleg választják meg mennyiségüket.
- A vállalatok racionálisak és a profit maximalizálására törekszenek .
Amint enyhítjük a mennyiségek rögzítésének egyidejűségével kapcsolatos hipotézist, Stackelberg duopóliummal kell szembenéznünk, vagyis a cégek egymás után rögzítik a felajánlott mennyiségeket. Az első mennyiségben vezető lesz, a második pedig a követő.
Modell bemutató
A duopólianalízis módszer a játék Nash-egyensúlyának megtalálását jelenti , amelyben két cég egyszerre választja meg termelési szintjét.
Ezt a játékot a következőképpen határozzák meg:
- Játékosok: a két cég ( és )1{\ displaystyle 1}2{\ displaystyle 2}
- Műveletek: minden cég kiválasztja az előállított mennyiséget ( és )q1{\ displaystyle q_ {1}}q2{\ displaystyle q_ {2}}
- Kifizetések: cég nyeresége én∈{1,2}{\ displaystyle i \ in \ {1,2 \}}πén(q1,q2)=P(q1+q2)qén-VSén(qén){\ displaystyle \ pi _ {i} (q_ {1}, q_ {2}) = P (q_ {1} + q_ {2}) q_ {i} -C_ {i} (q_ {i})}
Felbontás lineáris esetben
- A keresleti függvény lineáris:, hol van a piacon előállított teljes mennyiség.P(Q)=nál nél-bQ{\ displaystyle P (Q) = a-bQ}Q=q1+q2{\ displaystyle Q = q_ {1} + q_ {2}}
- A költségfüggvény lineáris:, ahol minden pozitív és for .VSén(qén)=vs.énqén{\ displaystyle C_ {i} (q_ {i}) = c_ {i} q_ {i}}(nál nél,b,vs.1,vs.2)∈R+4{\ displaystyle (a, b, c_ {1}, c_ {2}) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {4}}vs.én<nál nél{\ displaystyle c_ {i} <a}én=1,2{\ displaystyle i = 1,2}
(q1vs.,q2vs.){\ displaystyle (q_ {1} ^ {c}, q_ {2} ^ {c})} egy Cournot (vagy Cournot-Nash) egyensúly, ha:
{q1vs.megoldása maxq1π1(q1,q2vs.)q2vs.megoldása maxq1π2(q1vs.,q2)A {\ displaystyle {\ begin {cases} q_ {1} ^ {c} és a {\ text {a}} {\ underset {q_ {1}} {\ max}} \ pi _ {1} (q_ { 1}, q_ {2} ^ {c}) \\ q_ {2} ^ {c} és a {\ text {a}} {\ underset {q_ {1}} {\ max}} \ pi _ {megoldása 2} (q_ {1} ^ {c}, q_ {2}) \ end {esetek}}}
Valójában a fentiekben meghatározott játék Nash-egyensúlya, mivel minden játékos a legjobban reagál a másik játékos egyensúlyi stratégiájára.
Az egyensúly eléréséhez elemezni kell a két cég legjobb válaszfüggvényeit. Egy mennyiséget termelt a cég , a profit a cég aq2{\ displaystyle q_ {2}}2{\ displaystyle 2}1{\ displaystyle 1}π1(q1,q2)=(nál nél-b(q1+q2))q1-vs.1q1{\ displaystyle \ pi _ {1} (q_ {1}, q_ {2}) = (ab (q_ {1} + q_ {2})) q_ {1} -c_ {1} q_ {1}}
A vállalat a mennyiség maximalizálása érdekében választja ki (a vállalatnak természetesen nem lehet hatása , ezért problémájának adottnak tekinti ). Ez a mennyiség akkor maximalizálódik, amikor származéka eltűnik:1{\ displaystyle 1}q1{\ displaystyle q_ {1}}π1(q1,q2){\ displaystyle \ pi _ {1} (q_ {1}, q_ {2})}1{\ displaystyle 1}q2{\ displaystyle q_ {2}}q2{\ displaystyle q_ {2}}∂π1(q1,q2)∂q1=nál nél-bq2-2bq1-vs.1=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ pi _ {1} (q_ {1}, q_ {2})} {\ részleges q_ {1}}} = a-bq_ {2} -2bq_ {1} -c_ {1} = 0}
Melyek adják:q1=R1(q2)=nál nél-vs.12b-12q2{\ displaystyle q_ {1} = R_ {1} (q_ {2}) = {\ frac {a-c_ {1}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {2}}
q2↦R1(q2){\ displaystyle q_ {2} \ mapsto R_ {1} (q_ {2})}a vállalat legjobb válaszfüggvényének (vagy reakciófüggvényének) nevezik . A versenytárs által előállított bármely mennyiség esetén jelölje meg azt a mennyiséget, amely maximalizálja a vállalat profitját .
1{\ displaystyle 1}q2{\ displaystyle q_ {2}}R1(q2){\ displaystyle R_ {1} (q_ {2})}1{\ displaystyle 1}
Szimmetria alapján a vállalat legjobb válaszfüggvénye :2{\ displaystyle 2}q2=R2(q1)=nál nél-vs.22b-12q1{\ displaystyle q_ {2} = R_ {2} (q_ {1}) = {\ frac {a-c_ {2}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {1}}
A legjobb válaszfunkciók csökkennek. Azt mondjuk, hogy a mennyiségek stratégiai helyettesítők : minél többet gyárt egy cég, annál kevesebbet kell termelnie a versenynek.
Intuitív módon, ha egy cég többet termel, akkor csökken az ár, amelyen a versenytárs cég eladhat, minden más dolog egyenlő, ezért csökken az árrés és a kevesebb termelés ösztönzése.
A fenti grafikon, amely a vállalat két különböző értékének fennmaradó igényét mutatja be , szemlélteti ezt a koncepciót. A maradék kereslet azt a keresletet méri, amelyet egy adott cég külön-külön kap, figyelembe véve a másik cég termelési szintjét. Így tehát az (inverz) keresleti függvénye , míg a reziduális kereslet a cég a függvénye egy adott termelési szint . Tehát abban az esetben, ha a kereslet lineáris, a maradványigény mindig egy vonal, amely párhuzamos az inverz keresleti görbével, és minél nagyobb mértékben növekszik, annál inkább a cég maradványigényének vonala mozog balra. Például, amikor a vállalat növeli termelését (folytonos vonalról) (szaggatott vonalra) , a piaci ár a -tól való csökkenés függvényében . Az új határbevételt ezért a grafikonon belül is lefordítják. Mivel a költségek változatlanok maradnak, a maximalizálási probléma megoldása balra tolódik. Így .
1{\ displaystyle 1}q2{\ displaystyle q_ {2}}q1+q2{\ displaystyle q_ {1} + q_ {2}}1{\ displaystyle 1}q1{\ displaystyle q_ {1}}q2{\ displaystyle q_ {2}}q2{\ displaystyle q_ {2}}1{\ displaystyle 1}2{\ displaystyle 2}q2′{\ displaystyle q '_ {2}}q2{\ displaystyle q_ {2}}q2>q′2{\ displaystyle q_ {2}> q'2}q1{\ displaystyle q_ {1}}P(q1+q2′){\ displaystyle P (q1 + q '_ {2})}P(q1+q2){\ displaystyle P (q_ {1} + q_ {2})}Rm=VSm{\ displaystyle R_ {m} = C_ {m}}R1(q2)<R1(q2′){\ displaystyle R_ {1} (q_ {2}) <R_ {1} (q '_ {2})}
Mivel a keresleti függvény lineáris, meredeksége nem függ az előállított mennyiségektől.
Ezután a következő rendszert kell megoldani:
{q1vs.=R1(q2vs.)(1)q2vs.=R2(q1vs.)(2){\ displaystyle {\ begin {esetben} q_ {1} ^ {c} = R_ {1} (q_ {2} ^ {c}) és (1) \\ q_ {2} ^ {c} = R_ {2 } (q_ {1} ^ {c}) és (2) \ end {esetek}}}
A helyettesítéssel a következőket kapjuk:
q2vs.=R2(q1vs.)=nál nél-vs.22b-12q1vs.{\ displaystyle q_ {2} ^ {c} = R_ {2} (q_ {1} ^ {c}) = {\ frac {a-c2} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {1} ^ {c}}(1){\ displaystyle (1)}
q1vs.=nál nél-vs.12b-12(nál nél-vs.22b-12q1vs.)⟺34q1vs.=2nál nél-2vs.1-nál nél+vs.24b⟺q1vs.=nál nél-2vs.1+vs.23b{\ displaystyle {\ begin {aligned} q_ {1} ^ {c} & = {\ frac {a-c_ {1}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} \ balra ({\ frac {a-c_ {2}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {1} ^ {c} \ right) \\\ iff {\ frac {3} {4}} q_ {1} ^ {c} & = {\ frac {2a-2c_ {1} -a + c_ {2}} {4b}} \\\ iff q_ {1} ^ {c} & = {\ frac {a -2c_ {1} + c_ {2}} {3b}} \ end {igazítva}}}
Következtethetünk:
q2vs.=R2(q1vs.)=nál nél-vs.22b-12(nál nél-2vs.1+vs.23b)⟺q2vs.=3nál nél-3vs.2-nál nél+2vs.1-vs.26.b⟺q2vs.=nál nél-2vs.2+vs.13b{\ displaystyle {\ begin {aligned} q_ {2} ^ {c} & = R_ {2} (q_ {1} ^ {c}) = {\ frac {a-c_ {2}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} \ balra ({\ frac {a-2c_ {1} + c_ {2}} {3b}} \ jobbra) \\\ iff q_ {2} ^ {c} & = {\ frac {3a-3c_ {2} -a + 2c_ {1} -c_ {2}} {6b}} \\\ iff q_ {2} ^ {c} & = {\ frac {a-2c_ {2 } + c_ {1}} {3b}} \ vége {igazítva}}}
A piacon kínált teljes mennyiség:Qvs.=q1vs.+q2vs.=2nál nél-vs.1-vs.23b{\ displaystyle Q ^ {c} = q_ {1} ^ {c} + q_ {2} ^ {c} = {\ frac {2a-c_ {1} -c_ {2}} {3b}}}
A megfelelő ár:ovs.=nál nél-bQvs.=nál nél+vs.1+vs.23{\ displaystyle p ^ {c} = a-bQ ^ {c} = {\ frac {a + c_ {1} + c_ {2}} {3}}}
Végül a számításokat a következőképpen számítják ki:π1vs.=(ovs.-vs.1)q1vs.=nál nél-2vs.1+vs.23×nál nél-2vs.1+vs.23b=(nál nél-2vs.1+vs.2)29.b{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {c} = (p ^ {c} -c_ {1}) q_ {1} ^ {c} = {\ frac {a-2c_ {1} + c_ {2} } {3}} \ szor {\ frac {a-2c_ {1} + c_ {2}} {3b}} = {\ frac {(a-2c_ {1} + c_ {2}) ^ {2}} {9b}}}
Hasonlóképpen,π2vs.=(ovs.-vs.2)q2vs.=nál nél-2vs.2+vs.13×nál nél-2vs.2+vs.13b=(nál nél-2vs.2+vs.1)29.b{\ displaystyle \ pi _ {2} ^ {c} = (p ^ {c} -c_ {2}) q_ {2} ^ {c} = {\ frac {a-2c_ {2} + c_ {1} } {3}} \ szor {\ frac {a-2c_ {2} + c_ {1}} {3b}} = {\ frac {(a-2c_ {2} + c_ {1}) ^ {2}} {9b}}}
Megjegyzendő, hogy , .
πénvs.=b(qénvs.)2{\ displaystyle \ pi _ {i} ^ {c} = b (q_ {i} ^ {c}) ^ {2}}én∈{1,2}{\ displaystyle i \ in \ {1,2 \}}
Ha a cégek szimmetrikusak, akkor és:
vs.1=vs.2=vs.{\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = c}
q1vs.=q2vs.=qvs.=nál nél-vs.3b; Qvs.=2qvs.=2(nál nél-vs.)3b{\ displaystyle q_ {1} ^ {c} = q_ {2} ^ {c} = q ^ {c} = {\ frac {ac} {3b}}; ~ Q ^ {c} = 2q ^ {c} = {\ frac {2 (ac)} {3b}}}
ovs.=nál nél+2vs.3{\ displaystyle p ^ {c} = {\ frac {a + 2c} {3}}}
π1=π2=(nál nél-vs.)29.b{\ displaystyle \ pi _ {1} = \ pi _ {2} = {\ frac {(ac) ^ {2}} {9b}}}
A modell kiterjesztése a cégekre: Cournot oligopóliumanem{\ displaystyle n}
Azonos cégek esetenem{\ displaystyle n}
Felbontás lineáris esetben
Vagy azonos cégek (mindegyiknek ugyanaz a határköltsége ). Legyen az a mennyiség, amelyet a cégen kívül az összes cég gyártott . A cég problémája leírható:nem{\ displaystyle n}vs.{\ displaystyle c}qén¯{\ displaystyle q _ {\ overline {i}}}én{\ displaystyle i}én{\ displaystyle i}maxqénπén((qk)k∈[[1,nem]])=(nál nél-b(qén+qén¯)-vs.)qén{\ displaystyle {\ aláhúzás {q_ {i}} {\ max}} \ pi _ {i} \ bal ((q_ {k}) _ {k \ itt: [\! [1, n] \!]} \ jobbra) = (ab (q_ {i} + q _ {\ overline {i}}) - c) q_ {i}}
Amelyek adnakRén(qén¯)=nál nél-vs.2b-12qén¯(3){\ displaystyle R_ {i} (q _ {\ overline {i}}) = {\ frac {ac} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q _ {\ overline {i}} ( 3)}
Ne feledje, hogy a cég legjobb válaszfüggvénye nem a többi cég egyedi mennyiségétől, hanem a versenytársak által előállított teljes mennyiségtől függ .
qén¯{\ displaystyle q _ {\ overline {i}}}
A Nash-egyensúly olyan mennyiségekből áll, mint például:((qkvs.)k∈[[1,nem]]){\ displaystyle ((q_ {k} ^ {c}) _ {k \ itt: [\! [1, n] \!]})}∀k∈[[1,nem]], qkvs.=nál nél-vs.2b-12∑1≤j≤nem, j≠kqjvs.{\ displaystyle \ összes k \ itt: [\! [1, n] \!], ~ q_ {k} ^ {c} = {\ frac {ac} {2b}} - {\ frac {1} {2} } \ sum _ {1 \ leq j \ leq n, ~ j \ neq k} q_ {j} ^ {c}}
Mivel minden cég szimmetrikus, mindegyiknek ugyanazt a mennyiséget kell előállítania. Így . Ha az összeset lecseréljük a következőre :∀k∈[[1,nem]], qkvs.=qvs.{\ displaystyle \ összes k \ itt: [\! [1, n] \!], ~ q_ {k} ^ {c} = q ^ {c}}qénvs.{\ displaystyle q_ {i} ^ {c}}qvs.{\ displaystyle q ^ {c}}qvs.=nál nél-vs.2b-nem-12qvs.{\ displaystyle q ^ {c} = {\ frac {ac} {2b}} - {\ frac {n-1} {2}} q ^ {c}}
Így,qvs.=nál nél-vs.b(nem-1){\ displaystyle q ^ {c} = {\ frac {ac} {b (n-1)}}}
Ebből kifolyólagQvs.=nemqvs.=nemnem+1nál nél-vs.b{\ displaystyle Q ^ {c} = nq ^ {c} = {\ frac {n} {n + 1}} {\ frac {ac} {b}}},
és
ovs.=nál nél-bQvs.=nál nél+nemvs.nem+1{\ displaystyle p ^ {c} = a-bQ ^ {c} = {\ frac {a + nc} {n + 1}}}.
Végül minden cég számára én{\ displaystyle i}πén=π=(ovs.-vs.)qvs.=1b(nál nél-vs.nem+1)2{\ displaystyle \ pi _ {i} = \ pi = (p ^ {c} -c) q ^ {c} = {\ frac {1} {b}} \ balra ({\ frac {ac} {n + 1}} \ jobbra) ^ {2}}
Összehasonlítás a tökéletes versennyel és monopóliummal
A tiszta és tökéletes versenyben meg kell . Az egyetlen lehetséges egyensúlyi ár tehát az , amely a teljes előállított mennyiséget adja .
o=VSm=vs.{\ displaystyle p = C_ {m} = c}o∗=vs.{\ displaystyle p ^ {*} = c}Q∗=nál nél-vs.b{\ displaystyle Q ^ {*} = {\ frac {ac} {b}}}
Monopóliumban maximalizálja , ami ad , ésQM{\ displaystyle Q ^ {M}}(nál nél-bq-vs.)q{\ displaystyle (a-bq-c) q}QM=nál nél-vs.2b{\ displaystyle Q ^ {M} = {\ frac {ac} {2b}}}oM=nál nél+vs.2{\ displaystyle p ^ {M} = {\ frac {a + c} {2}}}
Így,
QM<Qvs.<Q∗{\ displaystyle Q ^ {M} <Q ^ {c} <Q ^ {*}}és .o∗<ovs.<oM{\ displaystyle p ^ {*} <p ^ {c} <p ^ {M}}
Tökéletes versenyben az össztermelés a legnagyobb (és ezért a legalacsonyabb ár), és monopóliumban a legkevesebb (és ezért a legmagasabb) a termelés. A Cournot-oligopol egy köztes helyzet.
Másrészt minél nagyobb , annál nagyobb a mennyiség és alacsonyabb az ár. Mikor vesszük észre, hogy és . Mikor , megtaláljuk és .
nem{\ displaystyle n}nem→∞{\ displaystyle n \ to \ infty}Qvs.→Q∗{\ displaystyle Q_ {c} \ - Q ^ {*}}ovs.→vs.=o∗{\ displaystyle p ^ {c} \ - c = p ^ {*}}nem=1{\ displaystyle n = 1}Qvs.=QM{\ displaystyle Q ^ {c} = Q ^ {M}}ovs.=oM{\ displaystyle p ^ {c} = p ^ {M}}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">