Pszeudometrikus tér

A matematika , a pseudometric tér egy sor ellátva pseudometric . A metrikus tér fogalmának általánosítása .

Egy vektortér , mint egy norma indukál távolságot , egy félig norma indukál pseudometric egyet. Emiatt a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó matematikai diszciplínákban a szemimetrikus tér kifejezést szinonimán használják az álometrikus térrel (míg a " szemimetrikus térnek " van egy másik jelentése a topológiában).

Meghatározás

A pseudometric egy sor olyan alkalmazás $x$

{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ X-szer x \ Mathbb {R} _ {+}}

olyan, hogy mindenért , ${\ displaystyle x, y, z \ X formátumban}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ bal (x, x \ jobb) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ bal (x, y \ jobb) = \ mathrm {d} \ bal (y, x \ jobb)}$ (szimmetria);
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ bal (x, z \ jobb) \ leq \ mathrm {d} \ bal (x, y \ jobb) + \ mathrm {d} \ bal (y, z \ jobb)}$ ( háromszög egyenlőtlenség ).

Más szavakkal, az álometrikus véges értékű eltérés .

A pszeudometrikus tér egy pszeudometrikus hellyel ellátott halmaz.

A metrikus tér pontjaival ellentétben a pszeudometrikus tér pontjai nem feltétlenül különböztethetők meg - vagyis különálló pontjaik lehetnek . ${\ mathrm d} (x, y) = 0$ $x \ ne y$

Példák

Ha eltérés egy halmazon , akkor pszeudometrikus érték van bekapcsolva ; ${\ mathrm d}$ $x$ ${\ displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}$ $x$
Ha egy féltérkép egy vektortér felett , akkor az álometrikus . Ezzel szemben bármely homogén transzlációs invariáns álnév félig normából származik. Konkrét példa egy ilyen helyzetre a valós értékű függvények vektorterén : egy pont kiválasztásával megadhatunk egy pszeudometriát . $o$ $V$ ${\ mathrm d} \ bal (x, y \ jobb) = p \ bal (xy \ jobb)$ $V$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ X-ben$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ bal (f, g \ jobb) = | f \ bal (x_ {0} \ jobb) -g \ bal (x_ {0} \ jobb) |}$

A pszeudometrikushoz kapcsolódó pszeudometrikus topológia az, amelyet a nyitott golyók halmaza indukál : ${\ mathrm d}$

{\ displaystyle B_ {r} \ left (p \ right) = \ {x \ in X \ mid \ mathrm {d} \ left (p, x \ right) <r \}}

A topológiai térről akkor mondhatjuk, hogy „álometrizálható”, ha van olyan álometriás elem, amelynek topológiája egybeesik a térével.

Megjegyzés: Egy szóközt akkor lehet metrizálni (és csak akkor), ha pszeudometrizálható és T 0 .

Metrikus azonosítás

Ha egy pszeudometrikus teret az pszeudometrikus nullázó ekvivalencia-relációval osztunk , metrikus teret kapunk . Pontosabban meghatározzuk

{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ bal (x, y \ jobb) = 0}

és kapunk egy távolságot a beállításával: ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}$ $X ^ {*} = X / \ sim ~$

{\ mathrm d} ^ {{*}} \ bal (\ bal [x \ jobb], \ bal [y \ jobb] \ jobb) = {\ mathrm d} \ bal (x, y \ jobb)

A topológia a metrikus tér a hányadosa topológia -a az . ${\ displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}$ ${\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}$

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Pseudometric tér ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(in) " Álometriai topológia " a PlanetMath- on .

Bibliográfia

en) AV Arkhangelskii és LS Pontryagin , I. általános topológia , Springer ,1990, 202 p. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
en) Eric Schechter (en) , Elemzés és alapjai kézikönyve , Academic Press ,1997, 883 p. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , online olvasás )
Laurent Schwartz , Elemző tanfolyam , vol. 2, Hermann ,tizenkilenc nyolcvan egy, 475 p. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
en) Lynn Arthur Steen és J. Arthur Seebach, Jr. , Ellenpéldák a topológiában , Dover ,1995, 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , online olvasás ) , p. 34