Egyértékű függvény

A matematika , pontosabban a komplex elemzése , a Holomorf függvény egy nyílt részhalmaza egy komplex síkban az úgynevezett „ egyértékű függvény ”, ha ez injektív .

Példák

Az egységlemez bármilyen Möbius-transzformációja önmagában nyitott, ahol univalens. $\ phi _ {a}$ ${\ displaystyle \ phi _ {a} (z) = {\ frac {za} {1 - {\ bar {a}} z}},}$ ${\ displaystyle | a | \ leq 1,}$

Tulajdonságok

Megmutathatjuk, hogy ha és két összekapcsolt nyitott halmaz van a komplex síkban, és $G$ $\Omega$

{\ displaystyle f: G \ to \ Omega}

jelentése egyvegyértékű függvény oly módon, hogy (azaz egy surjection , ezáltal bijekciót ), majd a származék sosem eltűnik, és a kölcsönös bijekciót az , megjegyezte , az is Holomorf. Fontos továbbá, hogy a származék tétele vegyület funkciók , ${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$ $f$ $f$ $f$ $f ^ {- 1}$

{\ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ frac {1} {f' (z)}}}

minden itt $z$ $G$

Összehasonlítás a valós funkciókkal

A valódi analitikai funkciók esetében ezek a tulajdonságok már nem érvényesek. Például, ha figyelembe vesszük a függvényt

{\ displaystyle f: (- 1,1) \ - (-1,1) \,}

által adott ƒ ( x ) = x 3 , ez a funkció triviálisan injektív. Származéka azonban egyenlő 0-val x = 0-nál, inverze pedig nem analitikus, sőt nem is differenciálható a teljes intervallum alatt (−1, 1).

Bibliográfia

John B. Conway, Az I. komplex változó funkciói , Springer-Verlag, New York, 1978 ( ISBN 0-387-90328-3 )
John B. Conway, Egy komplex változó II. Funkciói , Springer-Verlag, New York, 1996 ( ISBN 0-387-94460-5 ) .

Hivatkozások

( Fr ) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ univalens funkció ” ( lásd a szerzők listáját ) .