Vektorértékű függvény

Vektor függvény

A matematika , a függvény vektor értékeit vagy vektor függvény egy függvény , amelynek helyet az érkezés egy sor vektorok , a meghatározás esetleg lehet egy sor skaláris vagy vektorokat.

Példa: paraméterezett görbék

A klasszikus példája a vektor függvények, hogy a paraméteres görbék , azaz funkciók egy valós változó (képviselő például alkalommal alkalmazások pontban mechanika ) értékekkel egy euklideszi térben , például a szokásos sík (az egyik beszél, majd a sík görbék ) vagy a szokásos szóköz (akkor a bal görbékről beszélünk ). $t$

Ha a derékszögű koordináták $($ $e$ $1$ $, ...,$ $e$ $n$ $) szempontjából$ paraméterezett görbét felírhatunk ${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ I. kettőspont \ alhalmaz \ mathbb {R} \ - \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ { nem}}

ahol a koordinátafüggvények. ${\ displaystyle f_ {j} \ I kettőspont \ to \ mathbb {R}}$

Például a derékszögű térben , a szokásos egységvektorok $i$ $= (1,0,0)$ , $j$ $= (0,1,0$ $)$ és $k$ $= ($ $0,0,1)$ megjegyzésével egy paraméterezett s ' görbét írunk be a nyomtatvány ${\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \, I. kettősponthoz \ alhalmaz \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \, \ mathbf {i} + g (t) \, \ mathbf {j} + h (t) \, \ mathbf {k}}

hol vannak a koordinátafüggvények. ${\ displaystyle f, g, h \, \ kettőspont I \ to \ mathbb {R}}$

Meghatározás

A vektor-értékű függvény egy funkciója bármely beállított $X$ a vektorban térben $E$ több mint egy mezőt $K$ (kommutatív).

Néhány gyakori eset:

$X$ jelentése egy részhalmaza (például egy intervallum a ), és a . Ez a keret magában foglalja a véges dimenziójú számításokat (ideértve a fentiekben tárgyalt paraméteres görbéket) és számos fizikai eszközt, például a mechanikai pontban alkalmazott folyadékmechanikában , a termodinamikában stb. $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$ $K = {\ mathbb R}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$
$X$ egy valószínűségi tér , és . Az $X-$ től $E-ig$ mérhető vektorfüggvényeket véletlenszerű vektoroknak nevezzük , általánosítva a véletlenszerű változó fogalmát . $K = {\ mathbb R}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$

Valódi változó függvényei vektorértékekkel

Tekintsük ebben a részben egy vektor függvény $f$ egy intervallum az értékek . Megjegyezzük a kapcsolódó koordinátafunkciókat: ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ I kettőspont \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ mathbf {f} (t) = (f_ {1} (t), \ ldots, f_ {n} (t)) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1 } + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}}

minden $t \in I$ , ahol a $e j$ a vektorok a kanonikus alapján a . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Az $f$ tulajdonságaira következtethetünk az $f j tulajdonságaiból$ és fordítva. Például :

$f ( t )$ hajlamos arra, hogy egy vektor $a = ( a 1 , ..., a n )$ , amikor $t$ hajlamos $t 0$ (lehetőleg $t 0 = \pm \infty$ ), ha, és csak akkor, ha az egyes $f j ( t )$ hajlamos arra, hogy $a j$ , amikor $t$ hajlamos $t 0-ra$ ;
$f$ jelentése folyamatos fölött $I$ akkor és csak akkor, ha az egyes $f j$ jelentése folyamatos ;
$f$ jelentése differenciálható felett $I$ akkor és csak akkor, ha minden $f j$ van.

Ha $f$ differenciálható az $I-n$ , akkor származéka komponensenként megfelel a derivált komponensnek:

{\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {\ prime} (t) = (f_ {1} ^ {\ prime} (t), \ ldots, f_ {n} ^ {\ prime} (t)) = f_ { 1} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}.}

Geometriailag $f „( t )$ jelentése (ha nem nulla) az érintő vektor a görbe képviselője $f$ pontban $f ( t )$ .

Számos, a vektoranalízisben hasznos képletre következtethetünk . Például, ha két differenciálható vektorfüggvény van, akkor: ${\ displaystyle \ mathbf {f}, \ mathbf {g} \, \ kettőspont \ \ \ mathbb {R} ^ {n}}$

A kanonikus skaláris szorzat megkülönböztethető, és mi is ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \, \ kettőspont \ \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {g}}

$N = 3$ esetben a kereszttermék megkülönböztethető, és meg is van ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \, I kettőspont \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ wedge \ mathbf {g}}

Kapcsolódó cikkek