Fibonacci fraktál

A Fibonacci fraktál egy sík fraktál görbe, amelyet a Fibonacci szó határoz meg .

Meghatározás

Ez a görbe iteratív módon épül fel, a Fibonacci  : 0100101001001 ... szóra alkalmazva az OEDR szabályt (páratlan-páros rajzszabály). A k pozícióban lévő minden számjegyre  :

• ha a szám 1: rajzoljon egy 1 hosszúságú szakaszt az előző irányba
• ha a szám 0, rajzoljon 1 hosszúságú szegmenst negyedfordulat után:
  • a jobb oldalon, ha k páros
  • bal oldalon, ha k páratlan

Egy Fibonacci szóhossz, amely az n- edik Fibonacci szám , egy szegmensekből álló görbéhez kapcsolódik . A görbét három különböző aspektusban mutatjuk be attól függően, hogy n formája 3 k , 3 k +1 vagy 3 k +2. Fnem{\ displaystyle F_ {n}}Fnem{\ displaystyle F_ {n}}Fnem{\ displaystyle F_ {n}}

Tulajdonságok

Tulajdonságok.

• A szegmensekkel ellátott görbe derékszöget és lapos szöget mutat be .Fnem{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}Fnem{\ displaystyle F_ {n}}Fnem-1{\ displaystyle F_ {n-1}}Fnem-2{\ displaystyle F_ {n-2}}
• A görbének soha nincs önmetszete vagy kettős pontja. Végül aszimptotikusan közeli pontok végtelenségét mutatja be.
• A görbe azt mutatja, önálló - hasonlóságok minden skála. A csökkentési tényező érvényes . Ez a szám, más néven ezüst szám , az alábbiakban tárgyalt sok geometriai tulajdonságban megtalálható.1+2{\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}} δNÁL NÉLg=φ2{\ displaystyle \ delta _ {Ag} = \ varphi _ {2}}
• Az n fokú automatikus példányszám egy Fibonacci-szám mínusz 1 (pontosabban :) .F3nem+3-1{\ displaystyle F_ {3n + 3} -1}
• A görbe a csökkenő méretű négyzet alakú struktúrák végtelenségét határolja el, arányában .1+2{\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}
• Ez a négyzetszám Fibonacci-szám.
• A görbe különféle módon is elkészíthető (lásd a galériát ):
  • rendszer iterált funkciók 4 és 1 homothety arányának és  ;1/(1+2){\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}1/(1+2)2{\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2}}
  • az n - 1 és n - 2 görbék egymás mellé helyezése ;
  • Lindermayer rendszer  ;
  • 8 négyzet alakú minta iterált felépítése minden négyzetminta körül;
  • nyolcszögek iterált felépítése.
• A Hausdorff dimenziója a görbe , a , a aranymetszés .3napló⁡φnapló⁡(1+2)≈1.6379.{\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ kb 1 {,} 6379}φ=1+5.2{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}
• Ha tetszőleges 0 és 0 közötti szögben általánosít , Hausdorff dimenziója megegyezik a , -vel .α{\ displaystyle \ alpha}π/2{\ displaystyle \ pi / 2}3napló⁡φnapló⁡(1+nál nél+(1+nál nél)2+1){\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + a + {\ sqrt {(1 + a) ^ {2} +1}} \ jobbra)}}}nál nél=kötözősaláta⁡α{\ displaystyle a = \ cos \ alpha}
• Határának Hausdorff-dimenziója érvényes .napló⁡3napló⁡(1+2)≈1,2465.{\ displaystyle {\ frac {\ log 3} {\ log \ bal (1 + {\ sqrt {2}} \ jobb)}} \ kb 1 {,} 2465}
• A "0" és az "1" szerepének felcserélése a Fibonacci szóban vagy a szabályban ugyanazt a görbét generálja, de 45 ° -ra orientálva.
• A Fibonacci szóból meghatározhatjuk a "sűrű Fibonacci szót", 3 betűből álló ábécén: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... ( az OEIS A143667 folytatása ). Ezen a szón egy „természetes” ábrázolási szabály alkalmazása lehetővé teszi a görbe variánsainak végtelen halmazának meghatározását, amelyek között:
  • az „átlós” változat;
  • a „horogkereszt” változat;
  • a „kompakt” változat.
• Feltételezzük, hogy az a minta az fraktál a Fibonacci szó találtunk semmilyen Sturmian szó , amelynek az irányelv szekvencia (tehát bővítése a lejtőn lánctörtekkel ) végekhez egy végtelen sorozata „1”.

Képtár

• Görbe az iterációk után . F23.{\ displaystyle \ textstyle {F_ {23}}}

• Önhasonlóságok

• Méretek

• Építés egymás mellé (1)

• Építés egymás mellé helyezve (2)

• Építési mód négyzetek iterált törlésével.

• A nyolcszögekkel iterált építési módszer.

• Iteratív felépítés négyzetekről.

• 60 ° -os szöggel.

• A "0" és "1" szerepkörök inverziója.

• A sűrű Fibonacci szóból generált változatok.

• "Kompakt" változat

• "Horogkereszt" változat

• "Átlós" változat

• "Pi / 8" változat

Fibonacci csempe

4 Fibonacci típusú görbe egymás mellé helyezése lehetővé teszi zárt görbe felépítését, amely elhatárolja a nem nulla területű összekapcsolt felületet. Ezt az ábrát "Fibonacci csempének" hívják. F3k{\ displaystyle F_ {3k}}

• A Fibonacci csempe majdnem kikövezi a gépet. 4 csempe egymás mellé helyezése (lásd az ábrát) középen egy szabad négyzetet hagy, amelynek felülete nulla felé hajlik, miközben k a végtelen felé. Végül a Fibonacci csempe burkolja a gépet.
• Ha a Fibonacci csempe az 1. oldalú négyzetbe illeszkedik, akkor a területe felé fordul .2-2≈0,5857{\ displaystyle 2 - {\ sqrt {2}} \ kb 0 {,} 5857}

Fibonacci pehely

A Fibonacci pehely egy Fibonacci csempe, amelyet a következő szabály szerint határoztak meg:

• qnem=qnem-1qnem-2{\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} q_ {n-2}}ha  ;nem≡2(mod3){\ displaystyle n \ equiv 2 {\ pmod {3}}}
• qnem=qnem-1qnem-2¯{\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} {\ overline {q_ {n-2}}}} ha nem.

A és , „balra” és „jobbra”, és , q0=ϵ{\ displaystyle q_ {0} = \ epsilon}q1=D{\ displaystyle q_ {1} = D}G={\ displaystyle G =}D={\ displaystyle D =}D¯=G{\ displaystyle {\ overline {D}} = G}

Néhány figyelemre méltó tulajdonság:

• Ez a Fibonacci csempe, amelyet a korábban meghatározott "átlós" variánshoz társítottak.
• Bármilyen iteráción (bármilyen sorrendben) elkészíti a tervet
• Két különböző módon lefordította a gépet fordítással, tehát kettős álnégyzet.
• kerülete megrendelésre megér .nem{\ displaystyle n}4F3nem+1{\ displaystyle 4F_ {3n + 1}}
• a területén, annak érdekében , következik az egymást követő páratlan rangsorolt indexek a Pell szekvencia (által meghatározott , és a ).nem{\ displaystyle n}P0=0{\ displaystyle P_ {0} = 0}P1=1{\ displaystyle P_ {1} = 1}Pnem=2Pnem-1+Pnem-2{\ displaystyle P_ {n} = 2P_ {n-1} + P_ {n-2}}

Megjegyzések és hivatkozások

1. (in) A. Monnerot-Dumaine, A Fibonacci fraktál szó , 2009. március, a HAL- on .
2. (en) A. Blondin-Massé, S. Labbé és S. Brlek, Christoffel és Fibonacci burkolólapok , 2009. szeptember.
3. (in) A. Blondin Masse, S. Labbé, S. Brlek és Mendes-France, "  Fibonacci hópelyhek  " ( Archívum • Wikiwix • Archive.is • Google • Mit kell tenni? ) ,2010.

Lásd is

Kapcsolódó cikk

A fraktálok listája Hausdorff dimenzió szerint

Külső hivatkozás

(en) S. Brlek, A kettős négyzetek kombinatorikus vonatkozásai ,2009. július (konferencia anyag, A. Blondin-Massé és S. Labbé közreműködésével)